Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Таковы были: формула для решения квадратного уравнения, формула Кардана для решения кубического уравнения и формула Феррари для решения уравнения четвертой степени. Позже было установлено, что для уравнений выше четвертой степени общей формулы решения в радикалах не существует. Осталась возможность приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами, а также возможность исследования зависимости корней уравнений от его коэффициентов.
Примерно такова же была эволюция понятия решения в теории дифференциальных уравнений. Первоначально стремились решать, или, как говорят, «интегрировать дифференциальные уравнения в квадратурах», т. е. пытались записать решение при помощи элементарных функций и интегралов от них. Позже, когда выяснилось, что решение в этом смысле существует лишь для очень немногих типов уравнений, центр тяжести теории "ч1ыл перенесен на изучение общих закономерностей поведения решений. В этом параграфе будут приведены методы интегрирования в квадратурах некоторых простейших уравнений первого порядка. Л) (У р а в н е н и е в и о л н ы х д и ф ф е р е н ц и а л а х).
Решим уравнение ввяденив 1гл $ левая часть которого является полным дифференциалом. Оказывается, что для каждого решения х = р (г) уравнения (1) справедливо тождество Р (г, р (1)) = сопя!. Обратно, каждая фушсция х=у(Х), заданная на некотором интервале и определяемая как неявная функция из уравнения Р(г, х)=с (3) (с произвольной константой с), является решением дифференциального уравнения (1). ~(окажем предложение А).
Пусть х= я(1) — решение дифференциального уравнения (!), определенное на интервале г, (1(г,. Тогда для всвх точек этого интервала мы имеем: т(с) й (с 9(Г)) й (т, у (т)) ' откуда получаем: й(г,, (1))И) — д(1, р(®=О, Левая часть этого равенства, в силу (2), представляет собой полную производную по 1 функции Р(Е, ~р(Е)), так что ,~ Р(~, р(®=О на всем интервале г,(1(гм В силу известной теоремы анализа, функция Р(Е, у(1)) есть константа на всем этом интервале. Обратно, пусть х=ь(1) есть решение уравнения (3).
рассматриваемое на некотором интервале, так что Р(1, Т(Е))=с. Дифференцируя это тождество по 1, мы в силу (2), получаеьп й6, 7(1))Ф(1) — д(1,7(г))=0, откуда видно, что х=т(1) есть решение дифференциального уравне. няя (1). Итак, предложение А) доказано. резулы агу, сформулированному в предложении А), можно дать следующее геометрическое истолкование.
Каждая интегральная кривая дифференциального уравнения (1) расположена с1ейпколс на некоторой линии уровня функцип Р(1, х), т, е определяется уравнениели (3). Обратно, каждая связная часть линии уровня (т. е. графил реитения уравнения (3), рассжатрпваелсого на некоторолс интервалее г,(1(гя) представляет собой интегральную кривую. Так как линия уровня функции Р(1, х) может состоять из песк ол ь к их отдельнгях кусков, то в этом случае целая линия уровня не 4 21 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 15 является одной интегральной кривой, а распадается на несколько интегральных кривых. Иными словами, одна константа с может, в силу неявного уравнения (3), определять несколько (и даже бесконечно много, см. пример 3) различных непродолжаемых решений.
Б) (Линейные уравнения). Решим уравнение х = а (Г) х + Ь (!), (4) где а(!) и Ь(с) определены и непрерывны на некотором интервале г,(т(г, (случаи г,= — ОО и г,=+со не исключаются). таким образом, открытое множество Г в плоскости Р определяется условиями гс(!(гм налагаемыми на г при произвольном х. Это множество представляет собой полосу, если г, и гя конечны; полунлоскость, если конечна только одна из величин гн г,, и плоскость, если бесконечны обе величины г„ г„. Правая часть уравнения (4) непрерывна вместе со своей частной производной по х на всем множестве Г, так что для уравнения (4) выполнены условия теоремы 1. Пусть Го — некоторая точка интервала г,(!(г„.
Положим: А (!) = $ а (т) стт. со Функция А(1) определена на всем интервале г,(тс г„. Оказывается, что совокупность всех решений уравнения (4) записывается формулой (6) < 'со А;-л! е ' ьсос) со (7) где хо — произвольная константа, Каждое из эгих решений определено на всем интервале г,(г(г, и потому непродолжаемо (так как за пределами этого интервала не определена правая часть уравнения (4)). Для доказательства предложения Б) заметим прежде всего, что функция х, заданная соотношением (6), является решением уравнения (4). Это непосредственно проверяется путем подстановки. Докажем, что формула (6) содержит все решения.
! !усть х='Р(!) — Некоторое решение уравнения (4), он! еделенное на интервале а,(г(гя Этот интервал должен содержаться в интервале г, (Г(г,, так как правая часть уравнения (4) определена тольло на этом последнем интервале. Пусть -, Е,— начальные значения решения х=су(!). Докажем, что можно так подобрать число х, в формуле (6), чтобы определяемое этой формулой решение имело своими начальными значениями т„с„т. е. удовлетворяло условию 16 введении 1гл л Этим будет доказано (см. теорему 1), что решение х=э(1) совпадает с решением (6) на всем интервале в,с "~(в,. Соотношение (7) является уравнением первой степени относительно неизвестной величины х, причем коэффициент е ИЫ при ха отличен от нуля. Следовательно, уравнение (7) разрешимо относительно неизвестной величины х,.
Итак, предложение Б) доказано. Для сравнения приведем другой (принятый в большинстве учебников) вывод формулы (6), облегчаюший ее запоминание. Прежде всего рассматривается о д н о р о д н о е уравнение (8) Это — уравнение в полных дифференциалах (см. А)). В самом деле, символически его можно записать в виде — — а(1)сИ= О. ау У Соответствующая функция Р(~, у) задается формулой Р(1, у)=1пф — А(1), и потому, в силу А), решения однородного уравнения (8) определя- ются как неявные функции из соотношения 1и ~у~ — А (1) = си Отсюда получаем 1у~ = е ~~ ' или, иначе, Л П1+сл у=се АЩ (9) где с может принимать любые действительные значения.
(Этот вывод содержит неточность, поскольку функция й (1, у) =у может обрашаться в нуль, так что условие 1) предложения А) не выполнено; неточность легко может быть устранена, но мы этого делать не будем, так как форл1ула (9) является частным случаем формулы (6), которая выше была полностью доказана.) Лля получения с помошью формулы (9) решения неоднородн о г о уравнения (4) применяется так называемый метод вариации постоянной. Именно, решение уравнения (4) ищется в виде (9), где с уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного 1. Подставляя это предполагаемое решение в уравнение (4), получаем: сел П1 + са (1) ел П1 = а (1) сел р1 + Ь (Г) или, что то же, се п1 = Ь (Е). а а! некотоэые элементАрные методы интеГРНРОЕАния Отсюда находим: с = ~ с лсо Ь (1) сй = х, + ~ е лсгн Ь (;) йт, гдв ха — константа интегрирования.
Примеры 1. Решим уравнение х =у(1) е(х), называемое уравнением с Будем предполагать, что функция ,г(!) определена и непрерывна на интервале г, С 8< г„ а функция А(х) определена, непрерывна и не обращается в нуль на интервале су,(х(су,. Рассматриваемое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Именно, оно может быть записано символически в виде: — — У®а=о. ссх е (х) Соответствующая функция Р(~, х) задается формулой Х с <ХА .) а(и) ~о я Здесь х„принадлежит интервалу д,~х(дм а х изменяется иа том же интервале; 1, принадлежит интервалу г,< !с. г,, а Й изменяется на том же интервале. В силу предложения А), все решения нашего уравнения получаются как неявные функции из соотношения х ( —" =)ссчс+' 2. Р зим уравнение в котором правая часть зависит лишь от отношения переменных х и !. Уравнение это называется однородным.
Будем предполагать, что функция )с(у) определена и непрерывна на интервале а,< у<, ая и что иа этом интервале функция сс(у) — у не обращается в нуль. Наше уравнение решается путем замены переменных. Именно, вместо неизвестной функции х мы введем неизвестную функцию у, положив х =ут. Производя эту подстановку, мы введении получаем для новой неизвестной функции у уравнение Р-~- у=и(у) или, что то же, Полученное уравненпе с разделяющимися переменными решается по способу, указанному в примере 1.
3. Решим уравнение х=х'созе (10) переменными. Множеством Г для него является При х >О и при х(0 уравнение это можно реуказанному в примере 1. Для каждой из этих имеем: с разделяющимися вся плоскость(1, х). шать по способу, полуплоскостей мы — ~ы1И или, иначе, 1 — — = з1п1 — с. х Таким образом, получаем: (11) х= с — мн г Нроме решений, описываемых этой формулой, мы имеем очевидное решение х=О. (12) Покажем, что формулы (11) и (12) охватывают совокупность всех решений уравнения (10). Пусть (8„х,) — произвольные начальные значения.
Если х,=О, то решение (!2) имеет эти начальные значения. Есин >ке х, ~ О, то указанные начальные значения имеет решение (11) при 1 с=а)нт,+ —. Ха Решение (12) определено на интервале ( — со, +со) и пбтому непродолл'аемо, Точно так же при ~ с / > 1 формула (11) определяет одно непродолжаемое решение, заданное на интервале ( — со, +со). При фиксированной константе с, удовлетворяющей неравенству ~с) ~ 1, формула (11) задает не одно решение, а б е с к о н е ч н о е и н ож е с т в о р е ш е н и й. Наждое отдельное решение в втом случае определено на интервале г, < 1 (г„ где г, и г — два соседних нуля функции э)п 1 — с (рис.
3). 4. Покажем, что если правая часть уравнения нв имеет непрерывной производной, то вторая часть теоремы 1 (единственность) некоторые влвминтлрные методы интвги!Рова/!ии 19 ыожет не иметь места. Рассмотри..! уравнение а з х= 3х (13) Правая часть уравнения (13) определена и непрерывна для всех ! з значений х, но ее производная 2х тергнит разрыв при х=О.Если ! ! ! ! ! ! ! ~г, о ! рис. 3. принять за Г множество всех точек плоскости Р, удовлетворяюн!их неравенству х ~е О, то к уравнени!о (13) применима теорема 1, и в каждой из полуплоскостей х) О, х <. О уравнение (! 3) мои!но ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Х / с-опт 1г.1 введения с п оходит в цолуплоскости 1» с) — в полуплоскости х О ас же (прн о нако, что ч ункци венно проверяется, д Рис.
4. то же время х~ т чк х~=0, т с прям (14) ва ешения (рпс. 4): р об азом, чер евгение р у Р Мы видим„что вторая часть т места для уравнения (13). реш шать по способу, этим способом, мы решая уравнение ( 13 укаэанному в примере =т — с, или получаем: х = —, и (14) х=(1 — с). з аа1 ФОРмУлиРОВкА теОРемы сУшестВОВАния и единственности 21 ф 3. формулировка теоремы существования и единственности В $ 1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение пер- вого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
