Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Соотношение (1) связывает три переменные величины 1, х, У. В некоторых случаях оно определяет переменное .Ф как однозначную неявную функцию независимых переменных 1, х. В ятом случае дифференциальное уравнение (1) равносильно дифференциальному уравнению вида ,к ~Я, х). (2) Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относительно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1). Именно уравнения, разрешенные относительно производной, мы и будем теперь рассматривать.

Мы не будем уже считать, что соотношение (2) получено в результате разрешения относительно к уравнения вида (1), а будем исходить из функции г(1, х) как из заданной функции двух независимых переменных 1, х. в и диеференцилльиов хрлвнвнив тлврвого порядка Для того чтобы пользоваться наглядными геометрическими представлениямн, мы введем в рассмотрение координатную плоскость Р переменных т н х. Прн этом 1 как независимое переменное мы будем откладыгать по осн абсцисс, а х как зависимое переменное— по осн ординат.

Функция у; определяющая дифференциальное уравненне (2), может быть задана не х для всех значений своих аргументов 1 н х, нлн, говоря геометрическнм языком, не во всех точках плоскости Р, а лишь в точках некоторого множества Г плоскости Р (рнс. 1). Относительно множества Г мы в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является оллкрытмым. Это значит, что наряду с каждой точкой р в Г входит н некоторый круг положительного радиуса с центром в р (см.

$ 32). Относительно функцни г будет предполагаться, что как она сама, так и ее частная производная — являются непрерывными функцнямн пары переменных т, х на всем д~' дх множестве Г. Решение х= у(1) уравнения (2) будем геометрнческн нзображать в плоскости Р в внде кривой с уравнением х =* у(1). Кривая эта в каждой точке имеет касательную н полностью прохо««риш оке«е Г; о ц~««р~ л«а «ри««« дифференциального уравнення (2).

Теорема существовэння и единственности Известно, какую большую роль в алгебре играют теоремы, отввчающие на вопрос о том, сколько решеннй имеет та нлн другая см стема алгебраических уравненнй. Такова, напрнмер, основная теор е м а а л г е б р ы, утверждающая, что многочлен и-й степени всегда имеет ровно и корней (счнтая с нх кратностями). Точно так же в теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросоля является вопрос о том, насколько много реше~ нй имеет днфференцнальное уравнение. Окааывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет б е с к о н е ч н о е множество решений, н потому прнходнтся ставить вопрос не о числе решениИ, а о том, как можнФ описать совокупность всех решений данного дифференциального урав меняя. Ответ на этот вопрос дает теорема существова пня й едннственностн (теорема 1), которая в этом параграфе приво ,цнтся без доказательства.

Доказательство будет дано значительнф позже (см. ф 20) вввдвнив Т е о р е м а 1. Пусть й=.г(1, х) — дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция г'(1, х) задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных 1, х. Относительно функции ~ будем предполагать, что она сама и ее частная производная — являются непредг дх рывными функцпямп на всем открытом множестве Г.

Теорема утверждает, что: 1) для всякой точки (1р, хр) множества Г найдется решение х=ср(1) уравнения (3), удовлетворяюивее условию 9©=хр' (4) 2) если два решения х=ф(1) и х=)((1) уравнения (3) совпадают хотя бы для одного значения 1=1р, т. е. если 9(1р) = ХЮ то решения вти тождественно равны для всех тех значений переменного 1, для которых они оба определены. Числа 1р, хр называются начальными значениями для решения х= р(1), а соотношение (4) — начальным условием для этого решения.

Говорят также, что решение х=вЩ удовлетворяет начальному условию (4) нлн же что оно имеет начальные значения 1р, х. Утверждение, что решение х= 4~(1) удовлетворяет начальному условню (4) (нли имеет начальные значения К„хр), предполагает, что ин!ерзал г,«~1«~г, определения решения х=~(1) содержит точку гр. Таким образом, теорема 1 утверждает, что координаты любой точки (1„х,) множества Г являются начальными значениями для некоторого решения. уравнения (3) и что дза решения с общими начальными зпаченнями:совпадают. Геометрпческое содержанне теоремы 1 заключается в том, что через каждую точку (т„хр) множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3) (см. рнс.

1). Говоря„что через каждую точку (1р, хр) множества Г проходит столько одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточность. В самом деле, решением уравнения (3) называется функция х=4 (!), заданнаа на вполне опРеделенном интеРвале г!(1«гр. Наряду с этой функцией может существовать функция х = ф(1), также удовлетворякнцая уравнению (3) н ямею:цая те же начальные значения 1р, хр, но заданная на другом интервале в!'~1(в,. Вторая часть теоремы 1 утверждает лишь, что функцня !у(М) н ф(Е) совпадают там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что ннтервалы их определення г,«.

т«, г н в!«." 1~в! одинаковы. 1 й дифэвявицидльиое гялвнанив первого пояядкл ' 11 Если один из интервалов, например г~(1(г полностью содержит другой, то мы будем говорить, что рещение х=~(~), заданное на интервале г,(1(г, является продолжением решения х=у(1). Естественно сосредоточить все внимание на тех решениях, которые нельвя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми, Нетрудно доказать (но это будет сделано позднее, см.

$22), что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого и притом единственным способом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжа- Г~— емого решения, то утверждение ф о том, что через каждую точку (1„ х,) проходит единственная интегральная кривая, становится точным, в Каждое решение х = у (1) уравнения (3) мы интерпретировали геометрически в виде графика функ- Ряс.

2. ции у((), Дадим теперь геометрическую интерпретацию самого уравнения (3). Через каждую точку (1, х) множества Г проведем прямую lо„с угловым коэффициентом г(8, х), Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что н дает геометрическую интерпретацию этого уравнения. Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2), по любая интегральная кривая х = у (1) в каждой своей точке (1, у(1)) касается прямой 1о <О.

Примеры 1. Для того чтобы проиллюстрировать значение теоремы 1 (в данном случае второй ее части), решим дифференциальное уравнение х=ах, (б) где а — действительное число. Здесь )(1,х)=ах, так что функция ) в действительности зависит лишь от переменного х. Множество точек, на котором определена функция У, в данном случае совпадает со всей плоскостью Р.

Как сама функция У(т х)=ах, так и ее производная ' =а являются непрерывд)'(г, х) дх ными функциями переменных 1 и х во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (б) применима. Непосредственной 12 Вэедгние 1гл. 1 подстановкой в уравнение (5) проверяется, что каждая функция х= се', (б) где с — произвольное действительное число, является решением уравнения (б). Решение это непродолжаемо, так как оно задано ужэ на всей прямой — со <. 1 (со. Покажем, что, придавая всевозможные значения числу с, мы получим в с е решения уравнения (5). Пусть х = у (1) — произвольное решение этого уравнения. Покажем, что при надлежащем выборе числа с мы имеем у(1)=се"'.

Пусть 1,— некоторая точка интервала существования решения ч (1) и х,=ср(1,). Положим с=х,е "о. Тогда решения х=у(1) и х=се"'=х,е"~' 'о' уравнения (5) имеют одинаковые начальные значения (1„х,) и потому в силу второй части теоремы 1 совпадают. Таким образом, формула (6) исчерпывает совокупность всех решений дифференциального уравнения (5). 2. Дадим математическое описание п р о ц е с с а р а с п а д а радиоактивного вещества.

Количество вещества, еще не распавшегося к моменту времени 1, обозначим через х(1). Из физических соображений следует, что (если нет условий для возникновения цепной реакции) скорость распада, т. е. производная х(г), пропорциональна имеющемуся количеству нераспавшегося радиоактивного вещества. х(г)= — Рх(г).

Здесь р — постоянный положительный коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств радиоактивного вещества, а знак минус в правой части означает, что х(1) убывает. Мы видим, что функция х(1) удовлетворяет простейшему дифференциальному уравнению, рассмотренному в примере 1, так что х(1)=се м. Для определения константы с достаточно указать какие-либо начальные значения. Если, например, известно, что в момент времени 1= О имелось количество вещества х„то с=хм и мы имеем; х (1) = хое а'.

Скорость распада выражается здесь величиной р размерности 1/сем. Часто вместо величины р скорость распада характеризуют так навываемым периодом лолураслада, т. е. временем, за которое распадается половина имеющегося запаса вещества. Обозначим период полураспада через Т и установим связь между величинами р и Т. Мы имеем: х е-аг — о ° откуда 7 = — 1и 2. 1 некотОРые элементлРные методы интеГРиРОВлния 13 ф 2. Некоторые элементарные методы интегрирования правая часть которого представлена в виде отношения функций й'(С,х) и Ь(т,х). Предполагается, что функции а(С,х) и Ь(С,х) определены и непрерывны на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных С, х, причем внаменатель Ь(С, х) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества, а выражение Ь (С, х) сСх— — л(С, х)с(С представляет собой полный дифференциал на всем множестве ' Г.

Последнее означает, что существует функция Р(С, х), определенная на множестве Г н удовлетворяющая на всем этом множестве условиям (2) — = — К(С х) дР(С, х) дс Уравнение (1) условимся символически записывать в виде уравнения Ь (С, х) ссх — сс (С, х) сСС = О, Главной задачей, возникающей перед нами, когда мы имеем дело с дифференциальным уравнением, является задача отыскания его решений. В теории дифференциальных уравнений, так же как в алгебре, вопрос о том, что значит найти решение уравнения, можно понимать по-разному. В алгебре первоначально стремились найти общую формулу с применением радикалов для решения уравнений каждой степени.

Характеристики

Список файлов книги