Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 13
Текст из файла (страница 13)
А) Рассмотрим матрицу (2) 68 л>>непныв хялзнвния с постоянными коэффицивнтлми !гл, я (6) системы уравнений (1). каждый элемент ет,(р) матрицы (2) есть ыногочлен относительно р. Таким образом, можно вычислить детерминант 0(р) матрицы (2) и ее миноры. Алгебраическое дополнение элемента Е',(р) матрицы (2) (т, е. минор этого элемента, взятый с надлежащим знаком) обозначим через М4(р). Из курса высшей алгебры известно, что имеет место тождество: л ;5; М,'(р) Е,'(р) = Ь',0(р), (3) л ! где $! есть так называемый символ Кронекер!ь я; = 1, В, = О п ри 1 у'- а Умножая уравнение (1) на многочлен М,(р) (т. е. производя ряд дифференцирований, умножений на числа и сложений) и суммируя затем по /, мы получаем равенство л М,>(р) Ц(р) х' = ~~>', М'(р)>тч (~), (4) Ла ! l (При переходе от равенств (1) к равенству (4) мы использовали существование достаточно большого числа производных у функций х' и ~'(1).) В силу (3) равенство (4) можно переписать в виде 0(р) х = Я Ц(р"у'(!) (5) l Полученная нами система уравнений (5) (1=1,...,л) обладает тем свойством, что каждая неизвестная функция х! входит лишь в одно уравнение (5).
Мы доказали, таким образом, что если система функций х',..., х' представл!,ег собой решение системы (1), то каждая отдельная функция х! является решением уравнения (5). !!е следуст думать, однако, что если для каждого номера !' вы. брать произвольным образом решение х' уравнения (5) и затем составить систему функций х',...,х", то полученная система функций будет решением системы (!).
Для того чтобы найти общее решение х',..., х' системы (1), нужно найти общее решение х! каждого уравнения (5),1= 1,..., и, составить систему функций х'„...х" и затем выяснить, при каких условиях (при каких соотношениях между постоянными интегрирования) эта система функций удовлетворяег системе уравнений (1). Сделаем теперь некоторые выводы из метода исключения. Формулируе>! прежде всего результат, полученный в предложении А), для случая однородной системы уравнений л Ет(р)хт =О 1= 1 л. т ! $ И! МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ Б) Если система функций х',...,х' представляет собой решение системы (6), то каждая отдельная функция х', входящая в вто решение, удовлетворяет уравнению 0(р) х' = О, где я есть положительная константа, зависящая от систечы (6), а 1С вЂ” константа, зависящая от решения х',...,х'. Неравенство (7) непосредственно следует из неравенства (3) $9.
Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует решать однородную систему уравнений (6). Систему (6) перепишем в векторной форме 1. (р)х=о, (8) где 1.(р)=(Ц(р)) — матрица системы (6), а х=(х',. „,х"). В) !!опустим, что детерминант 0(р) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть Л вЂ” корень многочлена 0(р), имеющий кратность й.
Будем искать решение уравнения (8), имеюшее вид: х=д'(!) е", (9) где 8 (1)=(8"ф,...,у" (!)) — вектор, компоненты 8'(г) " 8 (г) (10) которого являются многочленами степени Й вЂ” ! относительно г с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (9) уравнения (8) мы будем называть соотве>лствующ>юл корню Л. Подставляя предполагаемое решение (9) в уравнение (8), мы получим (см. 9 8, А)): 0=3 (р)а(1)е =е 1.(р+Л)а'(г) После сокрашения на е это дает: 1. (р+Цд(!)=0.
(1 1) Таким образом, вектор (9) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когда многочлены (10) удовлетворяют условию (1 1). Переписывая векторное уравнение (11) в координатной форме, получим л соотношений я ~'1.~(р+Л)у'(1)=О> /=1>„,>л, (12) где 0(р) — детерминант матрицы (1>(р)) системы (6). Из втого, в частности, следует, что если детерминант 0(р) есть устойчивый мпогочлен (см. 9 9, А)), то каждое решение х',...,х" системы (6) удовлетворяет неравенству (х') +...+(х")Я(ЯЯе ы> прн 1~0, (7) 70 линеиныв мглзнения с постоянными коэееициянтлми 1гл. т Левая часть каждого соотношения (12) представляет собой много- член степени й — 1 относительно г, коэффициенты которого являготся линейными однородными функциями коэффициентов миогочлеиов (10). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени в каждом из соотношений (12), мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов многочлеиоз (10).
Зта система эквивалентна уравнению (11). Таким образом, изложенный метод сводит задачу отыскания решений вида (9) к решению некоторой линейной однородной системы алгебраических уравнений. Из сказанного видно, что решения вида (9) определены на всем бесконечном интервале — оо (г(+ со. Вопрос о том, как отыскивать асе решения уравнения (8), реигастся нижеследующей теоремой: Теорема 9. Допустилг, что детерминант гл(р) системы (8) не обращается тождественно в нуль, и пусть л„л,, — совокупность всех различных корней лгногочлена 0(р).
Тогда нроизво.гьное реигенгге х уравнения (8) лгожегп быть записано в виде: в=1,...,п где дг (1) — вектор, компоненты которого являются многочлеиами степени яг — 1. Для доказательства теоремы 9 нам достаточно показать тепеРь, что каждое слагаемое йг(т) е ' в пРавой части Равеи- Агг х=х,+...+хлп (13) где хг — некоторое решенгге уравнения (8), соответствующее кор- ню Хч (см, В)). Огггсюда, в частностгг, следует, чпго гсалсдое ре- исение уравнения (8), определено для всех значенпй г'. Д о к а з а т е л ь с т в о .
Допустим, что х = (х'..., х") — некоторое реигеиие урашгеиия (8) определенное на интервале гг(1(гэ; пока- жем, что иа этом интервале оно может быть записано в виде (13). В силу предло кения Ь), каждая функция х', в=1„,п, иа иигер- вале гг(г(г, удовлетворяет уравнению П(р) = 0, и потому в силу предлогкеиия В) $ 8 может быть запясагга иа этом иигериасте в виде: сл хл ~ч>~ ~л(т) еьгг (14) с=! Здесь ~,'(1) есть миогочлеи степени йг — 1, где яг — кратность корня 1, Таким образом, каждое решение х уравнения (8) на интервале своего определения гг(т(г, записывается в виде х=дг(1)е ' +„.+у„,(1)е (18) % 11] МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ства (15) есть решение уравнения (8).
Для доказательства этого подставим решение (15) в уравнение (8). Мы получим: 0=1.(р)(81Яс""+...+а (1)с' ') = =е '~ Е.(р+Л1)8'1®+...+е Е.(р+Л,„)д (1). (16) Так как числа Л,,Л,„попарно различны, то, в силу предложения В) й 10, из равенства (!6) следует: е" А(Р+Л;)У1(1)=0, 1=1„.„т, нли, иначе, Е(р)д;(Г)е ' =О, 1=1, „ла. Но это и значит, что х1=81(г)е 1' есть решение уравнения (8).
Итак, теорема Я доказана. Примеры 1. Решим методом исключения систему уравнений х1+ х1+ х'1 — О х' — х'+ ха + х» = О. Перепишем ее в символической форме: (р+1)х +рх =О, (1вэ — 1) х' + (рэ + 1) хэ = О, Детерминант системы, как легко видеть, равен р'+2р+1; ои имеет двукратный корень Л= — 1.
Согласно теореме Я решение сисгемы следует искать в виде: х1 =(аФ+ 6)е ', х1 = (с1-+ в1) е 1, Подстановка этих функпий в первое уравнение дает (после сокрашения на е '): а+ с — сг — с1 = О, откуда =О, ) Те же соотношения для коэффициентов получаются и при полста. новке во второе уравнение системы. Таким образом, общее реше1Н1е 72 ЛИНВПИЬлз Квтиеиня С ПОСтОяННЫМИ КОЭЕвнцнентЛМИ 1Гж я рассматриваемой системы записывается в виде: х' = (а1 + Ь) е~, хя ае-! где а и Ь вЂ” произвольные постоянные.
2. Применим метод исключения к нормальной системе линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами: х =~ а',х', /=1, „., и (17) (более полно такая система будет изучена в 9 14). Перепишем систе- му (17), пользуясь символическими обозначениями нлн, иначе где Ь', — символ Нронекера. Система (18) является частным случаем общей системы (6), причем 1., (р) = а, — р8, ! и детерминант В(р) в данном случае оказывается характеристическим детермннантом матрипы (а',) системы (17). Решение системы (18) следует теперь искать методом неопределенных коэффипнентов, изложенным в предложении В) и теореме 9.
Систему (17) можно записать в векторной форме: х= Ах, (19) где А с=(а ), х=(х', ..., х"). В частном случае, когда все корни 1,„.. „Х„характеристического многочлена О(р) попарно различны и потому просты, решение уравнения (19), соответствующее собственному значению лл, имеет вид; (20) где компоненты вектора л, являются многочленами нулевой степени, т. е. числами. 11олпавляя решсн!ле (20) в уравнение (19), получаем: кр л!! 1.!8!е ' = Ал'ле ТЭ метод исключе!1ия $ и? асс После сокращения нз е ' находим: Ад'с = ).сз'и / = 1, ..., и, с постоянными коэффициентами (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
