Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Здесь будет установлено, что в некоторых предположениях решение дифференцируемо по начальным значениям и параметрам. Та!« же как в предыдущем параграфе, снацала мы рассмотрим лиффереицируемость решения по параметрам, а затем на основе полученных результатов при помощи конструкции, ланиой в предложении В) $ 23, докажем дифференцируемость решения по начальнын значениям, теОРеиы сушестВОВАния Дифференцируемость по параметрам как и в $23; правые части ее определены и непрерывны вместе ду' с их частными производными — в некотором открытом множестве дх1 Г пространства Я переменных г, х',..., х", р.',..., р'.
Пусть х=~(1, х, )а) (2) — векторная запись системы (1). Доказательство дифференцируемости решений по параметрам р',..., р' будет провелено в предположении, что правые части системы (1) непрерывно дифференцируемы по этим параметрам в открытом множестве Г. Доказательству лифференцируемости мы предпошлем предложение А), называемое обычно леммой Адамара. А) Пусть и ф,..., 6', и',...„па) — функция р+д переменных, определенная в области Ь пространства этих переменных, выпуклой относительно переменных и',..., па.
Полагая и=(п',...., п~), мы сможем записать ее как функцию иф, и) двух векторов. Будем предполагать, что во всей области своего определения функция еф, и) и ее частные производные ' —, /=1,..., а, непрерывны. дд(Г, и) Оказывается тогда, что для любой пары точек (1, и,), (1, и,) с олнпаковой координатой ~ из области Ь имеет место соотношение а(~, и,) — п(г„и,)= 'Я й ф, ин иа)(п/' — и!), гле функции Й.ф, и„и,), 1=1,...,д опрелелены и непрерывны лля всех указанных значений аргументов а, и„и, (в частности, и при д совпадении и,=ия), причем й~(й, и, и)= —, а(8, и). Для доказательства предложения А) положим: тв (а) = и, + г (иа — и,), 0 ~ г ~ 1. Мы имеем тогда УИ, и,) — в(~ и)=к(г те(1)) — Д(~, то(0))= ) 1, д(г, те(а)) аз. (' д 6 Мы будем рассматривать такую же систему дифференциальных уравнений х'=~'(Е, х'...„х", (а'„,„р.'), 1=1,..., и, (1) 1ЗТ- 5 241 диФФеРенциРуемость по нАчАльным знАчениям Вычислим теперь производную — я(С, тв(з»; мы имеем: д —,И (» — —, й'(С (з) "»'(з))— д д дя(С,то(з)) ди) (з) до<С дз ° ° 1=1 Так как, в силу (4), очевидно, имеем: диУ (з) — =и< — и<, ~=1„,д, 3 н то, полагая е<це 1 )<<(С,и„из)= 1 ) < йз, Г дв (С,тв(з)) мы получаем формулу (3).
Так как, по предположению, функции де (С,и) — ' — непРеРывны, то фУнкции !<С(С,пниз) также непРеРывпы. диl Таким образом, предложение А) доказано. Теорема 16. В силу теоремы 13 непродолжаемое решение <е (С )з) =(т' (С )А) ° ~" (С, )А» уравнения (2) при фиксированных начальных значениях Сз,х, определено на некотором открытом множестве Т пространства переменных С,)А<,..., )А~ и является непрерывной функцией всех своих аргументов. Оказывается, что если частные производные правых частей системы (1) по аргументам )з1,..., р' определены и непрерывны в открыто.<з множестве 1', то частные производные д~ (~,)<) — <=1,..., и; А=1,..., С, Ор. определены и непрерывны на всем открытом множестве 7'.
Кроле того, смешанные частные производные (С,)А), < 1, ..., и,)< — 1,...,С, дз д< д)АА определены, непрерывны и не зависят от порядка дифференцпрованпя на всел< множестве 1: д < 1!.о каза тельство. Лля нахождения производной — А мы вы- дР числим разность ~<(С,)А,) — ф(С,)А<). Так как функция <р(С,)з) удовлетворяет уравнению (2), то вычисление этой разности естествеш1о связано с вычислением разности У (С, Х, )Аз) — У< (С Х 1А ) 18В теоРеиы сушествовлпия 1гл 4 (б) Поэтому па всем отрезке г,==-1- г, имеют место неравенства ! гр(г М1) гр(т М")1(а ~Ф(г Мд гр(г* М )~(а. Таким образом, когда 1 пробегает интервал г, ~ 1< г,, точки (1, гр(1, М,), М,) и (1, гр(1, М,), М,) описывгнот кривые, целиком располоз;енине в открытом множестве Ь. Применяя лемму Адамара к разьюсти У'(1 Ч (1 Мя) Ма) — У'(1 Ф(1 М ) М ) Последнюю разность мы вычислим с помощью леммы Адамара, считая при этом, что С=1, и=(х, М), а(й, и)=У'(1, х, М).
Для того чтобы применить лемму Адамара к этому случаю, прежде всего подходяшим образом выделим открытое множество А в пространстве переменных (й, и)=(1, х, М), выпуклое по паре переменных х, М. При этом мы будем иметь своей целью доказательство существования и непрерывности производных в окрестности произвольной точки (1, Мя)множества Т. Перейдем к построению открытого множества б. Так как решение гр(1, М~) определено при 1=т', то существует такой отрезок г,=.1 =,г,, содержащий числа 1, и Гя внутри себя (т.
е, г,(1,(гм г~(Р(г), что Решение <Р(1, М") опРеделепо па этом отрезке. Когда 1 пробегает отрезок г~~1( г,, точка (1, <р(1, Мя),М*) описывает в открытом ьшожестве Г непрерывную кривую. Пусть а и Ь вЂ” два таких положительных числя, что множество всех точек (Г, х, М), удовлетворяющих условиям г~~1~гм ~х — ~р(1, М')~=-.=а, ~М вЂ” М*(~Ь, целиком содержится в открытом множестве Г.
В силу предложения Г) $ 23 существует такое положительное число р, что 2 р ( Ь и при )М вЂ” Мм)(2р решение гр(1, М) определено нз всем отрезке г,~1(г, и па том же отрезке выполнено неравенство (гр(1,М)— — гр(1, М*) ((а. Открытое множество л определим теперь как совокупность всех т ~чек (1, х, М), удовлетворяюгцих условиям ,«(г„~х — р(1,М":К(а, ~М вЂ” М*~~(2р. Очевидно, что открытое множество л выпукло по паре переменных (х, М), Лля вычисления производной — - обозначим через е„едшшчпый Ьр ди» вектор Амерпого пространства, направленный ио Ь-и оси.
Пусть М,— некоторый вектор, удовлетворяющий условию М, — ц" )(р, и х— число, удовлетворяющее условию ~ -. ~ (р, Положим М, = М, + тга. Тогда оба вектора М, и М, удовлетворяют условию )М,— М" )(2р, (М,— Мв)(2р. $2«.] ДИФФЕРЕНЦИР»«ЕМОСТЬ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 189 мы получим: Здесь функции Ь,', «=1, ..., и+Е, непрерывно зависят в силу леммы Адамара от величин»', «р(1, )»«), )»н «р(Ю, р,,), 1»«и, следовательно, в конечном итоге, от величии 1, 1»ь «(так как )»2=1»«+~в„, а величины «р(1, )»«) и «р(~, )»2) непрерывно зависят от 1, у»«и 2, )»я; см теорему 13).
д т« Для вычисления производной — — а- нужно, очевидно, состанить д«а предварительное частное )' (т, )»и 2) = т (' 1«') т«(')» ),, Ф О, и перейти в пем к пределу при т О. Подставляя в систему (!) ее решения х=«р(т, )»,) и х= «р(1, 1») и вычитая первое соотношение из второго, мы получаем, в силу (6): + Л + А (т, Й«, т), 1= 1, ..., и. (7) Эти соотношения верны при г«(т(га, !)»« — )»'о ~ < р, ! т/(р, т ~ О. Таким образом, функции 'т'(г )» ) "«г'(«)» ) (8) при т ~ 0 удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений о У = Х й,'(1, ) «, )Х'+ 1«'„+,(1, ) «,;) у=! с начальнь«ми услонпямп ,( « (Г ) 9 (Га )«о) 'Р (ао «»«) хо « о « Оо )»«~ т .— В то время как функции «р'(2, )»„т), 1=1, ..., и, определены лишь при « ~ О, сама система ураннений (9) определена и нри т=О, у'(г р(1 Ра) )»2) — У(1 «р(1 )»!) 1»«)= а« ,'~ й~(1 )» ) (р'(1 ) 2) — «р'(1* )»«))+ у= 1 + ~', й'„«а(1, 1»«, ) (р," — 1",). (6) 190 творимы существования 1гл.
а причем правые части ее заданы и непрерывны на открытом множестве, которое описывается неравенствами ,< Е(г,, ~)а,— ц ~с р, 1т)<р. (!0) Так как система (9) линейпа, то в силу теорем 3 и 13 эта система имеет решение у =Х'(г Р ') " у =)("(т Р~ ') (1! ) с начальными значениями („0, определенное и непрерывное на всем открытом множестве (10). Согласно теореме единственности (теорема 2), ца всем открытом множестве (10) при т ф О справедливы равенства Ф (г Рп )=Х (г !ьп ) 1=1 и. Но правые части равенств (11) определены и непрерывны на всем открытом множестве (10), включая и значения т = О.
Поэтому, переходя в равенствах (11) к пределу при т -+ О, мы получаем: дтпл (г 1'~1 ° г '„' ' =11ш У ((, ьтп г)=1йп у'(Г, Гьь т)=)('(Г, рп О). (12) др т 0 м О Так как правая часть этого равенства определена и непрерывна на открытом множестве г<. (с пм ~и,— р,*~(р, (13) то на всем этом открытом множестве частная производная др.", определшш и вепре(.ьшпа. Б частности, оиа определена и непрерывна в некоторой окрестности точки (Р, р,*). Так как, далее, функции у'=у'(1, )ьь 0), 1=1, ..., и, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (9) при т=О, то этой же системе уравнений удовлетворяют и функции д.г'(1, и,1 У = д а ддГд — '"" (г Р~) . д1~д,ь гр, ' (14) Подставляя в систему (1) ее решение х'=~р'(т, 14), 1=1..., п, заведомо определенцсе па открытом множестве (13), мы получаем: — '- —,' — '-=-Г(1, Х((, М, р~), др'(г, ц,) дт т=1, ..., п. (! 3) Таким образом, все эти функции на открытом множестве (13) обладакгг пепрерьпьными частными производными по Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
