Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Этот подход к действительным уравнениям применяется потому, что в некоторых случаях легче найти комплексные решения действительных уравнений, чем их действительные решения. В этом случае находят сначала комплексные решения действительной системы уравнений, затем из комплексных решений выделяют действительные решения, т. е. рассматривают только такие комплексные решения, мнимая часть которых обращается в нуль. Именно таким приемом будут и дальнейшем решаться линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Так же, как в действительном случае, и в комплексном случае к нормальной системе можно свести довольно общие системы дифференциальных уравнений. Таким образом, мы имеем в комплексном случае предложения, аналогичные предложениям А), Б) й 4. Здесь дадим только формулировку теоремы существования для одного уравнения и-го порядка, В) Пусть 1Я1 г(~ ~ ш-И) — уравнение порядка и, в котором правая часть является многочленом относительно переменных г, а, ..., г'" " с коэффициентами, являющимися непрерывными действительными или комплекснымп функциями переменного г, определенными на интервале д~(1(дь Если тепеРь 1„ам ам ...,г„'" И вЂ” пРоизвольные нагальные значениЯ, 2$ ным условием д,<" 1<" д,, налагаемым на т, в то время как остальные переменные х', ..., х' и у'...„, у" остаются произвольными.
Полагая а( — х(+ 1У( l — 1 Ху (О = 9! (1) +!Фl (о 1 = ! ° ° ° л [Гл. ! ввсдвнии где з„ 4, ...„ за~" '! — произвольные комплексные числа, а 1а — действительное число, удовлетворяющее неравенствам д, а 1а(да, то суп!ествует решение а=у (1) уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям Ч'(га) = «а , <л-а) (1 ) а!л — !) Всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.
Если уравнение (6) линейно, т. е. многочлен г' имеет степень 1, то для любых начальных значений существует решение, определенное на всем интервале у,(1(у,. В й 7 и далее важную роль будет играть комплексная функция е' действительного переменного 1, где А — комплексное число. Ц Дадим здесь определение этой функпии и докажем некоторые ее свойства. Г) Пусть те = и +1п — произвольное комплексное число; положим: е" = г" (сов и+1 з)п и).
Легко видеть, что имеет место соотношение Ниже будет доказана формула емае а=е" +". ! 2' Из (7) непосредственно следуют известные формулы Эйлера; е'"+е !' епа — е !а соз и —, а1п и= Пусть ! =1а+1ч есть комплексное число. В силу формулы (7) мы имеем: ем=еае(соя ~!+1з(п 1). Мы покажем, что для комплексных значений 7 имеет место следующая формула дифференпиронания: — е =Ле, а! и ы ет те а аеа аеВ + + 2! + З1+''+ л1+'' Мы, однако, будем считать, что функпия е~ определяется формулсп (7). хорошо известная для действительных значений параметра ).. Формула (7), принятая здесь за о п р ед е л ен и е функпии е" комплексного переменного та, может быть д о к а з а н а, если функцию ем определить с помощью ряда $ а1 КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНПНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Докажем формулу (8).
Пусть тЕ> = и, + 1И„твч — — И, + 1В,. Тогда имеем: е ' е ч = е ! (соз и> + 1 э!и т>>) е ' (соз т>« + 1 з!и ич) = =е"'+""(сов(т>1+и)+1з!П(т>, +т>)) =ечч~ -'. Докажем теперь формулу (9). Рассмотрим сначала случай чисто мни- мого числа Л=Ь. !«1ы имеем: — е" = — (соз ч1+1з>и ч1)= — ч 3!п «1+Ь сов «1= 4 1„! Л гй ет = 1ч (соз «1+ 1 з1и ч1) =1че>"!. Далее, для произвольного Л=р+1« в силу формулы дифференнирования произведения имеем: ~' еи ~ (ея! еьл) ~ ( чс) 1 !+ея! ~ ( 1 !) 3а~ е>м+! еаза !~! ( +! ) ч!+ж 1 >! Примеры 1. Рассмотрим комплексное уравнение 2= Лг, (1О) где а=х+1у есть комплексная неизвестная функпия действительного переменного 1, а Л=р+Ь вЂ” комплексное число.
Из (9) следует, что а=се ' (1 !) есть решение уравнения (1О) при пронзволлной комплексной постоянной с. Покажем, что формула (11) охва.гыыает совокупность всех решений. Для этого, как и в примере 1 $ 1, можно было бы воспользоваться теоремой единственности, но мы используем здесь и теорему 3, для того чтобы показать, как ири ее помон>и можно несколько упростить вычисления. В данном случае эти упрощения очень незначительны, ио в дальнейшем аналогичный прием может дать более существенные результаты. Итак, пусть ю=)((1) — произвольное решение уравнения (10).
В силу теоремы 3 (см. заклк>чительну1о часть предложения В)) можно считать, что решение это определено для всех значений 1, Полагая у(0)=ам мы видим, что решение а=)((1) имеет своими начальными значениями числа О, а,. Те же начальные значения имеет, очевидно, и решение а=а„е, получаемое из (11) ири с=за. 1гл 1 Введении Если положить с =ге~', где г» 0 и и †действительн числа, то решение (11) записывается в форме г=ге +'. (12) Расгцепим теперь уравнение (10) на действительную и мнимую части. Мы имеем; х+К=(р+г«)(х+1у)=( — «у)+1(« -~-ру), или У =рх — «у, у=«х+ру. ) (13) Таким образом, система (13) двух действительных уравнений равносильна одному комплексному уравнению (10), и потому произвольное решение х=у(1), у=ф(1) системы (13) связано с произвольным решением (12) уравнения (1О) соотношением 1л(1)+1фЯ=геы"г"=г(еят сов(«г+сс)+ 1з1п («1+и)).
Отсюда получаем: х= я (Ю) =геа'соз(И+а), у = 'у Я = геЯ~ ив («1 + а). (14) Итак, пользуясь комплексными функциями и уравнениями, мы нашли решение (14) системы (13) действительных уравнений. 2. Падим еще один пример расщепления комплексного уравнения на два действительных. Пусть 2 = г«+ 1а — комплексное уравнение, где з=х+ 1у есть комплексная неизвестная функция действительного переменного 1. Мы имеем: х+ гу = (х+ 1у)'+ 1(х+ )у) =(х" — у" — у)+1(2ху+ х) н потому х=х' — у' — у, у = 2ху+х. ф 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях Система дифференциальных уравнений называется линейной, если все нецзвестпые функции и их производные, вместе взятые, входят в уравнения системы линейно.
Таким образом, система линейных Ф а! НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕПНГЯХ УРАВНЕНИЯХ уравнений самого общего вида может быть записана в форме 1=1, ..., л. ~~> а~~а(1)(у~)'~1=0, 1= 1, ..., л. Ла (2) Отметим несколько непосредственно проверяемых свойств линейных систем. При их формулировке будет предполагаться, что все коэффициенты и свободные члены линейной системы определены и непрерывны на интервале д,< 1(да; все рассматриваемые .решения будут предполагаться заданными на всем интервале д,(1<" дя А) Если у'=~р'(1) и у'=ф~(1); 1= — 1... л —.два решения линейной однородной системы (2), а с, и са — два произвольных числа, то система функций у' = с1ф' (1) + с.
ф' (1), 1= 1...,, л, также представляет собой решение одцородцои системы (2). Аналогичное утверждение справедливо также для трех н большего числа решениИ однородной системы (2). Б) Если х'=ф'(1) и х'=у'(1), 1=1...., и,— два решения линейной системы (1), то система функций представляет собой решение системы однородных уравнений (2). Далее, если у'=ср'(1), 1=1, ..., и, есть решение однородной системы уравнений (2), а х'=ф'(1); 1=1, ..., и, есть решение линейной системы (1), то система фушгцнй х'='р'(г)+ф'(1); 1=1, ..., и, представляет собой решение линейной системы (!). Е) Лоцустим, что свободные члены системы линейных уравнений (1) представлены в виде сумм: Ь;(1)=ас~(1)+~4;(1); 1=1...,, и; Здесь х'...„, х" — неизвестные функции независимого переменного 8, а коэффициенты а;~~(1) и свободные членгя Ь;(1) уравнений являются функциями Е.
Если все свободные члены системы (1) тождественно равны нулю, то система называется однородной. Каждой линейной системе соответствует однородная линейная система, получающаяся из нее отбрасыванием свободных членов. Таким образом, линейной системе (1) соответствует линейная однородная система 40 введение рассмотрим наряду с системой (1) две системы уравнений: ~) а~уа(1)(х1)'а1+сЦ(с)= 01 1=1...„п.
(4) Если х~=ф~(1), 1=1, ..., л, есть решение системы (3), а х'= 1('(С), 1=1, ..., и, есть решение системы (4), то система функций хе = ИФУ И)+ ЬУ (1), 1= 1> ..., и, йредставляет собой решение системы (1). ГЛАВА ВТОРАЯ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Системы обыкновенных дифференциалыпях уравнении с постоянными коэффициентами предстззляют собой большой и важныя класс обьп<новенных дифференциальных уравнений, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Ввиду того, что решение этих уравнений принципиально не предстззляет болыиих трудностей, часто считзют, что они не имен>т сколы<о-нибудь значительного интереса для теории, и в учебниках им обычно отводят место простого примера к обшей теории линейных урззнении.
Между тем линейные уравнения с постоянными коэффициентами имеют многочисленные технические применения, тзк как рзбота весьма многих технических объектов достаточно адэкватным образом описывается этими уравнениями. Именно технические применения выдвигают ряд новых задач теоретического характера в теории линейных уравнении с постоянными коэффициентами. Решению этих теоретических задач посвящено немало работ, имеющих прикладную направленность, и некоторые из них нашли отражение з настояшеИ главе. Так, в этой главе используются обычные для ип- женерноИ практики о п е р а ц и о и н ы е о б о з н а ч е и и я, которые очень удобны для решения систем уравнений методом исключения. Рассматривается вопрос об устойчивости решении систем линейным уравнениИ, очень важныИ в теории автомзтического управления.
Далее, излагается так называемыИ м ет од к о м п л е к с н о И а м п л и т у д ы, представляюшии собой удобный способ нахождения частных установившихся решениИ и широко применяемыИ в электротехнике. Не ограничиваясь решением чисто математических задач, порожденных практикой, я привожу здесь в очень краткой догматической форме изложение теории электрических цепей, Расчет электрических цепеи дает хорошую и важную с техническои точки зрения иллюстрацию развитых в этой главе математических мбтодов. Кроме того, в настоящую главу включено исследование фазовои плоскости линейных систем второго порядка, которому предшествует самое начальное изучение фазовых пространств автономных 42 ЛИНЕПНЫЕ уРАЕНЕННя С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИИИЕНТАМИ 1Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
