Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установлена теорема существования и единственности для этих общих систем уравнений. ))адим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде. В случае одной неизвестной функции х независимого переменного 1 обычно рассматривается одно уравнение, которое можно записать в виде: Р(1, х,,й, ..., .!"»)=О.
Здесь 1 — независимое переменное, х — его неизвестная функция, а Р— задайная функция п+ 2 переменных. Функция Г может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции Р. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности и+2, в котором координатами точки являются переменные 1, х, к, ..., х'"».
Если максимальный порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, равен л, то говорят, что имеется уравнение и-го порядка. Решением уравнения (1) называется такая непрерывная функция х = я (1) независимого переменного 1, определенная на некотором интервале г,(1(г„что при подстановке ее вместо х в урав- Вввдсннв [Гл ! нение (1) мы получаем тождество по 1 на интервале г,(г(г,, Очевидно, что подстановка х= ч (1) в соотношение (1) возможна лишь тогда, когда функция о(1) па всем интервале своего существования г,(г(г имеет производные до порядка и включительно. Для того чтобы подстановка х=у(1) в соотношение (1) была возможна„необходимо также, чтобы точка, имеющая координаты (г, в(1), ф(1)...:р'"1(1)~, принадлежала множеству В определения функции Р при произвольном 1 из интервала г,«. 1(гм Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих спси1елгу уравнений.
Система эта может быть ваписана в виде: Р(С, х, .Ф, ..., х' 1, у, я, ..., уоо)=0, 0(1, х, Х, ..., х' 1, у, 9, ..., упб) = О. (2) ( ~ ! ) ) Точно так же, если система (2) может быть разрешена относительно 3десь 1 — независимое переменное, х и у — две его неизвестные функции, а Г и 0 — две функции, каждая от ги+и+3 переменных, ваданные в некотором открытом множестве В, Если максимальный порядок производной функции х, входящей в систему (2), равен я, а максимальный порядок производной функции у, входящей в систему (2), равен и, то число т называется порядном системы (2) относительно х, число и — поряднож системы (2) относительно у, в число ги+ и называется порядном системы (2).
Решением системы (2) называется пара непрерывных функций х=у(1) и у=ф(1), заданных па некотором интервале г,(1(г, и обладающих тем свойством, что при подстановке их в соотношения (2) мы приходим к тождествам по г на всем интервале г,(1(г,. 1<ак и в случае одного уравнения, предполагаются выполненными условия, дающие возможность делать подстановку х=~(1), у=ф(1) в систему (2). Аналогично определяются системы дифференциальных уравнений с тремя и большим числом неизвестных функций от одного независимого переменного.
Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнений являются функции х', ..., х", а наивысший порядок пропзводиой функции х, входящей в систему, ра- 1 вен ои 1=1, ..., и, то число д, называется порядком системы относительно х~, а число д=д,+~уа+ ... +д называется порлдкохя системы. Таким образом, нормальная система (1) $3 имеет порядок п. Если соотношение (1) может быть разрешено относительно х'"1„ то уравнение (1) переписывается в виде: 4 «! сведение овщеи системы хвлвнении к иормлльноп 27 величин х' ' и у"', то эта система может быть переписана в виде: х' =7'(8, х, х, ..., х' '), у, у, ..., у ')), ) у'") =л(1, х, х, ..., х' ", у, у, ..., у'" "). ) (4) Уравнение (3) и система (4) называ(отся разрешвннь«лм относительно высших производных. Лналогично определя(отся разрешенные относительно высших производных системы с произвольным числом неизвестных функциИ. В частности, нормальная система (1) й 3 является разрешенной относительно высших производных.
В дальнейшем мы будем заниматься почти исключительно системами, разрешенными»относительно высших производных. Покажем теперь, что всякая имеющая порядок и система дифференциальных уравненцИ, разрешенная относительно высших производных, сводится к нормальной системе порядка и. Для начала покажем, как одно уравнение порядка и сводится к нормальной системе порядка л. Л) !!усть ,(л) Г(«»р (а — 1)) (5) х'=х', х'=х', (7) ( х"=Я, х', х', „„х").
Из этого в силу теоремы 2 следует, что для каждой точки уа уе> ° ° > уа(" " множества Г существует решение у = )(с) — одно дифференциальное уравнение порядка и, разрешенное относительно высшей производной. Здесь 1 — независимое переменное, у — неизвестная функция переменного 1. Далее, ~(1, у, !), ..., у'" ") есть заданная функция ««+ ! переменных Е, у, )), ..., у'" ", определенная в некотором открытом множестве Г координатного пространства размерности л+ 1. Относительно функции ~(1, у,у, ..., у'" ')) мы будем предполагать, что она непрерывна на множестве Г и что ее частные производные ф'(( у (> у~~-») (где предполагается, что у"'=у) также непрерывны на множестве Г. Для замены уравнения (5) нормальной системой уравнений вводятся новые неизвестные функции х', х', ..., х" независимого переменного 1 при помощи равенств х! = у, ха =у, ..., хл = у(л (). (6) Оказывается, что уравнение (5) эквивалентно системе 28 введении [Го, ! уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям ф[1([) у<,о1, )о О, 1, ..., п 1, (9) (10) Заменяя правые части соотношений (9) на основе соот«ошений (6), а правую часть соотношения (10) на основании уравнения (5), которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему (7).
Допустим, что, наоборот, функции х', ..., х" удовлетворяют системе (7); прил~ем ~огда х' за у и пока>кем, что функция у удовлетворяет уравнен«ю (5). Полагая в первом из уравнений системы (7) х'=у, получаем х" =у. Заменяя во втором из уравнений (7) х' через [), получаем хо=у. Продолжая это построение дальше, мы приходим к соотношен«ям (6). Наконец, заменяя в последнем из уравнений системы (7) каждую функцию х', ..., х" в силу формул (6), получаем урав.
наине (5) для у. Так как фу«кция 7 определена «а множестве Г, то правые части спстемы (7) также определены на множестве Г при условии замены координат по формулам (6). Для системы (7) выполнены условия теорет«л 2 на множестве Г. Таким образом, можно произвольно выбрать «ачадьные значения то, х,', х'„„..., х," в множестве Г. Эгн начальные значения в силу замены (6) превращаются в начальные зпаче«ил т уо Уо " уо [и-0 для урав«ения (5).
Если ураи«ение (5) линейно, то система (7) также линейна. Из этого в силу теоремы 3 вытекает заключительная часть предложен«я Л). или, как говорят, решение с начальными значениями [о уо Уо " уо" (8) Далее, любые два решения с начальными значениями (8) совпадают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (5) линейно, т. е. функция 7 линейна относительно переменных у, [), ... ...; у'" ", а коэффициенты ее определены и непрерывны на интервале 7,([(У,, то дла любых начальных значений то, У, [)о, ... ..., у'„"-'~, где д,([о(д„имеется решение у=ф(т), определенное на всем интервале д,([(д„, Докажем, что уравнение (5) эквивалентно системе (7). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению (5), и докажем, что функции х', ..., х", определенные соотношениями (6), удовлетворяют системе (7).
Дифференцируя соотношения (6), вводящие новые неизвестные функции х', ..., х", получаем: дсо=у[ь[; )о=1, ..., н — 1 ° ьо (л[ а а1 сВедение овшей системы уРАВнениЙ к ноРмАльной 29 Таким образом, предложение А) доказано. Прием, описанный в предложении А), дает возможность привести к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных. Для того чтобы не загромождать изложения формулами, рассмотрим в нижеследующем предложении Б) систему четвертого порядка, состоящую из двух уравнений. Б) Пусть й'=т(1, и, й, и, Ф), ( б=и(1, и, и, и, Ф) ) (11) — система двух уравнений второго порядка.
Здесь Ю вЂ” независимое переменное, а и и и — его неизвестные функции. Сведем систему (11) к нормальной системе, введя новые неизвестные функции х', х', х', х4, по следующим формулам: х'=и, х'=й, ха=э, х'=б. При этой замене система (11) переходит в систему х1 — хя, х'=И, х', х', х', ха), х =ха, ха К(1 х1 ха хв х ) (19) Если предположить, что функции 1' и л', стоящие в правых частях урзвнений (11), определены в некотором открытом множестве Г пятимерного пространства, где координатами точки служат 1, и, и, з, Ф, причем функции вти непрерывны и имеют непрерывные частные при взводные первого порядка по переменным и, и, и, Ф, то система (1$) нормальна и удовлетворяет условиям теоремы 2 на множестве Г.
Отсюда легко следует, что для произвольной точки См им и„ва, Эа множества Г существует решение и=у(С), п=~)(1) системы (11), удовлетворявшее начальным условиям т(1 )=и„Ф(1,)=й„ Ф(')= * ФИ)=ъ Кроме того, всякие решения с одинаковыми начальными условиямм совпадают на обшей части их интервалов существования. Доказательство предложения Б) проводится точно так же, как и доказательство предложения А). Если одно уравнение л-го порядка задано в форме Р(1, у, у, „у он) = О, (16 не разрешенной относительно высшей производной у~ "1 неизвестной фуа кции, то прежде всего возникает вопрос о возможности разрешении вввдвння Примеры 1.
Решим уравнение х+»ячх= О, (14) где м — положительная константа. Непосредственно проверяется, что функция х=гсоз(о»!+а), г= О, (!5) где г и а — постоянные, удовлетворяет этому уравнению. Покажем, что формула (15) охватывает совокупность всех решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
