Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для многочлена второй степени условие устойчивости непосредственно выводится из формулы решения квадратного уравнения (см. Б)). Вопрос об устойчивости многочлена произвольной степени и был решен в несколько различных формах математиками Раусом и Гурвицем.
Условия Рауса — Гурвица, однако, мало удобны для вычислительной практики, и потому продолжают до сих пор отыскивать новые формулировки условий устойчивости. Здесь будет приведено доказательство критерия Рауса — Гурвица для и= 3 и без доказательства будет дано условие устойчивости для произвольной степени и в форме Гурвица.
Б) Многочлен второй степени Е(р)=ря+ар+Ь с действительными коэффициентами а и Ь тогда и только тогда устойчив, когда коэффициенты его поло кительны. Это утверждение легко проверяется при помощи формулы решения квадратного уравнения. В) Если многочлен Е (р) =р" + ау" ' + ... + а„ с действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положительны.
Для доказательства разложим многочлен Е(р) на действительные множители первой и второй степени, т. е. на множители вида р+с и р'+ар+Ь. Так как многочлен Е~р) устойчив, то и каждый множитель указанного вида, входящий в его состав, также устойчив. Для устойчивости множителя р + с необходимо, чтобы число с было положительно, а для устойчивости множителя р~+ар+ Ь необходимо, чтобы оба числа а, Ь были положительными. Из положительности коэффициентов множителей легко следует положительность коэффициентов произведения. Нижеследующая теорема дает критерий устойчивости для много- членов 3-й степени. Теорема 6.
Многочлен Е (р) = а,р'-+ ау'+ аьр+ аа, а, ~ 0 с деиствительныии коэффиииенталги тогда и только тогда устоачив, когда числа а„ам аа положительны и, сверх того, выпол« нено неравенство а1аа > аоаа Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве будем рассматривать лшогочлен Е(р) =ръ+ ара +- Ьр.+' ю случай общего многочлена Е ~р) легко сводится к этому. В силу предложения В) нам достаточно доказать, что многочлен (4) с положитее л ь н ы м и коэффициентал~и а, Ь, с тогда и тОлькО тогда устойчив, устойчивые многочлены $91 когда имеет место неравенство аЬ >с. При доказательстве мы воспользуемся тем, что корпи многочлена являются непрерывными функциями его коэффициентов. Выясним прежде всего, при каких условиях многочлен (4) имеет чисто мнимые корни, в частности, корень р= О, который также следует считать чисто мнимым, так как он лежит на мнимой осн. Мы имеем: /.
(р) =(р+ а)(ря+ Ь) — аЬ+ с. (6) /.(/ )= — аЬ-, с=о. Обратно, если аЬ=с, то в силу (6) многочлеп /.(р) имеет чисто мнимые корпи р=-+-Ф Ь. Таким образом, мпогочлен /.(р) (с положительными коэффициентами) тогда и только тогда имеет чисто мнимые корни, когда аЬ= с. В частности, при непрерывном изменении положительных коэффициентов а, Ь, с корень многочлена /. (р) только тогда может пересечь мнимую ось, когда выполнено равенство аЬ=с. Допустим„что неравенство (5) не выполняется.
Тогда либо аЬ=с, либо аЬ(с. В нервом случае многочлен I (р) имеет чисто мнимые корни и, следовательно, неустойчив. Покажем, что во втором случае, т. е. при выполнении неравенства аЬ< с, (7) мпогочлен /. (р) также неустойчив. Будем менять непрерывно коэффициенты а и Ь, оставляя их положительны.чи, так, еггобы онп стремились к нулро и чтобы при этом неравепсгво (7) пе нарушалось. При этом изменении ни один корень не перейдет с одной стороны мнимой оси на другую, и, следовательно, свойство многочлена быть устойчивым или неустойчивым не изменится.
При а = Ь= О получаем еоо е р'-ЕЕ елыр е ее орю Е' е~еое —.' -<-Ееео.„-~, ее шие по прзвую сторону мнимой оси. В силу непрерывности зависимости корней от коэффициентов, неустойчивость (наличие корней справа от мнимой осн) сохраняется и при достаточно малых положительных а и Ь, Если многочлен /.(р) имеет корень О, то с=О, а это по предположению исключено, так как с)О. /(опустим, что корнем многочлена /.(р) является число /ш, где ш ~ О. Если предположить при этом, что число — ш'+Ь отлично от нуля, то число (/ш+а)( — ш" +Ь) имеет отличную от нуля мнимую часть и не может взаимно уничто жаться с действительным числом — аЬ+с. Таким образом, число /ш лишь тогда может быть корнем многочлена /.
(р), когда — ш'+ Ь = О; в этом случае мы имеем равенство 60 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИцИЕНтАМИ [Ги. 2 Допустим теперь, что неравенство (5) выполнено, и покажем, что многочлеп Е (р) устойчив. Для этого будем менять коэффициент с так, чгобы он стремился к нулю, оставаясь положительным, и чтобы неравенство (5) при этом не нарушалось. При с = О мы получаем многочлен [-(Р)=Р(Р + Р+ и) имеющий один нулевой корень и два корня с отрицательными действительными частями. При малом положительном с эти два корня мало изменятся, так что произведение их останется положительным, а нулевой корень перейдет в малый положительный или отрицательный.
Так как произведение всех трех корней равно отрицательному числу — с, то корень, близкий к нулю, будет отрицателен. Итак, теорема б доказана. Для того чтобы формулировать необходимые и достаточные условмя устойчивости любого многочлена с действительными коэффициентами, условимся сначала о терминологии. Пусть Ры Рм "° Р[и Ргп Р22 ° * Рьи Ри1 Риа ° ° ° Рии — произвольная квадратная матрица порядка п. Будем называ гь ее главным й-м минором детерминант матрицы Ри Рм "° Р[ Рп Р22 "° Рь Ртп Рьа ° " Рьь минор этот мы будем обозначать через йь(Р). Таким образом, детерминант Гьь(Р) составлен из элементов матрицы Р, входящих в первые й столбцов и строк.
Теорема 7. Пусть аьр" + а, р" '+ ... + а„, аь ."> О (8) — произвольный многочлен' степени и с действительными коэффициентами. Для того чтобы выяснить вопрос о его устойчивости, составляют матрицу а[ аь аь ° ° ° а а, а, ... О О а, а, аи-2 аи 61 >>СТОИЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 991 порядка и. Оказывается, что многочлен (8) устойчив тогда и только тогда, когда все главные лгиноры Ь» (Я), )г = 1,, „за матрицы Я положительны. Теорема 7 в этой книге доказана не будет.
Локааательство ее можно найти, например; в книге: Н. Г, Четаев, Устойчивость движения, Гостехиздат, М., 1955 (см. стр. 79 — 83). Во избежание недораэумений опишем матрицу Я. Столбец номера Й матрицы Я имеет вид: ... а»,9 а»+> а»а» „а» з ...> где элемент а» стоит на главной диагонали; при этом элемент а»+1, индекс 19+у которого отрицателен или больше и, считается равным нулю. Примеры 1.
Выведем иа теоремы 7 теорему 6. В случае п=3 матрица О имеет вид: < а, а, 0 аз аз 0 0 а| аз Ве три главных минора имеют значения Ь~Щ)=ам Ьз(Я)=а»аз — а аз, Ь»Я)=аз ° >зяб). Условие их положительности вместе с условием положительности коэффициента а, равносильны условиям: аз)0, а,)0, аз)0, а,аз)а а,.
Из совокупности этих условий вытекает, как легко видеть, положительность коэффициента а,. Таким образом, в случае н=3 теорема 7 превращается в теорему 6. ' '2.'В случае н='1 матрица Я имеет вид'. а, аз 0 0 аз аз аз 0 0 аз аз аз Ее главные миноры имеют следующие значении: Ьз (Я) = ай Ьз (Я) = а1 аз — аз аз,' д>з(Я)= аз >»9(Я) — а аз; »з Я)=аз ' »з Я) Условие положительности этих миноров вместе с условием а,) 0 эквивалентно, как легко видеть, условиям аз)0, аз)0 аз)0, аз)О, а,)0, аз (ф'= а, а а — а а,' — а,' оз) О.
62 линвиныз УгАвнзния с постоянными коэффициентами 1г.а ф 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффицвентами Здесь будет дано решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами со свободным членом специального вида, являющимся так называемым к вазимногочленом. А) Кеазимногочленом будем называть всякую функцию Г(Е), которую можно записать в виде Р (Е) = Е, (Е) е" ас + ~, (Е) е "ы + ...
+~„, (Е) е" ед, где Л„Лю,... Л суть некоторые комплексные числа, а ~,(Е), 1,(Е), ..., ~,„(Е) — многочлены от Е. Из предложения В) $8 следует, что каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Можно доказать, что и обратно, каждый квазимногочлен является решением некоторо~ о линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Если какие-нибудь два числа последовательности Ль Л„ .
„, Л совпадают между, собой, например, если Л, = Лю то члены суммы (1), соответствующие этим числам, можно объединить и заменить членом (~,(Е)+~,(Е))е"1'. Таким образом, запись (!) всегда можно привести к такому виду, что числа Ли Ля..... Л, входящие в нее, попарно различны. Отметим, что сумма и произведение двух произвольных квазимногочленов также есть квазимногочлен; далее, если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор Е(р), то мы вновь получим квазимногочлен.
Таким образом, в настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение некоторый квазимногочлен рассмотрим соответствующее однородное уравнение Е(р)п=О. (3) Нижеследующее предложение непосредственно вытекает из замечания Б) й 6. Б) Если г есть некоторое решение уравнения (2), то произвольное решение г того же уравнения может быть записано в виде: А г= г+ и> где и есть некоторое решение уравнения (3). Так как произвольное решение однородного уравнения мы отыскивать уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию одного решения или, как говорят, частного решения уравнения (2) в случае, когда Р(Е) есть квазимногочлен. Так как, далее, каждый квазимногочлен записывается в виде (1), то в силу замечания В) ф 6 4 м1 ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЯ дело сводится к отысканию частного решения уравнения (2) в случае, когда Е'(1) =~(Ф) е, где г (1) —.
многочлен. Для этого случая решение отыскивается в нижеследующей теореме. Во избежание недоразумений отметим, что в дальнейшем под многочленом с т е п е н и г мы будем понимать функцию вида аь 8'+ +агг' '+ ... +а, гг+а„не предполагая непременно, что старший коэффгггиеит а, отличен от нуля. Т е о р е м а 8. Расслгопгрггм неоднородное уравнение 1. (р) г =у (1) ег, (4) в когпором г (1) есть многочлен степени г относительно 1, а Л— комплексное число. Пусть й=О, если Е.
(Л) ф О, и и — кратность корил Л, если Е(Л)=0. Оказываетсп, что существует частное реигение уравнении (4), имеющее вид; е =1»8'(1) егг, (б) где д(1) есть многочлен степени г относительно 8. Коэффггцггенты многочлена 8'(С) можно найтгг методом неопределенных коэффициентов. Доказательство. Положим: И) =а»~'+Р(О и будем искать многочлеи и(1) в виде: в(0= А»~ +и"*(О (7) где многочлены У*(1) и 8*(М) имеют степень г — 1. Далее, в силу выбора числа и мы имеем: Е (р) = М (р) (р А)», (8) где М(Л):„-е О. Для того чтобы функция (б) являлась решением уравнения (4), должно быть выполнено условие (см. 9 8, А)) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
