Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть х=у(1) — произвольное решение уравнения (14). В силу теоремы 3 (см. конец предложения Л)) можно считать, что решение х=р(Г) определено для всех значений ~. Положим у(0)=х„, ф(0)=х,. Непосредственно проверяется, что можно подобрать постоянные г и х таким образом, чтобы имели место равенства г соз а =х„— гм з!и а= =х,. Если эти равенства выполнены, то решения (15) и р(1) имеюг одинаковые начальные зпачеш»я О, х„, х„и потому совпадают (с».
предложение А)). Функция (15) описывает гарлгонпчесний нолебательный процесс, Положительная константа г называется алгплитудой колебания (!5), а а — его начальной фазой или просто фазой. Уравнение (14) называется уравнением гармонических колебаний. Число ь» называется частотой колебаний, хотя в действительности число колеба»»ий в секунду определяется фор»улой 2, Рассмотрим движение точки р массы т по горизонтальной прямой 1 под действием силы Г, притягивающей ее к точке о на его относительно у!"»; этот вопрос можно считать не относящимся к области дифференциальных уравнений„ он относится скорее к области теории функций.
Здесь, однако, имеются некоторые вопросы, которые разбираются в теории дифференциальных уравнений. Они носят следующий характер. Допустим, что уравнение (13) является квадратным от»юснтельно переменного у!"». Тогда оно определяет двузначную функцию у'"» остальных переменных. Там, где два значения действительно различны, мы приходим в сущности к двум различным уравнениям вида (5), но там, где два значения переменного у!"», определяемые уравнением (13), сливаются, расщепленив на два уравнения вида (5) невозможно и приходится рассматривать уравнение (13). Изучение таких уравнений приводит к понятию об особых региениях дифференциального уравнения и к рассмотрению уравнений на поверхностях. Эти вопросы, однако, в книге рассматриваться не будут, й 41 свьдвнив овщви системы ввлвивнип к ноимлльноп 3! Это уравнение обычно записывается в виде: тх+ Ах = О.
(16) Физически сила г" может быть осуществлена какой-либо пружиной (рис. 5). Число А называется коэффициентом упругости этой пружины. Согласно формуле (15) решение уравнения (16) имеет вид: х=гсоз !/ й !+а~ г~0. т 3 .Гй Таким образом, частота колебаний ы= агг — точки р определяется ее массой т и упругостью пружины й; она не зависит от начальных условий. От начальных условий, т.
е. от положения хя точки р и ее скорости .Ф, в момент 1=О, зависят амплитуда г колебания н его начальная фаза и. Рис. 5. 3. Составим и решим приближенно уравнение нате натпчегкого маятники й1атематический маятник представляет собой точку р массы т, которая под действием силы тяжести движется по окружности К радиуса (, лежащей в вертикальной плоскости.
Величина Е называется длпной маятника. На окружности К введем угловую координату, приняв за начало координат самую нижнюю точку о окружности К (рис. 6). Переменную координату точки р обозначим через ч = з(г). Точка р находится под действием силы тяжести )о=ту, направленной вертикально вниз, Составляющая этой силы, направленная по нормали к окружности, уравновешивается благодаря реакции связи (окружности или нити, заставляюгцей точку двигаться по ОкРужности); составльчощая, направленная по касательной к окружности в точке р, равна — т~з1п ср (если за положительное той же прямой и пропорциональной расстоянию между точками р и о. Для составления уравнения движения точки р введем на прямой координату, приняв за начало точку о.
Переменную координату точки р обозначим через х=х(1). Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения точки р будет иметь вид: тх=Р= — Ах. !гл ! ВВЕДЕНИЕ направление на касательной припять направление, соответствуюгцее возрастанию угла я). Таким образом, уравнение движения точки р имеет вид: гиЯ= — игдв!п<р или, иначе, 7ф + я в !п» = О. (17) уравнение это нелинейно, и его решение представляет большие трудности. Если предположить, что координата а точки р в процессе движения мало отклоняется от нуля, то приближенно в у уравнении (17) можно заменить в!и «через р, и мы получим «приближенное» линейное уравнение маятника: / гу+ гр= о.
/ Его решение имеет вид 1см. (1б)): я =гсов л 8+а . бу Таким образом, частота «малых колебаний» маятника определяется формулой а = Рис. 6. э/ в в/ г 'число ч малых колебаний маятника в секунду определяется фор- мулой и 1 "аГД' 2в 2я г т Например, длина секундного лгалитника, т, е. маятника, совершающего одно колебание в секунду (»=1/сею), определяется формулой 4 1 СВК ~~ 0,2б М. ф 5.
Комплексные дифференциальные уравнения До сих пор мы рассматривали лишь действительные уравнения и их действительные решения. В некоторых случаях, однако, например при решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами, бывает легче найти сначала комплексные решения действительного уравнения„а затем уже выделить из них действительные решешш. Для изложения этого подхода мы должны ввести % 51 комплексныв дифэвввнцилльныв увлвнвния зз понятия комплексной' функции действительного переменного и комплексной системы дифференциальных уравнений.
А) Говорят, что задана комплексная функция Х(г) действительного переменного 1, если на некотором интервале г, (1 <. г каждому значению переменного т поставлено в соответствие комплексное число ХИ) = у И)+ Й(1) где ьф и ф(1) являются действительными функциями действительного переменного 1. Функция э(1) называется действительной частью комплексной функции Х(1), а функция ф(1) называется мнилтой часптью комплексной фУнкции Х(1)г КомплекснаЯ фУнкциЯ Х(1) называется непрерывной, если функции ч (1) и ф(г) непрерывны.
Точно так же комплексная функция Х (~) называется дпфференцпруемой, если,дифференцируемы функции ~ь(1) и ф(Е); производная Х(() комнлексной функции Х(~) определяется формулой ХИ)=ФИ)+МИ). Непосредственно проверяется, что имеют место обычные правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух комплексных функций действительного переченпого. Б) Пусть й =й (1', г', ..., а"); /=1, ..., и (') — нормальная система дифференциальных уравнений.
Относительно функций й'(1, г', ..., г"). стоящих в правых частях уравнений, мы предположим, что они определены для комплексных значений переменных а', ..., г'. Мы можем ограничиться, например, случаем, когда функции эти являются многочленами относительно переменных е', ..., г" с коэффициентами, являющимися действительными или комплексными непрерывными функциями действительного пере- медного 1, определенными и непрерывными на интервале д,< 1(д,.
При,этих условиях вполне законна постановка вопроса об отыскании комплексных решений системы (1). Систему г' = Х'(1); / = 1, ..., и, (~) комплексных функций действительного переменного г, заданных на некотором интервале г,(1(г,, будем называть решенпем системы (1), если при замене переменных а' функциями переменного 1 по, формулам (2), мы получим систему тождеств по 1 на этом интервале. Так как по предположению, правые части уравнений (1) являются многочленами относительно а', ..., а", то они определены для всех значений этих переменных. Оказывается, что имеет место следующая теорема существования и единственности для системы (1).
Пусть ~м ам ао ° ° ° ° зь Я Повтрягиы л. С. введения [Гл. ! — произвольная система начальных значений. Здесь г,',,„, г„" — произвольные комплексные числа, а г — произвельное действительное число, удовлетворяющее условию д,(1,(дм Тогда существует решение а = Х (г) ! = 1> ° ° ° систечы (1), удовлетворяющее начальным условиям у (1~)=з1>; /=1, ..., и. Всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения. Если система (1) линейиа, т. е. многочлены «' имеют степень 1, то для любых начальных значений существует решение уравнения (1), определенное на всем интервале д~(1(д,. Эта теорема существования и единственности для нормальной системы комплексных уравнений непосредственно вытекает из теоремы 2 после расщепления каждой комплексной неизвестной функции а' на ее действительную и мнимую части, В самом деле, положим: г~=х~-1-1у~; г=1, ..., и.
(3) и заменим переменные а~; т'=1, ..., и, в системе (1) по формулам (3); тогда будем иметь: х' —,' гУ'=У'(~, х', ..., х", у', ..., у")+ +(у'(г, х', ..., х", у'...., у"), (4) где ~' и д' — действительные функции действительных аргументов, удовлетворяющие соотношениям У (г> х > ° ° ° > х > у > "° > у )+ 1~ (г> х'> ...* х > у'> . ° ° > у") = «т(1 хл+1у| хл+1ул) Из (4) следует: Я вЂ” в (» х> ° ..> х> у» ° ° у)» Таким образом, нормальная система (1) комплексных уравнений заменилась нормальной системой (5) действительных уравнений.
Так как правые части уравнений (1) являются многочлеиами относительно а', ..., а", то правые части уравнений (5) являются миогочленами относительно х', ., х>, у', ..., у'. Так как коэффициенты миогочленов «' являются непрерывными функциями переменного на интервале д~ .1 д,„ то на том же интервале и коэффициенты многочлепов Г~ и д" являются непрерывными функциями. Таким образом, правые части системы (5) определены и удовлетворяют условиям теоремы 2 в открытом множестве Г, определяемом еди~ствеи- КОМПЛГКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ решения системы (б) при началь- мы приходим к задаче отыскания ных условиях т~ ((о) = х~~ Ф'(1,) =у~, 1=1,..., л, ! = 1, ..., и.
) В силу теоремы 2 решение это существует; всякив два решения с одинаковыми начальными условиями совпадак>т на общей час~и нх интервалов определения. Если система (1) линейна, то система (5) также линейна, и потому заключительная часть предложения Б) вытекает из теоремы 3. Следует отметить, что система (1), в правых частях которой стоят многочлены относительно переменных а', ..., г", может быть действительной, т. е. коэффициенты этих многочленов могут быть действительными функциями переменного 1; тем не менее мы можем и в этом случае рассматривать систему (1) как комплексную, именно искать ее комплексные решения, считая, что функ1ии а',..., з' комплексны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
