Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 24
Текст из файла (страница 24)
того, что вектор Х= О, тождественно равный нулю, очевидно, является решением уравнения(3), а потому решение !р(Е), предусмотренное в а), как имеюпгее с этим решением общее начальное условие (4), должно с ним совпадать. Б) Пусть !30 7'ливи 7 РИС. 7.!3. Перколяционный кластер и его остов (черный цвет) по результатам моделирования на квадратной решетке размером !47 х !47 прн р,. = 0,593 Г!68]. перерезать одну обособленную связь. Вытесняющая жидкость (вода) не может проникнуть в обособленные ветви, потому что запертому там маслу просто некуда деться. Остов включает все узлы, лежащие на всех возможных траекториях несамопересека7ощегося случайного блуждания, начинающихся в узле (узлах) впрыскивания и заканчивающихся на границе области.
Несамопересекающееся случайное блуждание не может привести в обособленную ветвь, потому что иначе для возвращения на остов пришлось бы дважды побывать в том единственном узле, связывающем с ним эту ветвь. Конкретная реализация перколяционного кластера и его остова показана на рис. 7.13 для перколяции по узлам квадратной решетки на пороге протекания.
Остов связывает узел, находящийся в центре квадратной решетки размером 147 х 147, с узлами на ее границе. Перколирующий кластер содержит 6261 узел, в то время как в остове всего 3341 узел. Мы изготовили лабораторную модель перколяционного кластера, показанного на рис. 7.13 [1683. Модель сделана из эпоксидной смолы и имеет цилиндрические поры диаметром 1,1 мм и высотой 0,7 мм. Поры связаны каналами шириной 0,7 мм. Модель заполнялась вязким подкрашенным глицерином. Обычный эксперимент по вытеснению состоял в том, что в центре объема впрыскивался воздух, который вытеснял $ И! НОРМАЛЪНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕИННХ УРАВНЕНИЙ 181 векторного пространства, то они составляют его базис, и потому вектор <р(1,) может быть записан в виде: ж(1)=с'ВФ+" + "«р И) (0) где с', ..., с" — надлежагдим образом выбранные числа. Решения <р(1) и с'ер, (1)+...
+ с"<р„(1) имеют общее начальное условие (см. (9)) и потому совпадают, так что имеет место равенство (8). Перейдем теперь к координатному описанию полученных фактов и к тстановлению некоторых других результатов. г Г) Пусть (10) некоторая система решений уравнения (3). Решение ~рь(Ф) в кооринатной форме запишем, положив 'Р (Г)=МА(О та(Г) " 'Уь(Г)).
оставим теперь матрицу 9,(г) ". ТИ) .- 9А(г) 9'(О ... Ть(1) ... Тл (О (1 1) 9 (г) °" 92(1) "° т"„(т) а-м столбцом которой служит решение <рь(Е) системы (2) или, точнее, его координаты. детерминант этой матрицы обозначим через Ю'(К); он называется детерминантам Вронского системы решений (1О). ! Очевидно, что если решения (10) линейно независимы, то детерминант ~ Вронского К(1) пе обращается в нуль ни при одном значении М", ,' в этом случае система (10) является фундаментальной системой решений.
1(алее, если система (10) линейно зависима, то детерминант Вронского тождественно равен нулю. В случае, когда система (10) является фундаментальной, мы будем называть матрицу (11) фундаментальной. Йокажем теперь, что произвольно заданная квадратная матрица порядка п, составленная нз функций переменного 1 и удовлетворяющая некоторым естественным условиям, является фундаментальной -для некоторой системы уравнении вида (2).
Д) Будем считать, что матрица (11) есть произвольно заданная матрица функций переменного 1, непрерывно дифференцнруемых на интервале д,< Мс, 'ум с детерминантом, нигде пе обращающимся в нуль на этом интервале. Оказывается, что эта матрица (11) является фундаментальной для некоторой (одной-единственной) системы (2), определенной на интервале д,(1<. ~у„. Для доказательства этого запишем в формулах предпрложепне, . что векторная функция ~р„(1), координаты которой соетазлгнот бе 132 линенныя гРавнвния с пяэвмвнными коэеэициянтлми 1г, а А-и с) олбец матрицы (11), является решением уравнения (3). Мы имеем л ф'(1)=,'5' а,(1) р~Я, М, ур=1,...,л. (12) / ! Если в этом соотношении зафиксировать индекс 1, а считать меняющимся только индекс д, то систему полученных соотношений можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а1 (8),..., ап(т).
Система эта однозначно разрешима, так как матрица ее получается иа матрицы (11) транспонированием и потому детерминант ее отличен от нуля. Таким образом, функции а,(1) при каждом фиксированном 1 однозначно находятся из соотпгшений (12), и притом оказываются непрерывными функциями, так как функции ф» (1) и у~~~(1) непрерывны. Формула Лнувилля Функции (у по переменному ру,'! здесь г и а фиксированы. Алгебраическое дополнение элемента и. в матрице (и') обозначим через так что П Х '1)м уеа! (! 4) При доказательстве предложения Ж) нам понадобится правило .дифференцирования детерминанта.
Дадим его Здесь. РКП)а Уу,'Ра)) — и а и а пор»яка е акр»маем в рои я~юф)еа яиффере к»ура»ми» курки»ам» ~еррмер~~~р а к уа ,)р)а) — аеаарааиааа е е рруррм . проиаеояиум )р)а) мо о яе ер. мннанта можно вычислять по следу)ошей формуле: У(1) = Ж (!)+... +ЧР ~01. (13) .Слагаемое %'р(1), стоящее на 1-м месте в правой части равенства, определяется следувщифр Ярдли."Б матрице (2! (О) дифференцируют но ! все члены 1-й строки, а остальные строки оставляют без измене- ния; детерминант получе!!ной матрицы и есть 1гч(1).
Очевидно, что ,роли строк и столбцов можно поменять., Для доказательства формулы (13) рассмотрим сперва детерминант сl квадратной матрипы (и,') порядка и, как функцию всех элементов и; (1, /=1, ...) л, этой матрицы, считая, что элементы этн явля! ются независимыми переменными. Вычислим частную производную д0 <~ят % у71 нОРИАльнАя системА линеиньгк уРАВнений из Формула вта дает разложение детерминанта Ц по элементам г-й строки.
Алгебраическое дополнение У, не 'зависит от переменного и, l г и потому, дифференцируя равенство (14) по и,, получаем: ди (1б) да,' Если положить н; =:7; (1), то мы имеем с7= В'(1). Дифференцируя В'(1) как сложну о функцию, ны получаем в силу формулы (15): л и рус)=~,' — „, р,'Сс)=~о,'рсурс = ~(~о,<ау р,) ! ! т ! 7 ~=!7-! Так как, очевидно, ~,'Ф,'(О ~';= ~;(О, / 1 то формула (13) доказана. Перейдем теперь к доказательству так называемой формулы Яиув млло лса СПус Сууа) — ле ер Вр сюю Еенаее а лол с с е о рейс ОЛ"уралоолсс\ОГеоуо~~ее ес ф р у а ! 3 !с!Лс (16) , где Я(1) — след (т, е.
сумма диагональных членов) матрицы А (1) Ю(1) = а, '(~) + а,' (1) -~... -~ а." (1). . ! Для доказательства формулы (Щ владам дифференуиальное , уравнение, кбторбму удовлетворяет детерминант Вронского. Иоллосе ро юл у Соусу а~от ле ряба а, оруру с формулой (13). Для тбго чтобы провести вычисления более обозримым' ббрайом, будем счйтать строки матрицы (1!) векторами, именно положим: ' Х'(1) = И,'(1),..., .у' (!)), 1= 1„, и. Соотношение (12) можно теперь записать в виде: Х'Я= ',тХ'т+" + а'„(1)Х" (1) (17) Соотношение это показывает, что производная 1-й строки матрицы (11) является линейной комбинацией строк той же матрицы.
Таким .образом, при вычислении детерминанта В';(1) мы дорнкны 1-ю строку ,у детерминанта ну(1) заменить линейной комбинацией (17) строк того же де1ерминанта. Так как от прибавления кратных других строк , к данной строке детерминант не меняется, то детермппант К',. (1) 134 лннеиные УРАВнениЯ с пеРеменными козФФиОиентАми 1гл. а получается из детерминанта К(1) умножением его 1-и строки на а!(1), и потому мы имеем: %'; (1) = а,'(Х) Ф'(г). Таким образом, в силу формулы (13) получаем: Ф" (1) = о (1) Ж(1). Бдинственным решением этого уравнения с начальным условием 1г" (О 1г — со = 1т" (1а) является (16). Таким образом, формула Лиувилля доказана, 1Ч1етод вариации постоянных Перейдем теперь к изучению неоднородных систем.
11усть у = А (1) у + б (1) (18) у= р(1)+ "ФИ) где ср(1) есть произвольное решение уравнения (3). Таким образом, решение неоднородного уравнения (18) сводится к решению однородного и к отысканию частного решения неоднородного уравнения. Покам<ем, каким образом, зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (3), можно (при помощи квадратур) найти частное решение неоднородного уравнения. 3) (Летод вариации постоянных) Пусть ~р~(О " ч (г) — фундаментальная система решений однородного уравнения (3). Будем искать решение уравнения (18) в виде у=с'(1)гр (1)+ "+с" (Игр,Я (19) где коэффициентами являются неизвестные функции от г.
Подставляя это значение у в уравнение (18), получаем: с'ЯЧ, Я+... + с" Я Ч„Я+ с'Я%, (1)+... + с" (Е) р. (1) = =А(с)(с'(г)~р1(О+ „+с"(г)<Рн®)+б(К) — векторная запись неоднородной системы (1) и пусть у=ф(г)— некоторое решение этого уравнения. Наряду с уравнением (18) рассмотрим соответствующее однородное уравнение (3). Из замечаний $ 6 непосредственно следует, что произвольное решение уравнения (18) мом<ет быть записано в виде: вн1 нормлльнля снствмл лннвнных ирлвнвннн 13б откуда, принимая во внимание, что <р,(Г), ...,~„(1) — решения уравнения (3), получаем: с'(1)В(1)+" +с"(1)1р.(О=Ь(1) (2О) Так какчр,(Е),..., ер„(1) — линейно независимые векторы в каждой точке г, то из соотношения (20) величины с'(г), ..., с'(г) определяются однозначно, и потому величины с'(Е),..., с" ® можно найти при помощи квадратур. Уравнение (20) относительно с'(т), .„с" (1), записанное в координатной форме, имеет вид л 2; р~(Г) с~(Г)= Ь'(Г), 1= 1,..., л.
(21) 1 И) Пусть ФЩ=(у'(1)) — фундаментальная матрица уравнения (31, обращающаяся при 1=1, в единичную матрицу. Тогда решение неоднородного уравнения(18) с начальными значениями Г„у, записывается в виде. у = Ф ® (у, + $ Ф ' (1) Ь(г) и'1), (22) Отсюда находим: с(Г)= Ф-'(1) Ь(Е), или с(Г) =$ Ф '(Е)Ь(Г) гИ.
Далее, формула(19) может быть переписана в виде: л у'(г)=,~~ 3~'(1) ст(г), 1=1,. „и, /=! или в векторной форме (23) У=Ф(0с(0. Подставляя в эту формулу значение с(1) из соотношения (23), получаем: У=Ф(Г) $Ф- ® Ь(1)11. (24) Таким образом, формула(24) (а потому и формула(22), являющаяся ее частным случаем) дает решение уравнения(18). где Ф '(1) — матрица, обратная матрице Ф(Е). Непосредственно проверяется, что при 1=Еа формула(22) дает у=у,. Точно так же можно было бы непосредственной подстановкой в уравнение (18) проверить, что формула(22)дает решение уравнения (18).
Можно также вывести формулу (22) методом вариации постоянных. В самом деле. формула(21)в векторной форме переписывается следующим образом: Ф (О с (Г) = Ь (Г). 136 ЛИНГПИЫЕ УРАВНЕНИЯ С.ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (Гл. 3 Матричная запись систем линейных уравнений,. В ряде случаев удобно бывает записывать уравнение (3) в матр и ч ной фор м е, при которой неизвестной величиной является фундаментальная матрица уравнения (3). Дадим здесь эту запись.
К) Пусть (7) — фундаментальная система решений уравнения (3); тогда п Ф'(т)= ~~ а, (г)ср~е (г)' и=! В матричной форме это соотношение принимает вид: Ф (М) = А (1) Ф Щ, (25) где Ф(г) — производная фундаментальной матрицы Ф(г)=(Р~(т)) по 1 примени Ф, т. е. Ф(1)=(у (г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
