Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для доказательствз того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторпых функций (7). Тозхдества эти следующие: ег (') ег-1 (1)~ г 1~ ° ° э Ае,(1)=),е,(1)+е,,(т), г=1, ..., Ь. Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае. В этих соотношениях принято е, (1) = О. Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений.
При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Пействительно, мы имеем: х,(1) = е,(1) е" + Хе„(1) вы=(е,,(1)+),е,(1)) е = = Ае,(1) ем = Ах,(1). 98 линейные РРАВнення с пОстОЯнными кОэФФиЦиентАми [гл, 2 Преобразование переменных Д) В системе уравнений (1), определяемой постоянной матрицей А=(а'.), вместо неизвестных функций 7 х', ...,х" (13) введем новые неизвестные функции у~ ° ° >у (14) положив у = ~~,'з,'.х', г=! (1 б) где з~ — постоянные коэффициенты, образующие невырожденную матрицу О=(з~), В новых неизвестных наша системз запишется в виде: 7=! тельна. Лелается это совершенно так же, как и в случае простых ко['вей характеристического уравнения, Г) Пре оложим, что матрица (а'.), определяюц)вял уравнение (10), / действительн Выберем в этом случае базис 7а< ..., 7а„по способу, предусмотренн у в теореме 30 (см.
$36) дл случая, когда матрица (а.) действительн . При таком выборе ба са среди решений (11), 7 построенных в тео ме 11, будут„с одн стороны, действительныэ, с другой н<е сторош — попарно ком ексно сопряженные. Оказы- вается, что решение (1 тогда и то ко тогда действительно, когда константы, стоящие при йствите ных решениях, действительны, а константы, стоящие при к <п~ <сно сопряженных решениях, ком- плексно сопряжены. Предложение Г) непосре в но вытекает из предложения Г) й 7. В заключение следует метит что изложенные выше результаты настоящего параграфа т но связан с результатами $7, 8. В па- раграфах 7, 8 было ссмотрено од однородное уравнение и-го порядка с постоянп ~и коэффициентам .
По методу $4 это урав- нение может быть вписано в виде норма ной системы из и уравне- ний. Таким обр ом, результаты т[ 7, 8 мож было бы вывести из результатов н тоящего параграфа. При этом оказывается, что харак- тернстичес многсчлен полученной нормальной системы совпадает с характ истическим многочленом исходного уравнения. $14] нормлльнля линзинля однороднля систамл ~ 99 где матрица В=(Ь~) получается из матрицы А по формуле ! В=ЗАЛ '.
(17) 5) по 1, получаем Докажем э (18) У") преобразуются х"). Из этого уже ко, доказательство, шения (15) и (18) Таким образом так же, как следует формул данное там, за переписываются и мы имеем та Этим формула Подбирая должным образом матрицу 8, мы можем добиться того, чтобы матрица В получила наиболее простой вид.
Так как преобразование (17) матрицы А в матрицу В есть трансформация матрицей 8, то мы можем достичь того, чтобы матрица В имела жорданову форму (см. ~ Зб, Б)). Е) Если собственные значения Ль ° ° ° в Лл матрицы А системы (1) все различны между собой, то линейное преобразование (1б) можно выбрать так, что система (16) получает вид; р»=Л»у», юг=1,..., и. (19) у =Л»у у =Л»у -а — -ь (20) 4э Если, сверх того, матрица А действительна, так что в последовательности Ль..., Л„, наряду с каждым комплексным собстаенныи значением Л», имеетая комплексно сопряженное ему значение Л,=Л„, а переменные (13) действительны, то преобразование (15) можно выбрать так, чтобы каждому действительному собственному значению Л~„соответствовало действительное переменное у~, а паре комплексно сопряженных собственных значений Л» и Л~ — комплексно сопряженные переменные у» и у' = у».
Таким образом, сопряженным собственным значениям соответствуют сопряженные уравнения 100 лннейные УРАВнениЯ с пОстОЯнными коэФФициентАми 1г». 2 Пусть Л»= р»+ (.„у»= ~»+ 1т,, (21) где 1»», э», Е", т1» — действительные величины. Тогда пару сопряженных между собой уравнений (20) можно заменить парой действительных уравнений «» = 1»»~~ — ч»т~~, ⻠— ~>»(~ + 1»» й~. (22) Производя такую замену для каждой пары комплексно-сопряженных собственных значений, мы сможем заменэть систему действительных переменных (13) новой системой действительных переменных, причем уравнения для них частично имеют вид (19) (для действительных значений Л ), а частично — вид (22) (для пар комплексно-сопряженных собственных значений). Для доказательства предложения Е) в пространстве )А' векторов х=(х', ..., х") поставим матрице А в соответствие линейное преобразование А (см.
3 34) и обозначим через Ь собственный вектор преобразования А с собственным значением Л. Примем теперь за базис в )С векторы Ь1 > ° ° > Ьл> (23) и соответствующие этому базису координаты вектора х обозначим через у', ..., у". Мы получим таким образом линейное преобразование (15). В новой системе координат преобразованию А соответствует матрица В, имеющая, как легко видеть, диагональный вид, причем иа диагонали стоят числа Л„..., Л„.
Таким образом, система (16) получает вид (19). Если теперь матрица А действительна, то каждому действительному собственному значению Л~ поставим в соответствие действи1ельный вектор Ь~, а паре комплексно сопряженных собственных значений Л» и Лч=Л» — пару комплексно сопряженных собственных векторов Ь» и Ь, = Ь». Произвольный вектор х в новых коордппатах записывается в ниде: (24) и если он действителен, то коэффициенты при действительных векторах должны быть действительны, а коэффициенты при комплексно сопряженных векторах должны быть комплексно сопряжены (см.
$7, Г)). Таким образом, каждому действительному собственному значению Л~ соответствует действительное переменное у~, а паре комплексно сопряженных собственных значений Л» и Л, = Л» соответствуют комплексно сопряженные величины у» и у' =у . НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕПНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА 101 я ы] Для перехода от пары комплексно-сопряженных уравнений (20) х паре действительных уравнений (22) запишем уравнение (20), подставив в пего значения )а и у из (21); мы получим тогда ~" +Й"=(р +1 )(4'+/]')=Г''-" — ат]'+1(» 1'+ра»]").
Приравнивая отдельно действительные и мнимые части этого соотношения, получаем систему уравнений (22). Итак, предложение Е) доказано. Система уравнений (19) имеет очевидное решение Ф Х~г У =С Е 4', /4=1, ..., и, У =]У вЂ” У ьуь 1а Еаждой другой жордановой клетке матрицы В соответствует ацалшцчпая система уравнений, которую легко решигь. П римеры 1. Применение метода, изложенного в этом параграфе, и решению сисгемы (!) требуег отыскания базиса /ан . ~ /ал векторного пространства, составленного из серий (см.
теорему 11). Это' отыскание само по сне представляет некоторую алгебраическую задачу. Покажем, как, пользуясь результатами этого параграфа, можно решить систему(!) методом.неопределенных коэффициентов, неотыскивая базиса, составленного из серий. Пусть Х вЂ” некоторое собственное значение матрицы (ц Этому собственному значению / вообще говоря, соответствует несколько ~ерий, входящих в базис /ть..., /4„; пусть /4 будет наибольшая из длин серий, соответ- но для того, чтобы получить решение исходной системы (3), нужно произвести переход от неизвестных (14) к неизвестным (13), а для этого нужно знать собственные векторы (23) матрицы А (см. (24)). Таким об азом, предложещ]й Е) равносильно теореме.-10..
ля решения системы (1) в общем случае можно использовать приведение матрицы А к жордановой форме; получаемое здесь предложение Ж) равносильно теореме 11. Ж) Г1усть матр Выберем преобразованиее (1б) тьч имела жордапову форму (см. ф 36). П ений матрицы А и /4 — размер одно ы В с собственным значением 1.. Б нимает первые /г строк. Соответству нцй имеет вид: 102 линепныв УРАВнения с постоянными коэФФициентами !Гл. я ствующих собственному значению Л. В силу теоремы 11 каждое из решений, соответствующих собственному значению Л, может быть за. писано в виде: х' = Е' (1) е ', 1= 1,, „л, (») где ~'(1) есть многочлен степени ~й — 1. Таким образом, подставляя в систему (1) решение в виде (25) и считая, что коэффициенты многочленов т ' (1), 1= 1... и.
суть неизвестные константы, мы, пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найдем все решения системы (1), соответствующие собственному значению Л. При таком способе решения системы (1) пе нужно знать серий, соответствуюпгих собственному значению Л, а нужно знать лишь длины этих серий. Отыскание длин представляет собой более простую алгебраическую задачу, чем приведение к жордановой форме; задача эта решается теорией ележентарных делпгиелей матриц, относящейся к линейной алгебре.
Теория элементарных делителей нигде в этой книге не используется. 2. Покажем теперь, как решить систему (1) методом исключения, изложенным в 2 11. Для применения метода исключения запишем систему (1) в виде: где Е (р)= а.— р3'. Е1етермииапт В (р) матрицы (Е'(р)) в данном случае представляет со. бой характеристический многочлен матрицы (а'.). Пусть Л вЂ” некотоl рый корень многочлена Е1(р), или, что то же, собственное значение матрицы (аг). Кра'гность корня Л обозначим здесь через Е. В силу предложения В) 2 !1 всякое решение системы (1), соответствуюц!ее корню Л, следует искать в виде: х'=уг(1)е~, 1=!... и, где степень многочлена дт(1) не превосходит числа 1 — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
