Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(9) Так как Ф Щ вЂ” действительная матрица, то С в также действительная матрица. Из (9) следует, что Ф (1 -4- 2 !) = Ф (Ф + т) С = Ф (К) С'. (19) В силу предложения Г) 9 35 существует действительная матрица Вп удовлетворяющая условию в2 В~ Са Докажем, что уравнение (1) и уравнение »'=В!»; (11) $ !91 системА с пеРиодическими козФФициентами 1Щ. 150 ЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ Е ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1гл. а рассматриваемые как уравнения с периодом 2», эквивалентны. Действительно, матрица всв~ является решением уравнения (11). Таким образом, если уравнение (11) рассматривать как уравнение с периодическими коэффициентами периода 2», то основная матрица решения 1'=с'вс есть С'. Так как основные матрицы рассматриваемых решений уравнений (1) и (11) (см.
(10)) совпадают, то эти уравнения эквивалентны. Итак, теорема 12 доказана. Г) Пусть С в произвольная квадратная матрица порядка и, модули всех собственных значений которой меньше некоторого положительного числа р. Элементы матрицы С~, где лс — натуральное число, обозначим через с;, так что С"=("с~). Тогда существует такое положительное число г, не зависящее от 1, /, ля, что ~ "4< Р". (12) Отсюда, в частности, следует, что для произвольного вектора Х имеет место неравенство ~ С х ~ ~ а'гр 1х ). (1З) Для доказательства оценки (12) рассмотрим ряд У(а)=1+ — '+ — ', + + — *,. + Р Р Р радиус сходпмости которого, очевидно, равен р.
Из теоремы 29 (см. $ Зб) следует, что матричный ряд С С, С'с Х(С)=Е+ — + —,'+... + — +... Р Р Р сходится и, в частности, сходится числовой ряд 'с', 'с' '"с. '+ — '+ —,+ + —.'+ " Так как ряд этот сходится, то все его члены пе превосхоляг некоторого числа г, причем число г можно выбрать общим для всех пар чисел (1, /), Таким образом, оценка (12) имеет место. Д) Пусть х= А(Р)х (14) — векторная запись матричного уравнения (1) и С в основная матрица некоторого решения Ф (1) уравнения (1). Собственное значение Л кратности А матрицы С называется харакиссристпчссним чпслолс кратности А уравнения (1) и уравнения (14). Так как с точностью до трансформации матрица С не зависит от случайности выбора решения Ф(Р) уравнения (1) (см. Л)), то характеристические числа уравнения (14) и их кратности определены здесь инвариаптп.
Если Л есть характеристическое число краг- $ !91 СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ " ' 151 1 ности Й уравнения (14), то число — 1пЛ называется харахтерисаичесхпм показателем кратности А уравнения (14). Допустим, что все действительные части характеристических показателей уравнения (14) меньше некоторого числа Т; тогда существует такое положительное число Й, что для всякого решения <р(1) уравнения (14) имеет место оценка ~ ~р (1) ~ ~ Я1~р (0) ~ ет' при 1~ О, (15) Докажем неравенство (15). Пусть Ф(1) — решение уравйения (1) с начальным условием Ф(0)=Е; тогда любое решение у(1) уравнения (14) записывается в виде; р(1) = Ф(1) ~р (О).
(16) Это проверяется подстановкой вектора (16) в уравнение (14). Далее мы имеем: Ф(т+ )=Ф(1)С, ФИ+9 )=ФФС',..., Ф(1+ =Ф(1) С',... (17) Так как на отрезке 0---1,. =я элементы матрицы Ф(1,) ограничены, то существует такое положительное число о, что 1Ф(1)х~ ~о ~х~ при 0 ~1,: (18) Так как, далее, все собственные значения матрицы С по модулю меньше числа е'т, то в силу (13) для произвольного вектора х имеет место оценка 1С х ~ ~ л'ге' ' ~ х ~.
(! 9) Пусть теперь 1 — произвольное положительное число; найдем тогда такое целое неотрицательное число т, что 1= тт+ 1н 0 = 1, < ч. В силу (16) и (17) мы имеем: р (1) = Ф ( + 1,) р (О) = Ф (1,) С' р (О). Отсюда согласно (18) и (19) получаем: ~ вр (1) ~ = ол'ге'~1 ~ <р (0) ~. Так как число е'11 при 0=1,-=:т не меньше некоторой константы с~О, то последнее неравенство можно записать в виде: [ р(г) ~ — е1 1~р(ОЦ, Таким образом, оценка (15) доказана. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ, ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ Здесь в первую очередь доказываются уже формулированные ранее теоремы 1, 2, 3 существования и единственности. Далее, рассматривается вопрос о зависимости решения от начальных значений и параметров, если последние входят в уравнения.
В первую очередь разбирается зависимость решения с фиксированными начальными вначениями от параметров, а затем весьма простым приемом начальные значения превращаются в параметры, и, таким образом, дело сводится к вопросу о зависимости решения от параметров. Кан в случае начальных значений, так и в случае параметров доказываются непрерывная зависимость решения от этих переменных и дифференцируемость решения по ним.
В том и другом случае здесь приводятся только так называемые интегральные теоремы, а нередко упоминаемые в учебниках «локальные> теоремы вообще пе приведены. Объясняется это тем, что как в самой теории, так и в ее приложениях важны именно и н т е г р а л ьн'ые теоремы; локальные же теоремы в лучшем случае служат средством доказательства интегральных и не заслуживают специальне«о внимания.
Слово «интегральные», употребленное здесь, никакого отношения к операции интегрирования не имеет. Оно означает лишь, что решения рассматриваются не на малых интервалах врЕмепи," а «интегрально», «в целом», т. е; рассматриваются н е п р од о л ж а е и ы е решения (см. ч 3, А)). В связи с этим изучению непродолжаемых решений посвящен злесь специальный параграф ($22).
Кроме этогб материала, в настоящую главу включен Параграф о первых интегралах системы обыкновенных дифференциальных уравнений н примыкающее к понятию первого интеграла исследование линейного уравнения в частных производных. Результаты этого параграфа в дальнейшем изложении нигде не используются. В 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения В этом параграфе будег дано доказательство сформулирова1шпй в ч 1 теоремы ! существования и елинствепиосги для одного уравнения первого порядка х=/(г, х), СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНВНИЯ правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной — па некотором открытом множестве Г пло- дУ дх скости Р переменных 1, х.
Доказательство теоремы 2, приводимое в следующем параграфе, представляет собой усложнение доказательства теоремы 1 и содержит его как частный случай. Приводя доказательство сначала для случая одного уравнения, я имею целью выявить основные идеи этого доказательства, которые в общем случае загромождаются второстепенными деталями. Доказательство теорем 1 и 2 проводится в этой кииге методом последовательных лриблиагсений, принадлежащим Пикару и применяемым в анализе при доказательстве многих теорем существования. Этот метод является одновременно методом приближенного вычисления решения и потому имеет большую практическую ценность. В некоторых случаях метод последовательных приближений может быть истолкован как метод сжатых отображений.
Здесь я провожу доказательство таким образом, чтобы показать близость этих двух методов. Различие же этих методов выявится при доказательстве теоремы 3. Основные идеи доказательства Ф(т)=У(~ т(0) и пусть (3) Ч' Иь) = хь — некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что тогда для функции в(Е) на всем интервале г,(1(г, выполнено интегральное тождество в (1) = хь + ~ у (т, в (т)) йт.
(4) Обратно, если аля некоторой непрерывной фуикции .р(1) па интервале г,(1(г, выполнено тождество (4), то функция х=~(1) дифферепцируема, является решеиием уравнения (1) и удовлетворяет начальному условию (3). Кратко говоря, иптегральпое уравнение (4) э к в и и а л е и т н о дифференциальному уравнению (2) вместе с пачальнып условием (3). Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы формулируем в виде отдельного предложения.
А) Пусть х= а(1) — некоторое решение уравнения (1), Определепгюе па ингервале г,(Г(г„так что выполнено тоакдество теОРЙмы сущестВОВАния )ГА. 4 Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (4). Заменяя в нем переменное Г его значением Ц, получаем: у(~а)=х,. Таким образом, из (4) вытекает (3). Далее, правая часть тождества (4) очевидно дифференцируема по г, а потому дифференцируема по Ф и левая его часть.
В результате дифференцирования тождества (4), получаем тождество (2), Допустим теперь, что выполнены соотношения (2) и (3). Интегрируя соотношение (2) в пределах от га до г, получаем: В силу соотношения (3) из последнего равенства получаем (4). Таким образом, предложение А) доказано. Введем теперь некоторые обозначения, используемые ниже при доказательстве теоремы 1. Б) Пусть х=у(1) — такая непрерывная функция, определенная на некотором отрезке г,~Флаги что ее график целиком располо. жен в открытом множестве Г, и ~а — некоторая точка отрезка г, ~1~г,.
Тогда, пользуясь правой частью тождества (4), можно функции <р(1) поставить в соответствие функцию <ра(1), определенную также на отрезке г~ ~Е= г„при помощи равенства 'Р (г)= 9+).г(т 9( ))и (график функции <ра(г), конечно, ухге может пе проходить в множестве Г). Таким образом, правую часть тождества (4) можно рассматривать как о п е р а т о р, ставящий в соответствие функции а функцию ~*.. Обозначая этот оператор одной буквой А, мы запишем соотношение (5) в виде формулы Пользуясь оператором А, интегральное уравнение (4) можно аапнсать в виде: ~>= А4~. (7) В) Пусть е(1) — некоторая непрерывная функция, определенная па отрезке г, ( 1 ~г,. Нормой ))~(~ этой функции называется максимум ее модуля ) р $~ — — ш ах ~ ~р ф ~. I~~! ~l~ Если ~(г) и уф) — две непрерывные функции, заданные на отрезке г~~1(гя, то норма ~(ф — Д их разности ф(г) — у(1) является не- СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ отрицательным числом, оценивающим, насколько сильно отличаются эти функции друг от друга Если число !! Р— Х!! мало, то функции ф и )( «близки» друг к другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
