Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 31
Текст из файла (страница 31)
А)). В этом смысле пепродол>1лаемые решения исчерпывают совокупность всех решении, Далее, в" предложениях Б) и В) будет установлено одно важное свойство пепродолжаемых решений, которое найдет своп применения в следующих параграфах этой главьь 11усть л:=У(т, .л) — векторная запись нормальной системы уравнений (см. ф 21, (1), (д)),' 'правые части которои'определены и непрерывны вместе со своду'17, х) ими частными производными ' па некотором открытом мнодлу жестве Г пространства 1с переменных 1, х'...., х". ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 1гл.
4 А) 1) Существует непродолжаемое решение уравнения (1) с произвольными начальными значениями из Г. 2) Если некоторое непродолжаемое решение уравнения (1) совпадает с некоторым другим решением уравнения (1) хотя бы при одном значении Т„то оно является продолжением этого решения. 3) Если два непродолжаемых решения уравнения (1) совпадиот между собой хотя бы для одного значения 1, то они полностью совпадают, т. е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем. Докажем предложение А).
Пусть (Тр, х,) — произвольная точка из Г. Построим такое решенне Х=4р(1) урзвнения (1) с начальными значениями 1р, Х, что оно является продолжением любого решения уравнения (!) с начальными значениями 1р, Х. Каждому решению уравнения (1) с начальными значениями 1„х соответствует свой интервал определения. Множество всех правых концов этих интервалов обозначим через йр, а множество всех их левых концов — через К,.
Точную верхнюю грань множества 14, сбозначим через тр (в частности, может оказаться, что тр — — ОО), а точную нижнюю грань множества й, обозначим через т, (в частности, может оказаться, что т,= — со). Построим решение х=тр(Т) с начальными значениями 14, х,, определенное па интервале т, (1(т,. Пусть 1Р— произвольная точка этого ни~ерзала. ДопУстим длЯ опРеделенности, что 1р=-4'. Так как тр есть точнаЯ верхняя грань множества )х„то сушествует решение Х=Ар(Т) уравнения (1) с начальными значениями Тр, х„интервал определения которого содержит точку ТР, и мы положим тр(ТР) =Ар(1*). Полученное значение функции гр в точке Гр не зависит от случаино выбранного решения Х=рр(1).
Депствительно, если бы вместо решения Х=$(Ф) мы взяли решение х=у(1) с начальными значениями 1„хр и интервалом определения, также содержащим точку ГР, то, в силу единственности (см. теорему 2), мы имели бы $(1Р)=)((1*). Таким образом, функция 4р (Т) однозначно определена на всем интервале т, ( (г(т,. В то же время она является решением уравнения (1) с начальными знзчениЯми Тр, Хр, так как вблизи каждой точки ТР интеРвала т,(г(тр фУнкциЯ 4Р(Т) совпздзет, по постРоению, с некоторым решением уравнения (1). Г!усть |еперь Х=гр(1) — некоторое решение уравнения (1) с начальными значениями Г„х,, определенное нз интервале г, (г(г,.
Тогда г, — элемент множества Кь а г, — элемент множества )с,, и потому т,=--г„г,==т.„т. е. интервал г,(г(гр содержится в интервале л4,(1(т,. Так как решения 4р(Т) и 4р(1) имеют одни и те же начал4ные значения, то, в силу теоремы 2, они совпадают всюду, $221 н«щродочжлгмь«в Рв«««ения гте онн оба определены, т. с. на интервале г«(1(г„, а это и знач,п, что решение «р(1) является продолжением решения «р(1). Построенное рс«нснне «р (1), очевидно, неиродолжаемо. В самом геле, пусть решение ф(1) является продолже«аем решения «р(1).
Тогда 1„, х, мо;а.о пр«шить за начальные значения 1тсн«ения ф(1) и, в силу дока"анного «ня«ке, раисино «р(1) есть продоля«ш«ие решения т!«(1), а это зпачнг, что решения «р(1) и «р(1) полностью совпж«лют. Из таких жс соображений следует, гто «р(1) есть единственное ««епродо.;гьаса«ое решение с начальнымн значениями 1„ха. Допусти«теперь,:то непродолжаемое решение «р (1) совнадаст с некоторым другим решеннем «р(11 хотя бы прн одном значении 1.
Обозначим это значение 1 через 1« и положим «р(1,)=х,. То~да 1„ ха являются пачальнымн значениями для непродолжаемого решения «2(1) н для решения «р(1). В силу доказанного выше, решение «у(1) есть продолв«ение решения «р(1). Если решение «р(1) иепродолм<асмо, то, в силу тех же соображений, оно является продолжением решения «,,(1), и нотоь«у решения «р(1) и «р(1) полностью совпадают. Итак, предложение А) доказано.
Ь) Пусть Š— замкнутое ограниченное множество пространства Я, содержа«цееся в открытом множестве Г, и х= «р(1) — некоторое ненродолжаемое решение (см. А)) уравнения (1), онределенное на интервале л««(1(«ня. Тогда существуют такие числа г, и г„и«(г«( (г«(льн что ~очка (1, «р(1)) пространства Я находится вне множества Е.', когда ! не принадлежит отрезку г, (1~г~. !«'.««докажем .нннь существование такого числа г,(а««я что нрн г«< 1(гнэ «о «ка (1, «р(1)) не принадлежит множеству Е.
Существо«:я.ие ясла г, доказывается аналогично. Если л««=оэ, то существоьюпс числа г, очеп«идно, так кгн«нрн 1, возраста«о«нех«до бесконсч«,оси«, точка (1, «р(1)), первая координата которой равна 1, обязательно д«лж«га покинуть ограниченное множество Е. Будем считать поэтому, по тт(оо, и докажем существование числа г«Прн этом мы используем опенку числа г, данную в предло>««с«««п 1') ч 21. В нгос.рана«:е К введем евклчдову метрику. Так как множес«ьо Е зпп«««уто и ограничено, а дополнение к откры«ому множеству Г замкнуто, то расстояние р между множеством Е и лонол««с««иеъ«к мно::сеству Г (см. Ч 32, пример 3) положительно.
Пусть Е" — миожест«:и всех «очек пространства Ц, расстояние которых до 1 мпожсс«ва Е не превосходит числа -,ур. Тогда Е"' — замкнутое ограничейное множссп,о, содержан«есся в Г, так что правые части системы (1) н их прои:иоашяе оо х', 1=1,, л, определены на множестве Е"' и ограничены на нем. Таким образом, для любой точки (1, х) из 176 1г.. » 'теОРемы сущестиовип1я Е"' иыполпены неравенства ~Х(, )~ М,!' — '„",,— '~ К -,7=,2,...,, (2) где Л и К вЂ” некоторые положительные числа. Выберем лва таких поло»хи»единых числа а и а, что д'+а'«" г— Если (1„, х,) — некоторая точка множества Е и П вЂ” множество всех точек (1, х), уловлетворягощях неравенствам )1 — ~,(~~у, ~х — х» (~а, то, очевидно, множество П содержится в Е"', и потому для всех точек (1, х) мно'- жества П выполнены неравенства (2).
Таким образом, если число г улоилетворяег неравенствам (16), (19у, (22) $ 21, то существует решение Х=гр(1) уравнения (1) с начальными значениями ~„ Х„, определе|шое на интервале 31 — 1,/«~г. Здесь важно лишь то, по найденное число г является одним и тем же для всех точек (~„Х») множества Е. Покажем, чго за г» можно принять число т,— г.
Лопустим противное, т. е. что нри некотором 1,) т, — г точка (1», »р(1»)) лежит в хнвжестве Е Тогда мы можем принять величины 1я н гр(1„) за начальные значения решения х=<р(1) и, в силу сказанного выше, интервал (1 — 1„~~(г лолжен содержаться в интервале т,«1< т» Но это противоречит неравенству 1„)т» — г. Таким образом, предло кение Б) доказано. Для автономной системы имеет место предложение В), аналогичное нредложепнго Ь) и непосредственно из пего вытекающее, Пусть Х =У(Х) (6) — векторная зшшсь автономной системы уравнений, правые шсги которых непрерывны вместе с их частными производными но х', ..., х" в некотором открытом множестве Ь пространства 8 переменных ч х, ..., х .
В) Пусть г — замкнутое ограниченное множество просгранс»ва Ь; меликом расположенное в Ь, и х= гр(1) — неко~орое н.продолжаемое решение уравнения (3) с интервалом определения и, ' 1 ~ т» Если т, «. оо, то существует такое число ги т, «,. г» «" ть чго при 1, принадлежащем интервалу г,< 1(т„точка гр(1) находится ине множества Е. Точно так же, если т,) — оо, то.
существует гакое число гь т,(г, «, т», что при 1, принадлежащем интервалу т, «. 1«, <' гь то 1ка гр(1) находится вне множества г". Прн доказательстве предложения В) булем рассматривать лишь случай' т» =,' со и установим сущес»новинке числа г,. В пространстве К всех точек (1, х), где х — точка нз 3, определим открытое множество Г, состоящее из всех точек (1, х), где 1 в произвольное число, а Х вЂ” точка множества Ь. Лалее, пусть т — некоторое шсло, удовлгтиоря~ощее условии т,«. т«т,. Обозначим через Е множество, нвнРолОлжАпмые Рвшзния состоящее из всех точек (1, Х), где «а~~--«г„, а х — точка множества Е Очевидно, множество Е замкнуто, ограничено и содержится в Г, В силу предложения Б), существует такое число г, что при 1, принадлежащем интервалу гз(г(сиь точка (1, гр(Е)) не принадлежит множеству Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
