Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Сами приборы называются электрическими цепями, а детали, из которых они монтируются,— их элементам н, Следует отметить, что существуют элементы, отличные от описанных выше, в частности существуют многополюсные элементы. Примером тр ех п оп ю с ног о элемента служит электронная лампа (триод), работа которой будет разобрана в дальнейшем (см. Э 29). Законы Кирхгофа Перейдем теперь к формулировке з а к о н о в К н р х г о ф а, управляющих работой электрических цепей. Г) Электрической цепью называется конечная совокупность элементов (в частности, двухполюсников вышеописанных видов), полюсы которых соединены в так называемые узлы цепи, так что в каждом узле соединяются два или большее число полюсов различных элементов цепи.
Первый закон Кирхгофа утверждает, что сумма всех токов, втекающих в каждый узел цепи из всех элементов, примыкающих к этому узлу, равна нулю. Второй закон Кир хгофа вытекает из предположения, что в каждом узле а цепи имеется электрический иотснциал Ь' (Е), а падение наиря;кения У,ь(/) где У(/) — заданная функция времени Е, характеризующая источник напряжения, Соотношение (12) можно рассматривать как связывающее функции У ь(/) и / ь(/), только связь эта такова, что функция / (Е) в нее не входит. Для источника тока аЬ аналогично имеет место соотношение 84 лггнепные телйнениЯ с постОЯнными кОЗФФициентАми 1гл, 2 от узла а к узлу Ь представляет собой разность потенциалов, имеющихся в узлах а и Ь, так что У ь(М)= Р'„(1) — ьгь(~). Из этого предположения вьгтекает, что если а, Ь, с, ..., Ь, й есть негсоторая последовательность узлов элегстричесной цепи, то илсеет лгесто соопгношенгге (7 ь(г)+ (7ь (г)+."+(~ль(') +(~ (') которое и представляет собой второй закон Кирхгофа.
Его формулируют следующим образом: сулглга падений напряжения вдоль всякого замннутого контура цепи равна нулю. (В этих формулировках Рис. 8. Ггкь 7. законов Кнрхтофа пе предполагается, что элементами пепи являются двухполюсники.) Дадим теперь более четкую формулировку законов Кирхгофа применительно к ггепялг, составленным из двухполгосннков. Д) Пусть 8 в некоторая электрическая цепь, составленная из двухпогпоснпков.
Первый закон Кггрхг.офа утверждает, что если а есть произвольный узел цепи Я, а Ь,а, Ьяа... „Ьяа — совокупность всех двухполюсников, примыкающих к узлу а(рис. 7), то Г„, (О) ~ Г,я, (~) г-. „+ !... (~) = О. Второй закон Кирхгофа утверждает, что если аЬ, Ьс„.„ЬЬ, Йа — некоторая последовательность двухполюсников, входящих в цепь Я (каждый следующий двухполюсник начинается в том узле, в котороы кончается предыдущий, рис. 8), то (УаьИ+ (~ЛЯ+" + (7ььЯ+ НьЯ=О. Рассчитать работу электрической цепи, составленной из двухполюсников, — это значит найти ток и напряжение, соответствующие электРические цепи 4 >а! каждому двухполюснику, входящему в цепь; таким образом, если цепь состоит из л двухполюсников, то перед нами стоит задача отыскания 2л функций времени. Закон, управляющий работой каждого отдельного двухполюспика, дает одно соотношение между искомыми функциями, так что для 2а искомых функций мы уже получаем л соотношений.
Остальные п соотношенлй дают законы Кирхгофа. Тот факт, что законы Кирхгофа дают именно и независимых между собой соотношений, можно доказать, но здесь мы этого делать не будем. В результате использовании всех соотношений мы получаем систему из 2л уравнений для 2л искомых функций.
уравнения эти частично дифференциальные, частично конечные (алгебраические). Законы Кирхгофа дают конечные уравнения и ими прежде всего нужно воспользоваться для исключения части неизвестных функций. !1ри этом обычно пользуются одним из следующих двух путей. Можно за основные неизвестные функции принять токи и выразить через них напряжения. В этом случае нужно прежде всего воспользоваться первым законом Кирхгофа: выразить все токи через минимальное число независимых (в силу этого закона). Независимые токи называются коногурныжп. После этого следует воспользоваться вторым законом Кирхгофа, заменяя в нем каждое напряжение его выражением через соответствующий ток.
Этот способ называется методом конту р н ых то ко в. Второй способ заключается в том, что за основные неизвестные функции принимают напряжения на двух»олк>сниках, а токи выражают через напряжения (при помощи законов, управляющих работой каждого двухполюсника). В этом случае пух<по при помощи второго закона Кирхгофа выразить все напря>кения через минимальное число независимых (в силу этого закона). Независимые напряжения называются узлолыжп. Затем нужно использовать первый закон Кирхгофа, заменяя в нем каждый ток его выражением через соответствующее напряжение.
Этот способ называется методом узловых напряжений. Операционное сопротивление двухполюсника Прежде чем перейти к разбору примеров расчета электрических цепей, запишем соотношения (3), (5), (9), (1О), (11), т. е. законы, управляющие работой двухполюсников, при помощи символических обозначений.
Е) Пусть аЬ вЂ” двухполюсник, представляющий собой сопротивление, ипдуктпшюсть или емкость, Положим: и„(1)=и(1), („(!)=Ц!), Я„=Я, (.„=(., С.,=С. Если в дополнение к употреблявшимся ранее символическим обозначениям (см. стр. 42„$7, А)) ввести естественное обозначение 88 лиивиные ь Рлвнш!ия с постоянными коэч ьициеитлыи !г . а — Д(1)= ~ ~(т)сЬ, то соотношения (3), (5), (9) можно записать 1 Р одной формулой У(!) = У(р) ЦМ) (1з) (рис, 9), где, соответственно, 2(р) = Я, Я(р) = Ер, 2(р) =— ! ср.
Функция Я(р)называется операционным сопротпвлелпем двухполюсника аЬ. Для емкости она не является многочленом, а представляет 1 собой рациональную функцию— л 1 — С ..3 — саераяяибление Соотношение (14) после умножения на Ср приобретает привычный вид г(г)=СрИЯ, где имеется лишь с, ег многочлен от р. Если положить О(р) = —. 20) ' о ч а н еоВ) р~чбрепе . — -у! — '— индунвибносвь бгоииаинбиниия исчяочнини нолряонения. оосп)оянного гарыаничесного и~мигбольного аереыенного ~(!) = ()(У) У(!). телесные обгона чения неночяорых глеыенчооб — ьы— гяеняаяччесних иелеи Рис. 9.
Рис. 10, С(р)= —, О(р)= —, 1-(р)=ср. ! 1 Соотношения (10), (1!) в операционных обозначениях получают вид; Ц Я=~- р~1 Я+~ИаЯ. СИ) = 1арУа (!)+ й4Ф (!). Перейдем к разбору примеров. Для наглядности электрические пепи изображают графически, ставя в соответствие каждому узлу точку, а каждому двухполюспику — отрезок или кривую, соединяющую соответствующие узлы; на каждом таком отрезке изображается условное обозначение соответствующего двухполюсника (рис. 10), Функция 0(р) называется операционной проводи.иосьчью двухполюспика ао и имеет соотвсгствшшо вид: ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ $!а1 Примеры 1.ь (1) = 1ь (1) = 1ра (1) = 1аи (1) =1(0 рис. 1!.
Здесь 1(1) есть к о н т у р н ы й т ок. Далее, выписывая для каждого двухполюсника закон, управляющий его работой, получаем: 11.л(1) = ~р1 (1), и„(1) = т(1), и,.(г)= С 1(1), ц.(1)= — (1(1). Ср Второй закон Кирхгофа дает: (1.,(1)+ (1„ж+ (1„(1)+ (1„(1) = О. Из соотношений (16) и (16) получаем: ( лр -> и «-+ ) р и> = и ил (17) Можно умножить обе части соотношения (17) на р (что означает почленное дифференцирование); тогда мы получим: И ~ р'+ ар -1- — '~ р р) = р и р. (15) (16) Таково дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи, Если изъять из цепи двухполюсник ап', то мы получим так называемую р а з о м к н у т у ю цепь, состоящую из трех пассивных двухполюсников аЬ, Ьс, срл.
Эту цепь (всю целиком) можно рассматривать как двухполюсник с полюсами а и Ы (рис. 12). Для такого двухполюсника закон, управлявший его работой, дается соотношением (17), аналогичным соотношепик (13). Здесь фупк- 1 (Колебателъный контур). Пусть 8 — электрическая цепь с четырьмя узлами а, Ь, с, о, состоящая из четырех двухполюсников аЬ, Ьс, сл(, Иа (рис. 11). Двухполюсник аЬ вЂ” индуктивность 1., двухполюсник Ьс — сопротивление 1с, л двухполюсник сЫ вЂ” емкость С; наконец, двухполлосник ап' — источник напряжения У,а(1)= У(1), Для расчета исполь.
зуем метод контурных токов. Применяя первый закон Кирхгофа к узлу Ь, Ю получаем 1,л(1)+ 1,л(1)=0, или, иначе, 1,аЯ=1а,(1). Так обстоит дело всегда, когда к одному узлу примыкают ровно даа двухполюсника. Таким образом, мы имеем: 88 тгинепньгв мяавн.ния с постоянными коэФьицивитями !тл. я ция 2(р)=1р+Й+ —. является операционным сопроти- 1 Ср Ср в л е н и е и, а обратная еи величина О(р) = „,—, является операционной проводимостью. Ь с Если положить (г(~) = О, то это будет равносильно предположению, что С ,л, г Сл Рис.
13, Рис. 12. в нашеи цепи отсутствует активныи двухполюсник ага, и цепь состоит из трех пассивных двухполгосников аЬ, Ьс, сЫ, причем узлы а н г1 совпадают (рнс. 13). Уравнение, описывающее работу этой пас- снвноИ электрическоИ цепи 8", имеет вид: (19) Как уже отмечалось ргнп,ше, в пасснвноИ электрической цепи электрические нвггсния сами по себе не возникают, и это отражается в том, что частным решением уравнения (19) является функция !(т)=0. Можно, однако, рассмотреть работу электрической цепи Я~, считая, что ток в пеп уже имеется, и выяснить, как этот ток будет изменяться со времснегг.
Пусть Л, и Л,— корни многочлена 1.р' — ' йу — —. г 1 С' (20) Сг =— Так как числа 1, К, С больше нуля (см. А)), то действительные части корней Л, и Л, отрицательны, и потому электрический процесс в цепи 8" затухает со временем (см. 9 9,А)). Затухание это ыогггет проходить, однако, различными способами; если корни Л, и Л, комплексны, то всякое ненулевое решение уравнения (19) имеет колебательныи характер (см. пример 3 9 7); если же корни Л, и Л, деяствгпельны, то затухание происходит апериодически, именно всякое решение уравнения (19) становится, начиная с некоторого момгнта времени, монотонным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
