Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 10
Текст из файла (страница 10)
имеют место равенства во(Го)= |(1о)=".= . (Го)=0 (6) то,Л есть корень многочлена Е (р) и кратность этого корня не меньше Ь. Докажем предложение Б). В силу формулы смещения (см. (б)) имеем: в, (1) = в~Е (р + Л) г'. Допустим сначала, что Л есть А-кратный корень многочлена Е (р), т. е. что а это в силу (6) дает Допустим теперь, что имеют место равенства Ьо = Ьо = „,, — — Ь, = О, г ~.:', й — 1, (10) Е (р) = ЛЦр) (р — Л)'. Заменив в этом тождестве р через р+ Л, получим: Е(р+ Л) = М(р+ Л) р', (8) Из 'формул (7) и (8) получаем: в, (Г) = в М (р -+ Л) (р"1') = 0 при г = О, 1, ..., Ь вЂ” 1, так как р~г'= 0 при г< Ь.
Таким образом, первая часть предложе- ния Б) доказана. Допустим теперь, что имеют место соотношения (6). Разлагая Е(р+ Л) по степеням р, получаем: Е(р+Л)=Ь,+Ь,р+...+Ь„,р"-+Ь„р, (9) Из соотношений (7) и (9) получаем: во (го) е~оЬо, 53 случАи кРАтных коРнеи и докажем, что Ь,=О. В силу (7), (9) и (10) имеем: в, (1о) = а~о г1 Ь,, В силу (6) из этого следует Ь,= О. Таким образом, Ьо = Ь, =... = Ь„, = О, и мпогочлен 7.(р+Л) имеет вид: 7-(р+ Л) = Ь.р'+ "+ Ь.р" = (Ь + " + Ь.р" ") р' = Лл (р) р'.
Для того чтобы система (11) была разрешима, достагочно, чтобы дегермпнант матрицы а ) з Ю зов " ао(го ~и (то) Ф1(1о) (12) «с -О(г) а~ -н(г) а1' — О(1) был отличен от нуля. Покажем, что этот детерминант не равен нулю. Для этого покажем, что строки матрицы (12) линейно независимы. Заменяя в этом тождестве р через р — Л, получаем: 1. (р) = М,(р Л). (р Л)", а это показывает, что Л есть корень многочлена 1.(р)„причем кратность его не меньше /г.
,Таким образом, предложение Б) доказано. Доказательство теоремы 5. Из первой части предложени» Б) непосредственно следует, что функции (3), указанные в формулировке теоремы 5, являются решениями уравнения (2). Докажем, что, выбирая надлежащим образом константы с', ..., с", мы можем получить по формуле (4) произвольное решение г уравнения (2) (при этом, в отличие от того, что было сделано при доказательстве теоремы.4, мы здесь не будем пользоваться теоремой 3).
Пусть а — произвольное решение уравнения (2), определенное на некотором интервале г, (1 (г„ и пусть 1 — некоторое число из это~о интервала. Положим: аа(~о)=ао йо(1о)=4э .*., 4," ПИо)=а'," 'Теперь будем искать такие константы с', ..., с", чтобы решение г уравнения (2), определяемое формулой (4), удовлетворяло тем.
же начальным условиям, что и заданное решение г . Тогда будем иметь а = г (на интервале г, (1 ( го) в силу теоремы единственности. Для определения констант с', ..., с" мы получаем систему уравнений с'г1'>(1о) -+ соя~„" (1о) +... + с"а „'(Ео) = ф1, г = О, 1, ..., п — 1. (11) 54 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. л Допуст им противоположное, и пусть Ь„п Ь„я,..., Ьл — те константы, не обращающиеся одновременно в нуль, на которые следует умножить первую, вторую и так далее строки матрицы, для того чтобы сумма их была равна нулю.
Выписывая сумму элементов у-го столбца, получаем равенство Ь,з1." 'К~,)+Ь,х,". "т+ ... +Ь„-ля~,Ж+Ь. 2(Г.)=О. которое можно переписать в виде: М(р),~, . =О, (13) где М (р) = Ь,р" ' -+ Ь 1р" я+ ... + Ь„яр+ Ь„м Полученное рааеисзво (13) для Г'=1, ..., Ь, дает, что Л, есть по меньшей мере Ь;кратный корень многочлена М(р) (см. предложение Б)). Точно так же для /= Ь, + 1, ..., Ь, + Аа полученное равенство дает„ что ) есть по меньшей мере Ь,-кратный корень мпогочлена М(р). Совокупность всех равенств (13) приводит иас к выводу, что (с учетом кратностей) многочлен М(р) имеет не менее а корней, а это невозможно, так как его степень ие выше, чем и — 1. Итак, предположение о равенстве нулю детерминанта матрицы (12) привело нас к противоречию, а это значит, что система (11) разрешима (и притом однозначно) относительно неизвестных с', с', „с".
Таким образом, теорема б полностью доказана. Отметим одно очевидное следствие теоремы 5. В) Каждое решение г(1) уравнения (2) может быть записано в аиде: з(1)=~,(1)е~~'+~афс'а'+ ... +Г (1)е "', где Г (1) есть многочлен степени, не превосходящей числа Ь~ — 1, ~=1, „, яп. При этом многочлены ~,(Г)... ~л(Г) определены однозначно решением г(г), так как их коэффициенты являются константами интегрирования с', с', „с", которые в силу теоремы б определены решением з(1) однозначно. Если коэффициенты уравнения (2) действительны, то перед нами стоит задача выделения из совокупности комплексных решений уравнения (2) его действительных решений.
Г) Будем считать, что коэффициенты характеристического мно~очлена 1. (р) уравнения (2) действительны. Пусть Л вЂ” некоторый корень многочлена 1.(р) кратности Ь; тогда при Г=О, 1„.„Ь вЂ” 1 функция 1"с" является решением уравнения (2). Если корень Л действительный, то функция 1"е" действительна, если же корень Л комплексный, то наряду с решением 1'е" имеется комплексно-сопряженное ему решение г'ел', так как Лесть корень кратности Ь многочлена 1. (р), Таким образом, в системе решений (3) наряду с каждым комплексным аа1 СЛУЧАИ КРАТНЫХ КОРНЕИ решением имеется сопряженное с ним решение.
Для того цтобы решение (4) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффипиенты при действительных решениях были действительными, а коэффипиенты у попарно сопряженных комплексных решений были попарно сопряжены. Доказательство предложения Г) проводится точно так же, как и доказательство предложения Д) $ 7 па основе предложения Г) $ 7. Примеры 1. Решим уравнение г~+ Зг'~+ Зг'"+ г" = О. Уравнение это может быть записано в виде (2), где характеристический многочлен Е (р) имеет вид: р'+ Зр'+ Зр'+ р'= р'(р+ 1)' Корнями этого многочлена служат числа Л,=О, Л,=--1, имеющие кратности Л, = 2, Дя = 3.
Поэтому в силу теоремы 5 система решений (3) для рассматриваемого уравнения имеет вид: га=~ га=е, г,=1е, г,=1 е . — я -с Общее решение дается формулой г =(с'+ сМ) + (са+ сЧ+ саР) е ~. 2. Решим уравнение г!ч+ 2г-+,=О. Характеристический многочлен равен Е (р) =(ря+ 1)', его корнями (двукратными) являются числа Л,=1, Л,= — Е.
Общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде: г = (с' + с'т) е" + (с' + с'~) е ". Нижеследующие два примера дают общие правила выделения действительных решений, непосредственно вытекающие из предложения Г). Примеры 3 и 4 вполне аналогичны примерам 2 и 3 $7.
3. В примере 2 $7 не учитывался конкретный вид решений, а было лишь предположено, что система решений г„..., г„состоит из попарно сопряженных решений и действительных решений. Поэтому те же рассуждения показывают, что и в случае кратных корней мы имеем следующее общее правило. В системе (3) следует каждую пару комплексно-сопряженных решений заменить действительной и мнимой частями одного из этих решений. Полученная таким бп линепныв УРлвнения' с постоЯнными коэФФициентлми !гч % образом система функций обладает тем свойством, что любое действительное решение является их линейной комбинацией с действительными коэффициентами.
4. Пусть г~е~~, г'ем — два комплексно сопряженных решения из системы (3). В случае действительного решения а часть суммы (4), соответствующая этим решениям, может быть записана в виде: ~ — гтге!Рлчч!г + дге(в-! ч)г Положим: ! ьч с= — ре . 2 Ъогаа мы будем иметь: г = р('еяг соз (те+ а). (! 4) Этим способом можно каждую пару комплексно-сопряженных решений, входящих в сумму (4), заменить действительной функцией вида (!4), содержащей две произвольные действительные константы р и а.
Здесь вновь, как и в примере 3 $ 7, видно, что наличие мнимой части У чч: 0 корня Л придает решению колебательный характер, а наличие действительной части р -,ч: 0 корня Л вызывает либо возрастание решения (при !л >О), либо его убывание (при !л(0). Наконец, кратность корня Л вызывает появление множителя Ф; который также влечет возрастание решения, однако при г' — ОО и при !л(0 возрастание регнения, вызванное множителем М', гораздо меньше, чем убывание, вызванное множителем ел', так что при рс 0 (и любой кратности корня) решение стремится к нулю при возрастании г.
Б. Используя результаты примеров 3 и 4, мы можем записать все действительные решения уравнения, рассмотренного в примере 2, в двух следуюгцих формах: г= (а'+ а'г) сов г+(Ь'+ ЬЧ) з!и г, а= р, сов((+ а,)+рл(сов(1+ ал). ф 9. Устойчивые многочлены 1. (р) а=0 Пусть — линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.
Вопрос о том, как ведут себя решения этого уравнения при т — + ОО (стремятся ли они к нулю, остаются ограниченными или неограниченно возрастают), играет очень важную роль в целом ряде приложений теории обыкновенных дифференциальных уравнений. хстоичнвые ыногочлены В примерах 3 $ 7 и 4 $ 8 уже отмечалось, что этот вопрос о поведении решений уравнения (1) связан с тем, каковы действительные части корней многочлена Е (р). Формулируем теперь вту связь более точно: А) Иногочлен Е(р) называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные действительные части или, говоря геометрическим языком, лежат по левую сторону от мнимой оси плоскости комплексного переменного, Пусть Р'1 + 1тр / = 1 ~ ° ° ° ю гн — все корни многочлена Е(р), Если 'многочлен этот устойчив, то сушествует такое положительное число а, что ц ( — а, 1=1, ...,т.
(2) Мы покажем, что для каждого решения а(1) уравнения (1) в,этом случае найдется такое положительное число М, что ( 1 ) ~ ( М а ~ п р и 1 ) 0 Эта формула не только показывает, что каждое решение уравнения (1) стремится к нулю при 1 — -+со, но и оценивает, насколько быстро зто стремление к нулю происходи~, : Докажем формулу (3) сначала для произвольного решения г„ а=1, ..., л, уравнения (1), входяшего в систему функций (3) $8. Иы имеем: а,=1е ~, откуда ~ — ~ =1е А~ , ия,+юг ~ еТак как число цу+а в силу (2) отрицательнгь то функция 1'е стремится к нулю при 1 — сх> и потому ограничена при 12= 0. Таким образом, мы имеем: ~(М, при 1)0, или, что то же, ) а, ~ ( М,е при 1~~ О, Если теперь ~у(1)=с'а~+с ая+ ° «+ с ал — произвольное решение уравнения (1), то при 1 ) О имеем: ~ <р(1) ! м:- ( ~ с' ) М, + ~ са ~ ° Ма+...
+ ~ с" ~ М„) е "' = Ме "~. Таким образом, неравенство (3) доказано. Следует отметить, что если хотя бы один из корней Л1 многочлена Е(р) имеет положительхс ную действительную часть рт)0, то сушествует решение е1 уравнения (1), неограниченно возрастающее при 1 со. 58 линеЙные уРАВнения с пОстоянными коэФФициентАми [гл. а Нахождению различных, по возможности удобных для практического применения условий устойчивости многочленов до сих пор посвягдаются многие исследования математиков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
