Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 8
Текст из файла (страница 8)
я (вообще говоря, нелинейных) систем. Фазовые пространства авто. номных систем так)ке находят важные приложения в технике. Благодаря всему сказанному глава о линейных уравнениях с постоянными коэффициентами занимает в этой книге значительно больше места, чем это обычно бывает в учебниках по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение всего материала настоящей главы очень элементарно, за исключением лишь $14, где используется жорданова форма матриц.
Все сделанное при помощи жордановой формы в дальнейшем не употребляется и может быть пропущено, как это подробно указано в $14. л ф 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) где г есть неизвестная функция независимого переменного 1, а. ко. зффициенты аи ..., ал суть постоянные числа (действительные или комплексные). Сначала будут найдены все комплексные решения этпгО уравнения, а затем (в случае, когда коэффициенты ан ..., ал действительны) из них будут выделены действительные решения.
Уравнение (1) можно записать в виде: г = — а,г — ... — а„,а — а,а, )л) )л-)) (2) так что к нему применима теорема существования и единственности (см. предложение В) $ 5). В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения (2) будут найдены явно н тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены в с е решения. В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнениИ с постоянными коэффициентами важную роль играет о п ер а ц и о н и о е и с ч и с л е н и е.
Мы используем здесь символическое (илн, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени 1 от произвольной функции г= г(1) обоз- и начается не через — г, а через рг, так что буква р, стоящая сле~й ва от функции, является символом дифференцирования по г. Если позволить себе применить к символу дифференцирования р некоторые алгебраические действия, то мы приходим к В этом и следующем параграфах будет решено линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка л, т.
е. уравнение )л) + )л-)) (1) СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕВ обозначению дь тхе=р е' сЧ Пользуясь этим обозначением, мы можем написать а а~л) + а,а(~-П + + а,е+ а а = а,р" г+ ар"' 'г+ .. „+ а„,ре+ а„а. Если теперь в правой части последнего равенства позволигь себе вынести за скобку функпию г, то мы получаем равенство а,г" + а,г~" ы +...
+ а„ф+ а,а = = (а,р" + ар" ' +... + а„р + а„) г. Таким образом, мы приходим к формальному определению. А) Пусть Е (р) = аяв" + а,р" ' +... + а„,р + а„ вЂ” произвольный многочлен относительно символа р с постоянными ковффиниентами (действительными или комплексными) и г — некоторая действительная или комплексная функция действительного переменного 1. Положим: ~ (р)е= ааа~"~ + а,а'" '1+... + а„,й+ а„г. Если ~(р) и М(р) суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования р), а г, г,, ая — функаии переменного 1, то. каи легко видеть, мы имеем тождества ~(Р)(гг+ гя) = ~ (Р) е1+ 1-(Р)а ~И.
(Р)+ М (р)) и= ~, (р) + д( (Р) а, ~. (Р) (М (р) е) = И. (Р) М (р)) . В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть записано в аиде: е(р)а=О, (4) где (. (Р)=Р" +- и Р"-'+". + а„~р+ а„. Б) Пусть А(Р) — произвольный многочлен относительно символа р. Тогда А (Р) ем = Е (А) е~. (б) Локажем формулу (б), Мы имеем ре~=Ф~ 44 линейные уРАВнения с пОстОянными кОэФФициентАми 1гл.
а (см. формулу (9) 9 5). Из этого следует, что р е =Л е". Отсюда формула (5) вытекает непосредственно (см. (3)). Из формулы (5) следует, что функция е~ тогда и только тогда является решением уравнения (4), когда число Л есть корень много- члена Е. (р). Многочлен 7.(р) называется характеристическим лгногочленом уравнения (4). В том случае, когда он не имеет кратных корней, совокупность всех решений уравнения (4) описывается следуиощей теоремой. Теорем а 4. Предположим, что характеристический много- член 7.(р) уравнения 7. (р)г=0 (6) (см. (1) н (4)) не имеет кратных корней, и обозначим его корни через Л„Л,„., Л„, Пол ожимг г,=е', г,=е -, ..., г„=е"и.
1,с х,с (7) Тогда при любых комплексных посптоянных с', с', ..., с" функиия а=с~а +сага+ ... +с г„ (8) является решением уравнения (6). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (6) может быть получено по формуле (8) при надлежащем выборе констант с', ~', ..., с", При этом константы с', с~, ..., с" (называемые постоянными, интегрирования) однозначно определяются для каждого данного решения г.
Заметим, что функции (7) определены на всей числовой пря., мой — со~. 1< +со. Доказательство. Из формулы (5) следует, что каждая функция системы (7) является решением уравнения (6), а из того, по уравнение (6) линейно и однородно, вытекает (см. 9 6, А)), что при произвольных комплексных константах с', с~, ..., с" формула (8) даег решение уравнения (б). Покажем, что если г =г (1) есть произвольное решение уравнения (6), то оно может быть записано в виде (8).
В силу предложения В) $ 5 мы можем считать, что решение гв определено на всей прямой — ОО< сс со. Положим: гь(0)= Ф г (0)=ем ..., ф-П(0)=г1А — П. Покажем теперь, что константы сн с,, ..., с„можно выбрать так, чгобы и решение г(~), определяемое формулой (8), удовлетворило тем же начальным условиям (О) = г„Л(О) = ~,, „г<" '> (О) =,"-'. (9) Подставляя функцию г из формулы (8) в уравнения (9), получаем: с'г, ~(0) + ... + с"г„ ~(0) = га ~; э = О, 1, ..., и — 1. (10) СЛУЧАИ ПРОСТЫХ КОРНВИ Соотношения (10) представляют собой систему из и уравнений относительно неизвестных с', св, . ° , с' Для того чтобы система (1 О) была разрешима, достаточно, чтобы детерминант матрицы » (0) » (О) " ». (О) ~, (О) ~,(О) ...
~„ (0) », (о) я,(о) ... »„ (0) (1 1) (и — 21 (0) (л-21 О) (и — 2) и (и-()(О) (л-Ф](0) (и (1 не обращался в нуль. НепосРедственно видно, что матРица (11) им н . 1 1 ... 1 Л, Л, , Л Л Л ... Л ! л Лл-( л ! 2 и потому ее детерминант (детерминант Вандермонда) отличен от нуля, так как все числа Л„ Л„ ..., Л, попарно различны. Однако мы дадим другое (непосредственное) доказательство того, что детерминант матрицы (11) отличен от нуля.
Доказательство это в дальнейшем будет обобщено и на случзй кратных корней. Если бы детерминант матрицы (11) обращался в нуль, то существовала бы линейная зависимость между ее строками. Допустимл что эта линейная зависимость имеет место. Это значит, что существуют такие числа Ьи „Ьи и .., Ь„не обращающиеся одновременно в нуль, что, умножая на них строки матрицы (11) и складывая, получаем нулевую строку. Выписывая А-й член этой нулевой строки, пблучаем: Ьл (»л(0)+Ьл а~а(0)+...+Ь,»„и '(0)+Ьр»„" ' (0)=0. (12) Если обозначить через М(р) многочлен Ь,ри '+Ь,ри '+...+Ь„,р+ +Ьи „то соотношение (12) можно записать в виде; М (р)»д! ( = О.
В силу формул (5) и (7), отсюда получаем; М(Л„)=О, а это невозможно, так как степень многочлена М (р) не превосходйт и — 1, потому он не может иметь а различных корней 46 ЛИНЕПНЫЕ УРЛВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИНИЕНГАМИ [Гл т Х„..., Ла, ..., Л„. Полученное противоречие показывает, что детерминант системы (10) отличен от нуля, и потому константы с'...
е" можно (и притом однозначно) выбрать так, чтобы решения г (Е) и л(Г) удовлетворяли одинаковым начальным условиям. При таком (и только при таком) выборе этих констант решение (8) совпадает с заданным решением е (Г). Итак, теорема 4 доказана. Если коэффициенты мпогочлена ~(р), входящего в уравнение (6)„ действительны, то возникает вопрос о выделении действительных решений нз совокупности (8) всех комплексных решений.
Решение этого вопроса опирается на предложение Г), при формулировке и доказательстве которого мы будем пользоваться векторными обозначениями. Напомним их здесь. В) Вепыором и-мерного пространства будем называть последовательность, состоящую из и чисел: и=(и', п', ..., и"). Здесь и — вектор, а и', пх, .„и" — числа, называемыз его ноординагпалки. Векторы всегда будем обозначать жирными буквами. Если координаты вектора — действительные числа, то вектор считается действительным, если же координаты его номплекены, то и сам вектор считается комплексным. Вектор и, комплексно сопряженный с вектором и, определяется равенством и = (и', й, ..., и").
Очевидно, что вектор и тогда и только тогда является действительным, когда и=и. Произведение вектора и =(и', пя, ..., и") на действительное или комплексное число «определяется формулой «и=и«=(«п1 «ца «пл) Су ижа векторов и=(п', и', ..., и) и ф=ф, оя, ., ол) определяется формулой а ~ т,а „л ~,,л) Нулевым вектором называется вектор О, все координаты которого равны нулю.
Пусть ин и„...,и, — конечная система векторов. Соотношение «'и, + «'их+... + «'и, = О, СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ где а„ и„ ..., а, — числа, срели когорых имеются не равные нулю, называется линейной зависимостью межлу векторами и„и,...,, и„. Если между векторами не существует линейной зависимости, то они называются линейно незазггсимымгг. Пусть п и;=(и2> и,-, ..., и!), ! =- 1, ..., г. Числа и', образуют матрицу (и(); 1=1, ..., и; /=1, ..., г. Если l' считать, что верхний индекс 1 указывает номер строки, а нижний ! — номер столбца, то матрица (и'.) имеет высоту п и ширину г.
2 Таким образом, вектору и! в матрице (и.) соответствует /-и столбец ! (состоящий из коорлинат этого вектора). Отсюда видно, что линейной зависимости векторов ин а:„..., и, соответствует линейная зависимость столбцов матрицы (и'.). В случае г=п матрица (и'.) квад! !' ратна, и векторы ин 2ам ..., и„тогда и только тогда линейно независимы, когда детерминант ~иг! этой матрицы отличен от нуля.
! Г) Пусть (1Э) «! ~ «гч — система из и линейно независимых комплексных векторов в л-мерном пространстве. Попустим, что система (13) вместе с каждым вектором содержит сопряженный ему вектор. При этих предположениях вектор «, определяемый формулой «=с'«, +... +с"«„, тогда и только тогла действителен, когда коэффициенты, стоящие при сопряженных векторзх, сопряжены, а коэффициенты, стоящие при действительных векторах, действительны. Локажем это.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
