Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вопрос о том, будут ли корнл Л, и 1,, комп:гснсны нл;г депствктвльны, Решается тем, какой знак имеет число 90 линеЙные уРАВнения с постоянными коэФФипиентАми 1гл. а Из этой формулы видно„что при заданной амплитуде г источника напряжения амплитуда г силы тона достигает своего максимума при 1 собственной частоте ье = ье, = . контура 8. При этой частоте Р еС г амплитуды г и г связаны соотношением а = —, т. е. контур при этой частоте ведет себя так, как будто в нен имеется лишь сопротивление.
Для остальных частот амплитуда г тока имеет г меньшее значение чем --. Это явление называется р е з о н а н с о м У /-> ° (ср. й 12, пример). Колебательный контур 1., К, С резонирует 1 на свою собственную частоту— у"~с ' 2 (Трансформатор). Трансформатор состоит из двух обмоток, первичной н это р и ч и ой, помещенных на одной катушке. К первичной обмотке подключается источник переменного напряжения, ко вторичной — нагрузка, например внешнее сопротивление. е'г а, — ~ ае с л Ь, Ье Р се Рис. 15. Каждая обмотка имеет индуктивность и сопротивление (внутреннее). Ь(ежду обмотками имеется взаимоиндукцня. Таким образом, трансформатор можно рассматривать как электрическуке цепь, состоящую из двух раздельных копауров, связанных индуктивно. Первый контур состоит из трех двухполюсников: а,Ьь — индуктивность Е.б Ь,с,— внутреннее сопротивление К,; а,с, — источник напряжения У~, = се(1).
Второй контур состоит также иэ трех двухполюсников: аяЬя — индуктивность Е„; Ь,с, — внутреннее сопротивление )х;, сяа, — сопротивление нагрузки ех. Кроме того, имеется взаимоиндукпия М, ь а ь = = М (рис. 15). В силу 1-го закона Кирхгофа имеем: Г~ ь '= !ь = ~ а =~И ~а ь — 1ь~е~= ~ма =)я п~ь~ ' ~с~ — г~а~— Таким образом, мы имеем два контурных тока 1н 1я,. Применяя второй закон Кирхгофа, получаем: ~.,р1, Мр!а -+ ~,~, и(1) = О, ~.р1,-;-мр~,+-к,~,+ ю, =о, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ $ !31 или иначе (~,р+ Д,) 1л+ 1Ир1 = с1(1), Мр1,+(1.,р+В,+ В 1,=0. Детерминант 0 (р) этой системы имеет вид; 0(р)=(1- 1- — 1иа)р'+(1-Ля+1-Я+ 1- Юр+й Яь+Р В силу предложения Б) й 9 этот многочлен устойчив (так как 1, 1.я— — М')0).
Рассмотрим работу трансформатора в случае, когда напряжение 11(1) изменяется гармонически, и будем искать установившееся решение по способу $12, Б). Положим: У(1)=и~е' ', где и, — действительное положительное число(амплитуда напряжения, поданного на первичную обмотку). Неизвестные функции 1„1, будем искать в форме а епм ! — 1 1я = еяе пм Г1.ь Лет= — р. ="н,. ~/ 1 Таким образом, амплитуда из=Я~а„! падения напряжения на нагрузке 1с оказывается равной — 1в ия= 1г~ ~/1 ь 1 величина 1/ ~' называется коэффициентом тданефорлгацли. Таким 1., образом, если 1.а ~ 1.п то мы имеем трансформатор, повышающий напряжение ) 1, при 1.я <,, 1., мы получаем трансформатор, понижающий напряжение иа и, где е„ея — комплексные амплитуды токов.
Наибольший теоретический интерес представляет идеальный тран- сформатор, т. е. такой трансформатор, в котором величины Яп Дя и 1.,1,,— М' малы. Пренебрегая этими величинами в уравнениях для определения величин е, и е„ получаем: 1.~ ° 1ше, + М ° 1ше~ = и и М Ь е, +(1.,-йо+®е„=О, Так как М 3)~Ь,~,„то, вычитая нз второго уравнения первое, умпо- жешше на ~г Л, мы получим: Г~„, ~1 1-, 92 линвиныв УэАзнвния с постоянными коэээицивнтлми 1гж» 3 (Элеггигрпчетий фильтр).
Рассмотрим электрическую цепь с четырьмя узлами а, Ь, с, И и пятью двухполюсниками (рис. 16): Рис. !б. аЬ вЂ” индуктивность Е, Ьс — индуктивность той же величины Е, Ы вЂ” емкость С, аИ вЂ” источник напряжения и„э(1)= и(1), сЬ вЂ” сопротивление нагрузки Я. Положим: 1»а=1э 1а»=1а. Тогда в силу 1-го закона Кирхгофа имеелп 1а» = 1~ — 1э 1»е = 1а На основании 2-го закона Кирхгофа получаем: и.а+ и„+ и„+ и,.
= о, и„+ и,„+ и„, = о, или Ер1 + Ер1 + ~1 — и(1) = О, ЕР1., + К1, + — (1ч — 1,) = О. ! Умножив второе уравнение на р, получим следующую систему; 1-р1 + (1-р + В 11 = и(г) 1+ 1р+йр+ 1, 1 / 11 11етермннант этой системы имеет вид: + ' + С + С Согласно теореме 6 многочлен 0(р) устойчив. Будем теперь считать, что и= Ье'"', где Ь вЂ” действительная амплитуда напряжения (см. 4 ы1 ногмлльнля лннвинля одиогоднля система $12). Неизвестные функции 1, и 1, будем искать в форме ы ~ и~1 э т — авю У 1~1 ф где а, и ая — комплексные амплитуды токов, т. е.
ограничимся отысканием установившегося режима. Поставим задачу 'об определении падения напряжения . Е/,„= К!я иа нагрузке. Мы имеем: Ь С вЂ” — 1Яш' + и« вЂ” — ~.«оР откуда находим амплитуду а=(а,~К напряжения У„;. , а При малых значениях частоты в мы имеем: -ж 1; иначе говоря, напряжения малой частоты легко передаются через фильтр, почти не меняя амплитуды. При больших значениях частоты мы имеем: а Д Ь СЕ так что напри;кения высокой частоты почти не проходят, «фильтруются», ф 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами В этом параграфе решается система уравнений л х'=~~„' а'хл1 1=1, ..., и, l 'С постоянными коэффициентами. Я~та система может быть решена методом исключения (см. ф 11 и„в частности, пример 2 в Э 11).
(Здесь она решается путем приведения матрицы А =(и'.) к мпэрдано. вой форме. В случае, когда все собствейиые зиачейия матрицы Л различны, возможность приведения ее к жордаиовой, т. е. в данном 'случае диагональной, форме представляет собой весьма элементарйый алгебраический факт.
В общем случае возможность приведения матрицы А к жордаиовой форме относится к наиболее сложным резуль татам курса линейной алгебры. В дальнейшем в этой книге ясполы зуются лишь те результаты настоящего параграфа> которые опира- 04 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1тл. а ются на приведение матрицы~А к диагональному лгпи в случае 'различных ее собствен х гачений результаты, использующие возможность прйведения матрицы А к жордановой форме в общем случае (предложения В), Г), Ж)), в дальнейшем не применяготся и при чтении могут быть пропущены.
Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций х', ..., х". Этот способ изложен в конце настоящего параграфа под заголовком чПреобразование переменных». Другой способ, по существу также опирающийся на приведение матрицы А к жордановой форме„изложен в первой части параграфа.
В этом параграфе мы не будем делать различия между матрицей А и соответствующим ей преобразованием А в пространстве векторов х=(х',..., х"), так как базис меняться не будет. Исключение составляет лишь доказательство предложения Е). Случай простых корней характеристического уравнения А) Сггстема дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде: Здесь А=(а,), а вместо системы х',..., х" неизвестных функций введен неизвестный вектор х=(х',..., х''д под лпопзводной х вектора х понимается вектор (Ег,..., .Е"). Если Ь есть собственный вектор матрицы А с собственным значением Х т.
е. если АЬ=ЛЬ (сы. ~~ 34, Б)), то векторная функция х, определяемая соотношением х = Ье"', является решением уравнения (2). Последнее утверждение проверяется путем подстановки х=Ье" в соотношение (2). Теорема 10. Пуспгь х= Ах — и пгспн сггспгелга дггфференцггальных уравнений (см. А)), что со6 сне:;нее зниченин Лг,..., Л„матрицы А попарно различны, и пусть Ь„..., Ь„ $!«1 НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА 95 — соответству«ощпе собственные векторы втой матрицы, Положимг х; = Ь,е" ', 1= 1,..., л.
(4) Тогда векторная функция Х= с'Х, +...+ с"х„, (5) где с«,..., с" — константы, является решениелг уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается втой формулой. Д О к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения А) каждая функция х« представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) й 6 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). А(окажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть «р(г) — произвольное решение уравнения (3). В силу теоремы 3 решение «р(1) можно считать заданным на всей бесконечной прямой — Оо(«(оо. Таким образом, решение это определено и при 1=0.
Положим «р(0)=ха. Пусть х« = с' Ь «+... + с"Ь„ Тем же начальным условиям «р(0)=Х, удовлетворяет и решение «р(1); таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), х='ф(1). Итак, теорема 10 доказана. В случае, если матрица (а,'), задающая равнение (3), действительна, перед нами встает задача выделе)и«я из всех решений (5) действительных рец1иний.
Б) Будем считать, ««то матрица (аф'задаюц1ая уравнение (3), действительна, и выберем Ъ~кторы Ь«,"..., Ь„таким образом, чтобы действительным собственныа«значдниям соответствовали действп гельные векторы, а комплексно софяжеш«ым — комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) 'ка ому действительному собственному значению будет соответдйовать ействительное решение, а каждым двум комплексно 'сопряженны . собственным значениям будут соответствовать коа«прексно сопряженнйе, решения. Оказывается, что решение (5) тогда ««' только тогда дейстЬ««тельно, когда константы, стоящие при дейрт.вительных решениях, действительны, а константы, стоящие при к .
плексно сопряженных решениях, сопряжены. Правильн ть предложения Б) непосредственно вытекает нз предложения Г) 7. — разложение вектора Х«по векторам базиса Ьп..., Ь„(векторы Ьь..., Ь„образуют базис в силу предложения В) й 34). Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиям х (О) = х . 96 линейные УРАвнения с постоянными кОэФФиЦиентАми 1гл. 2 Общий случай Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица (а,'.) Может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказываемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордзновой форме (см.
% 36). В) Запишем систему (1) в векторной форме х=Ах (6) н пусть Ьы ..., Ь» — некоторая серия с собственным значением Х (см. й 36, А)) относительно матрицы А, так что выполнены соотношения АЬ1 —— )ЬИ АЬ» — — )Ь~+Ьы ..., АЬА=1Ьд+Ь„1. Введем последовательность векторных функций, положив: Оказывзется тогда, что векторные функции ;с, = е, (1) еы, г = 1...,, Ь, (8) являются решениями уршшепия (6)„причем .х,(О)=Ь,. (9) Таким образом, каждой серии из Ь векторов соответствует система из Ь решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
