Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(р) е г» и(Ф) е Е(р+Л)г» и(1) ем~® т. е. многочлен и(Г) должен удовлетворять условию: г. (р ~- л) 1» д(1) =У (1). (9) Миогочлен М(р+Л) имеет своим свободным членом число М(Л):фО и потому может быть записан в виде: М(р+ Л) =М(Л)+ Ма (р) р, М(Л) -,г: О. (10) Принимая во внимание соотношения (6), (7), (8) и (10), мы можем теперь условие (9), налагаемое иа миогочлен и(1), записать в виде: Ьь М (Л) Р г» ь'+ Ьь М ь (Р) Р~+ г 1»+ '+ Е (Р + Л) г" 8' (Г) = аь 1' +~ь (1). (11) 64 линейные УРАВнениЯ с постоянными коэФФициентАми [Гл.
а Приравнивая члены, содержащие Г' в равенстве (11), получаем соотношение ЬлМ(Л)р»Г~+~=а л; (12) из которого коэффициент Ьл искомого многочлена л'(1) определяется (ибо М(Л) ф 0) и притом однозначно. Будем считать теперь, что коэффициент Ь, уже выбран, так что соотношение (12) выполнено; тогда соотношение (!1) принимает вид: У. (р+. ЛУ'Е (Г)=У*Д вЂ” Ь,М (р) р' 1'", где в правой части равенства стоит известный многочлен степени г — 1, а слева — неизвестный многочлен у*(Г) степени г — 1. Уравнение (13) отличается от уравнения (9) только степенью входящих в него многочленов, которая понизилась на единицу. Повторяя для уравнения (13) вычисления, проведенные ранее для уравнения (9), мы вычислим коэффициент 1>, при высшей, т.
е. (г — 1)-й степени 1 многочлена й'" (Г). Продолжая этот процесс дальше, мы вычислим все коэффициенты ЬФ Ьп ..., Ь, многочлена д'(Г) таким образом, чтобы он удовлетворял условию (9), и тем самым найдем решение вида (б) уравнения (4), Можно было бы подставить решение вида (б) прямо в уравнение (4) и, считая коэффициенты многочлена д(1) неизвестными, получить для этих коэффициентов систему линейных уравнений путем приравнивания коэффициентов при одинаковых членах в правой и левой частях соотношения (4). Проведенные выше вычисления показывают, что система уравнений, получаемая для коэффициентов многочлена д(Г) разрешима. Таким образом, теорема 8 доказана.
3 а и е ч а н и е. Полученная система для определения коэффициентов многочлена А(1) является системой линейных уравнений с треугольной матрицей: при приравнивании коэффициентов у членов Г'е ' мы получаем уравнение, содержащее только Ьл; при приравнивании коэффициентов у членов Г' 'е" мы получаем уравнение, содержащее только Ь и Ьп и т. д. Установим одно важное свойство квазимногочленов. В) Если квазимногочлен Г (1) = ~, (1) е" 1' + ~, (1) е~л' +...
+,~,л Я е~т', где Л,, Лм..., Л вЂ” попарно различные числа, тождественно равен нулю на некотором интервале г,(1(гм то все многочлены у,(Г), Гл(т),..., у (г) тождественно равны нулю, а следовательно, и все коэффициенты квазимногочлена т"-(1) равны нулю. Из этого непосредственно следует, что если два квззимногочлена Р(1) и т=*(1) тождественно равны между собой на некотором интервале г,(1(г„, то их соответственные коэффициенты совпадают. ЛИНЕИНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ Ф !а1 Предложение В) будем доказывать индуктпвно по числу гл, которое будем здесь называть лорядмолг квазпмпогочлена Р(1). При ля= 1 оно справедливо, так как в этом случае равенства Р(~)= =~,(!)е1'=О и ~,(!)=О эквивалентны.
Проведем теперь индуктивный переход от лг — 1 к лг(т)2). Если квазимногочлен Р(т) тождественно равен нулю на интервале гг(г(гя, то это же имеет место и для квазимногочлена 0Я вЂ” р (Р(!) е4') где р — оператор дифференцирования, а г' — степень многочлепа Г (1). В силу предложения А) й 8 мы имеем: О(!)=дг(!)е ' "' +8я(!)е ' и +...+8'~,(()е "'-' где Квазиьпгогочлен О(!) имеет порядок гп — 1 и так как оп тождественно равен нулю на интервале гг(г(г„то в силу предположения индукции все многочлены дг (1),..., уя,(т) тождественно равны нулю.
Предположим, что какой-либо из многочленов ~г(!)... г г(!) не равен нулю, например ~г(!) „-~: О, и приведем это предположение к противоречию. Допустим, что многочлен ~,(!) имеет степень гг, т. е. гг(!)=аяг~+агг" '+...+ ая, причем а, ~ О. Непосредственно проверяется, что д,(!) =(Р+ Лч Л„,)г гГг(г) =(Л, — Л.)г+~ а, !и+..., а так как многочлен ег(1) тождественно равен нулго на интервале г,(!(гя, то мы имеем: ()ч — Л,„)'+' ая = О.
Примеры 1. Найдем частное решение уравнения г+ г = г соз г =, ! ег +, - (е ". 1 а 1 -и 2 3 Поигрягии Л, С. (1 1) Тагг как числа Л, и Л различны, то из этого следует, что а, = О. Полученное противоречие доказывает, что все коэффициенты многочлепов Д,(!),..., ~и, г(~) равны нулю, т. е. Р(~)=г (г)е '", Отсюда мы заклгочаем, что и все коэффициенты многочлеца Г (У) также равны нулю. Случай тождественного равенства двух квазимногочлепов Р (Е) и Ри(1) на интервале гг(!(г, сводится к рассмотреппюму путем образования кназпмногочлена Р(!) — Р*(г). Итак, предложение В) доказано. 66 лннепные УРАВнений с пОстОЯнными кОэФФициентАми 1Гл.
я Решим отдельно уравнения 7+ =- 1Р, 1 2+я 1 2 (16) 1(с' + сЧ) е". Соотношение (9) принимает вид: Ир+1)'+ Ис' +с'1')=; (ра+ 2гр)(сЧ+саР)=- Е. 2 Это даег, 2с'+ 21с'+ 41с91 =- ~, ! откуда с = — — 1, с =1с = —. Таким образом, частное решение а 1 1 и уравнения (15) имеет вид: г=~ — 8 — — 1 )е /1 Л8 8 ) а решение уравнения (14) оказывается равным г+г=- г(ем+ е н)+ —,га(ел — е ~)=4 соа1+ — а1пг. 2. Рассмотрим функцию Д~) = соз 21.
соз 31 - е". Так как каждый множитель сов 21, сов И, е" представляет собой кяазимногочлен, то и их произведение у(1) также есть квазимногочлеы. Приведем этот квазимпогочлен к виду (1): е-'"+ е -'" е"'+ е '" соа21 соя 31 е"= + ' . — еи 2 2 = — е' МН+ — ем+ '1'+ — ем-'И + ем- а Н Приведение квазимногочленов к виду (1) полезно при решении неоднородных уравнений на основе теоремы 8. Очевидно, что если г есть решение уравнения (16), то г есть решенне уравнения (16). Таким образом, достаточно решить лишь уравнение (1б). )Лля него с=1, Л=1, я=1.
Поэтому частное решение следует искать в виде: еу $111 метод искл!Очения ф 11. Метод исключения До сих пор мы занимались решением одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, однако, что весьма общую систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно в некотором смысле свести к одному уравнению. Сведение это осуществляется м е т о д о м и с к л ю ч е н и я, аналогичным тому, который употребляется в теории линейных алгебраических (не дифференциальных) уравнений. Здесь будет дано изложение этого метода и сделаны некоторые выводы из него.
Мы будем рассматривать систему уравнений „'5;у./(р)х'=~(1), /=1,..., п1 (1) г=! здесь х1, ..., х" — неизвестные функции независимого переменного 1, а /'(1),...„~" (1) — заданные функции времени 1. Каждый символ Е~ (р) представляет собой многочлен с постоянными коэффициентами относительно оператора дифференцирования р, так что один член Е', (р) х' представляет собой линейную комбинацию с постоянными коэффициентами относительно функции х' и ее производных.
Число уравнений системы (1) равно числу неизвестных функций. Порядок системы (1) относительно неизвестной функции х' обозначим через !у,. так что общий порядок системы (1) определяется формулой д=(!!+д,+... +д„, Ставя задачу реп!ения системы (1), мы, естественно, должны предполагать, что каждая неизвестная функция х' имеет все производные до порядка д, включительно; предположение о существовании производных более высоких порядков не вытекает из постановки задачи, Применяя к системе (1) метод исключения, мы будем п редполаг ать, что каждая из неизвестных функций х' имеет достаточное число производных, точно так же, как и каждая из функций !'(!).
зрелая эти допущения, мы, с одной стороны, сужаем класс рассматриваемых решений (предположение о достаточной дифференцируемости неизвестных функций), а, с другой стороны, сужаем класс рассматриваемых уравнений (предположение о достаточной дифферепцируемости функций у'(1)). Первое из этих ограничений можно сиять, доказав, что если х1,..., х" есть решение системы (1) и если правые части ~'(1) имеют достаточное число производных, то каждая из функций х' имеет достаточное число производных (см. примеры 3 и 4). Перейдем к изложению метода исключения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
