Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Будем прелполагзть для определенности, ч2о зыш 22- нсны соотношения «2 = «М ° ° ° «Я»-2 = «Я» «! — — «4 /=2й+1, ..., и, а вектор « вЂ” вил: = с'«2+ с'«а+ + ~'"«2»..2+ с' '«ял+ ся»"«2»,2+ .. ° + с" «, (16) Если с'=с»...,, с'» '=с'», с'"+'=се""', . ь, с" =с", (17) то из равенств (15) и (16) следует, чго «=«, т. е.
что вектор р действителен. Если, наоборот, предположить, что вектор «де11. Тогда вектор «согласно (14) имеет вид: « = с'«, + с"«, +... + с'" '«2», + са»«2» + с'""2«2»„, +...+ с"«, (16) 48 линейные УРАВнениЯ с постОЯнныыи коэФФициентАми [гл. 2 ствителен, т. е. что г =г, то равенства (15) и (16) дают (в силу линейной независимости векторов (13)) систему соотношений (17).
Итак, предложение Г) доказано. Нижеследуюшее предложение Д) дает способ выделения действительных решений из совокупности всех комплексных решений уравнения (6) в случае, когда коэффициенты многочлена 7. (р) действительны. Д) Допустим, что коэффициенты многочлена 7.(р) действительны; тогда наряду с каждым комплексным корнем Х многочлен 7.(р) имеет сопряженный с ним корень Х. Решения ем и е уравнения (6) сопряжены между собой(см.5 5,Г)),Если же коренья действителен, то решение е"' действительно. Таким образом, наряду с каждым решением в системе решений (7) имеется также комплексно сопряженное с ним решение.
Для того чтобы решение (8) уравнения (6) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, стояшие при комплексно сопряженных решениях, были сопряжены, а коэффициенты при действительных решениях действительны. Для доказательства обозначим через га вектор с координатами «га(0),за(0),..., г1„" — а1(0), г <"-и (0)1 и через г — вектор с координатами ~юмам..., га1"-'1~. Тогда соотношения (10) принимают вид: с'г, + с'в,+...+ с"г„=г. ВектоРы гп гм..., г„линейно независимы, так как детеРминант матрицы (11) отличен от нуля.
Таким образом, необходимость приведенного в Д) условия следует непосредственно из Г). С другой стороны, если это условие выполнено, то решение (8) действительно. В самом деле, если Х1 и 1,,— два комплексно сопряженных корня, а с' и гав две комплексно сопряженные константы, то функции с'е ~' и с'е' ' комплексно сопряжены, а следовательно, их сумма действительна. Итак,'предложение Д) доказано.
Примеры 1. Найдем все комплексные решения уравнения а' — Зл+ 9з+ 1Зг = О. Его можно записать в виде (6), где Зра ~ 9р+ 13 Непосредственно проверяется, что р = — 1 есть корень характери-. стического многочлена 7. (р). Разделив 7. (р) на р+1, получаем: 7. (р)=(р+ 1)(рэ — 4р+ 13), откуда находим еше два корня 2 -~- 31. Таким образом, корнями сличли простых корней многочлена Е (р) являются числа Л, = 2+ ЗЕ, Ля = 2 — ЗЕ, Ла = — 1. В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения .имеет вид: г = с'е"+!!1!+ с'е" м~'+ сае ' В нижеследующих примерах 2 и 3 даются два общих правила выделения действительных решений. Правила эти непосредственно вытекают из предложения Д).
2. Будем считать, что система решений (7) удовлетворяет условиям а!= ая ° ° ° яяь-! =а!а а!а+! = ага+! ° ° ° *ел= ел (! 8) и положим: л!=х!+Еу! °" ля !=ха+ Еу где хи ..., хы у„..., ~„— действительные функции. Будем, далее, считать, что числа с', с...„с" удовлетворяют условиям (17) и положим: с'=2 (а' — ЕЬ'), ..., с" '= 2(а' — ЕЬ"), где а', . „аь, Ь|, ..., Ь» — действительные числа. При этих обозначениях общее действительное решение уравнения (6) ааписывается в виде: г = и!х!+ Ь'у, + „. +а "х +Ььуа+с!а+!ец,„!+...
+с"г„, где и! Ь! с!ь Ьй сань! сл суть произвольные действительные числа. 3, Опять будем считать, что решения (7) удовлетворяют условиям (!8); положим: Л!=Р!+Еэ! °" Ля!-! =ра+Ьа. В предположении, что числа с', са, ..., с" удовлетворяют условиям (17), мы можем положить: ы с = — р!е '... с =;-р„е и и,' ! -! ы В этих обозначениях каждое действительное решение х записывается в виде: л*= р,еи!' соа (и!Е+ а!) +... + рьеяа' сов (ч~Е+ аа)+ + с!!!'е та+1~+...+ с е ч. Здесь р!, ..., ры а„..., а„, с!а+!, ...,с" суть произвольные действительные константы.
Из последней записи видно, что каждая мнимая 60 ЛИНГПНЫВ ХРАВНЕНИя С ПОСтОяННЫМИ КОзафнцнвитАМИ 1Гь. а часть ~г ~ 0 корпя Л~ придает решению колебательный характер частоты «Ь а каждая действительная часть 1ь~ корня Л~ дает ему либо рост (при р~ >О), либо убывание (при 1ь (О), 4. Используя результаты примеров 2 и 3, мы можем записать все действительные решения уравнения, рассмотренного в примере 1, в двух следующих формах: г = а'ем сов Зг+ Ь|е" в1п 31+ с"е ', в = р,ем сов (31+ а,) + сае.~. ф 8. Линейное однородное уравненнв с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) Если характеристический многочлен ~(р) =р" + р '+ "+ .- р+ ° уравнения 1. (р) в=0 (1) (см. $ 7, А)) имеет кратные корни, то среди функций вида е~ нельзя найти и различных решений уравнения (1).
Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующим наводящим соображением. Пусть Л, и Л,— два различных действительных корня характеристического многочлена 7. (р); тогда функция е~'11 — е ь н — — является решением уравнения (1). Если теперь предполоЛг ЛВ жить, что при изменении коэффициентов многочлена с.(р) число Ля стремится к Л„ то это решение переходит (в пределе) в функцию те"1', о которой естественно предположить, что она является решением уравнения (1) в случае, если Л, есть двукратный корень многочлепа 1.(р). Аналогично мы приходим к догадке, что если Л есть й-кратный корень характеристического многочлена 1.(р), то решениями уравнения (1) являются все функции: е"г, ген ... 1ь 'еи, Распространяя эту догадку на случай комплексных кратных корней, мы приходим к предположению о справедливости нижеследующей теоремы (являющейся обобщением теоремы 4): Т е о р е м а 5.
Пусть (2) — линейное однородное уравнениепорядка п с постояннылги козффицпенталггп Пусть, далее, Лп ..., Л,„— совокупность всех попарно различных корней характеристического многочлена 1. (р) уравнения (2), паичелг корень Л~ имеет кратность lг~, так ч по словчат«кпьтных кояннн и«+йя+,„+А„,=п. Положим: г«=«е', ...> гь,-«ел,г. ьг В +, гь;«е,г.
— елгг « гь,» «=е~ л г (3) г м,ы л Тогда все функции (3) являются решениями уравнения (2), так что при любых комплексных постоянных с', са, ..., с" функцг«гг г= с'=., +...+ с"г„ (4) также является решен««ем эгпого уравнен««я..Решен«ге э«по ггвляется сбгщгглг в том смысле, что каждое решение уравнения (2) может быть полу«ено по формуле (4) при надлежагг«ем выборе констант с', ..., с". При этом констанпгы с', ..., с" однозначно определяются для каждого данного решения г.
Заметим, «го фу««кции (3) определены на нсей числоной прямой — со (1(+ со. Доказательству теоремы 5 предпощлем доказательство формулы смеи«ения. А) Пусть Е(р) — ггроизноль гг,гй мпогочлеп, Л вЂ” произнольное комплексное число и 2(1) — произвольная достаточное число раз дифференцируемая функпия. Тогда имеет место следующая важная формула: 1- (р) (е Ч Я) = е" ' (. (р+ Л)И) (5) р (е~1 (1)) = Л еггл (1)-+ елУ(Ю)= ем (р+ Л)Т(1).
Теперь формулу (5) легко проверить для произвольного многочлена первой степени С(р)=ар+ Ь. Мы имеем: (ар+ Ь) (е~~ (1)) = ар (еиЯ)) + Ьел«2 Я = =аеп(р+ Л)2 (1)+ Ьел«2 (1)=е~(а(р+Л)+ Ь)ТЯ. Доказательсгво формулы (5) в общем случае проведем индуктинпо по степени п многочлена Е(р). Для и=1 формула, как мы нидели, верна. Допустг«ьг, что она справедлива для многочлена степени и — 1 (п-2), и докажем ее для многочлена г'.(р) степени п. Для этого мпогочлен «.
(р) степени и разложим на два множителя 7.(р)= = Е.«(р) ° Е«(р), где Ег (р) имеет степень 1, а Щ(р) имеет степень и — 1. Так как для каждого из многочленон А«(р) и Е,(р) формула (5) справедлива, то мы имеем (см. $7, А)): А (р) (е"У(1)) = Ег (р) (Еа (р) (еЛ«2' Я)) = У«(р) (е" 5я(р+ Л)Л (1)) = 7 (Р+ Л) ~-а(Р+ЛУТ= г~-(Р+1)Е(1) Докажем формулу (5). Проверим ее сначала для случая Е (р): — р. Мы имеем: б2 линепн|яе УРАВнениЯ с постоЯнными кОВФФициентАми 1Гл. т Таким образом; формула (б) доказана.
Докажем теперь предложение Б), в котором теорема б почти полностью содержится. Б) Пусть Е(р) — произвольный многочлен относительно символа р и пусть функция в„(г) действительного переменного 1 определяется формулой в, (о) = Е (р) г е~, где Л вЂ” комплексное число. Оказывается, что если Л есть 7о-кратный корень многочлена Е(р), то функции во(г), ..., в„,(г) тождественно равны нулю. С другой стороны, оказывается, что если функции во(Г), в,(1), ..., во,(г) равны нулю хотя бы для одного значения т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
