Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть и(х) — некоторая функция, определенная в окрестности точки а. Подставим в ней вместо перет<енн<ях х', ..., х" переме«пые (22) по фор: улам (21); то<да мы получим функцию Ф (! 1! 1л !) — и (<л (! г1 1л !)), М!4 <! <л '!'! л <л«(<, г!..., г '1 лил да (х) ! (4 Ул <= ! 203 1 э51 пГРРгяв имтггпллы где х=гр(1, г!...,, 1" ').
Таким образом, в переменных (22) ураьиеипе (17) получзет вид: до(Г> Е', ", !" ') Р( (1 1! ~л-!) (1 1! 1л-!)) (23) Так как поверхность (18) в координатах (22) задается уравнением 1=0, то нам следует найти решение уравнения (23), обращающееся в заданную функцию и,(г', ..., г" ') при 1 = О. Лля нахождения такого решения следует решить уравнение (23), считая его обыкновенным дифференциальным уравнением с независимым переменным 1, а переменные гг, ..., 1" ' — параметрамп. При этом следует искать решения с иачальиыьги значениями О, гг,(1!, ..., !"-!).
Получающаяся функция т!(1, 1г, ..., 1" '), в силу теоремы 18, имеет непрерывные производные по всем переменным. Этим краевая задача, поставленная в Д), решена. 3 а и е ч а н и е. Пусть х' =7'! (1, х', ..., х") (24) — неавтономная система дифференциальных уравнений. Лля того чтобы ввести понятие первого интеграла этой системы, преобразуем се в автономную систему, введя дополнительную неизвестную функцию .гг! Тогда система (24), дополиещгая уравнением х~' г! будет авгоиомио!г; ее первые интеграл!я считают первыми питегралзми системы (24).
Пример Пусть Н= — Н(х'... „к"; у', „у") = 71(х, у) (23) — функция двух систем ~с; с"апых. Госте!!а обьи'иоввнных диффе- ренциальных уравнеигН; кг.=.— ! Н(к, у), г) е=-1, ..., и, (26) называется го.ггггльтояовой сггетелгог1, а функция Н(х, у) — гамильтоиовои фуикцнен этой системы. Непосредственно проверяется, что функция (23) явгигется первым интсгралот! сисгемы (26). ГЛАВА ПЯТАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Работа очень многих мехзнических, электрических и другого типа устройств (машин, приборов и т, п.) описывается системамя обыкновенных дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет всегда бесконечное множество решений, и для задашш одного определенного решения нужно указать его начальные значения.
Между тем употребляемые в практике устройства обычно работают на вполне определенном режиме, и в их работе, во всяком случае на первый взгляд, невозможно обнаружить наличия бесконечного множества режимов работы, соответствующих различным решениям системы уравнений, Это может объясниться либо тем, что начальные значения решения при запуске устройства выбираются каким-то определенным образом, либо тем, что начальные значения при продолжительной работе прибора утрачивают свое влияние, и устройсгво само стабилизирует свою работу на с т а ц и о н а р н о и решении. С последним явлением мы уже сталкивались, когда разбирали работу электрических цепей. Приведем еще один пример. Стенные часы идут с совершенно определенным размахом маятника, хотя при запуске их маятник можно отклонить от вертикального поло;кения более или менее сильно.
Если при запуске часов маятник отклонить не достаточно силыш, то после небольшого числа колебшшй он остановится. Если же отклонение достаточно велико, то через короткое время амплитуда колебаний маятника станет вполне определенной, и часы будут идти с этой амплитудой колебаний неопределенно долго, практически бесконечно долго. Таким образом, у системы уравнений, описывшощей работу часов, имеются два стационарных решения; положение равновесия, соответстгуюгиее отсутствию хода, я периодическое решение, соответствующее нормальному ходу часов. Всякое другое решение, а этих ре,пений, несомце1шо, имеется бесконечное множество, очень быстро приближается к одному из этих двух стационарных и по истечении некоторого времени становится практически не отличимым от -него.
Каждое из отмеченных двух стагшонарных решений является аоб ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА в некотором смысле устойчпвилк Это значит, что если мы берем не стационарное решение, а решение, отклоняющееся от стационарного и начальный момент и притом не слишком сильно, то взятое нестанионарное решение приближается к стационарному.
Таково не вполне точно формулированное определение устойчивости решения. На этом же примере видно, что фазовое пространство системы уравнений, описывающей работу часов, распадается на две юблагп»п притяжения. Если взять начальное значение в одной из областей, то решение будет стремиться к положению равновесия; если взять начальные значения в другой области, то решение будет стремиться к периодическому решению.
Из сказанного уже видно, что для полного понимания работы какого-либо устройства желательно иметь хорошее представление о фазовом пространстве системы уравнений, описывающей работу этого устройства. При этом важнее всего знать все устойчивые реиенид этой системы уравнений. Из теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значений (см. ф 23) мы уже знаем, что если задаться определенным к о не ч н ы и промежутком времени, то при достаточно малом отклонении начальных значений решение отклонится мало на всем заданном промежутке времени, но это свойство решения вовсе не означает устойчивости. Когда речь идет об устойчивости, отклонение на н ео п р е д е л е н н о б о л ь ш о м отрезке времени должно быть малым, если только отклонение начальных значений мало.
Настоящая глава в основном посвящена проблеме устойчивости положенлй равновесия и периодических решений. В нее включены также два важных приложения к техническим задачам: излагаются исследование Вышнеградского о работе паровой машины с регулятором Уатта и исследование Андронова о работе лах»нового генератора электрических незатуха»о»»»их колебаний. Первое из гэтих исследований явилось основополага»о»цим в теории автоматического регулирования, второе — в теории нелинейных колебаний. В $ 30 проводится исследование поведения траекторий вблизи положений равновесия автономной системы второго порядка, что не вполне относится к проблеме устойчивости. Этот параграф по своей .трудности несколько превосходит средний уровень книги. Еше более трудным по своему содержанию является последний парагра»р этой главы (ф 3!), ф 26.
Теорема Ляпунова Здась будут даны понятие устойчивости по Ляпунову и достаточные условия устойчивости применительно к положению равновесия автоном»»о»» системы (см. й 15). мстоппгнвость' Устойчивость положения равновесия Пусть ,У'=У(х', ..., х"), 1= 1, „а — нормальная автоио.шая система, и х=у(х) (2) — ее векторная запись. Относительно функций ~'(х', ..., х"), 1=1, ..., п (3) мы будем предполагать, что оии определены н имеют иеи, ерьигиые частные производные первого порядка иа некотором открытом множестве Ь пространства иереме.шых х',, х".
В дальнейшем при установлении критерия устойчивости требования дифференцируемости будут усилены: имении, будет предполагаться, что функции (3) имеют на множестве Ь непрерывные частные производные второго порядка. Не давая формального определения устойчивости по Ляпунову, постараюсь прежде всего выразить идею устойчивости. Положение равновесия а=(а', ..., а") уравнения (2) следует считать усто ич и в ы и, если всякое решение уравнения (2), исходящее при г= 0 пз точки, достаточно.
близкой к а, остается в те~ение всего дальнейшего своего изменения (т. е. ири г >О) вблизи точки а. Физический смысл устойчивости ясен. Физический объект (например, какая-либо машина), движсиия которого управляются уравие щем (2), может находиться в положешш раиювесия а лини, тогда, когда это положение равновесия устойчиво, так как в противном слу гае ничтожное отклонение от положения равновесия, вызванное случайным толчком, может повлечь уход объекта далеко от положгчшя рави.":песня. 11ияге через ср (1, Р) будег с'озиачзгься 1'е|иеиие уравнения (2) с начальными зиачеии ищ 1= — О, х=--,, гак что ср(г, й) есть векторная функция скалярного исремешкн о 1 и векторного переменного й, удовлетворяющая условию ~р(0, й) = „-.
1)пиеделеиие. 1!оложеиие равновесия а уравнения (2) называется устоичиаызг ли суялуноау, если !) существует настолько малое положительное число р, что иря ~,й — а(< р решение гр(1, й) уравне. иия (2) определено лля всех положительных г; 2) для всякого положги ельиого числа а найдется такое положительное число 3 (р, что при ~ $ — а ~(Ь наееч (гр(1, й) — а'(а ири всех 1 >О. Устойчивое по 21;и уииву положение равновесия а урш пения (2) называется аспжл- 207 5 та1 теоггма ляпуноВА тотпчегк!! устойчивым, если 3) существует настолько малое поло- жительное число е(р, что при )$ — а)(в имеем: 1пп !тр(т, ь) — а!=О.
! +со Палим прежде всего достаточные условия устойчивости положении равновесия для линейной однородной системы с постоянными ковффицнентамп: Л) Пусть — линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, взятое в векторной записи. Решение его с начальными вначеииями О, ф обозначим через тр(1, й). Если все собственные значения матрицдя Я имеют отрицательные действительные части, то существуют такая положительные числа и и г, что выполнено неравенство !тр(1, й))~г~ф)е "', 1~0. % А =(а'); ! А (р) = (а,' — рд'.).
Тогда, пользуясь символом дифференцирсвания р (см, $ 7), уравнение (5) в скалярной форме можно записать в виде системы ~~, 7.,'(р) ~~ = О, ! = 1, ..., н. Л !'=- ! Пусть М!(р) — минор элемента 0(р) матрицы Е.(р), взятый с падлам жшцпм з!гаком, так что гппюлнено тождество л ,".; М,'(р) ~,'()!) = ~,' ~)(р) где П(р) — детермппант матрицы Е(р). Умножая соотношение (7) ив ыпогочлеп М~(р) и суммируя полученное соотношение по 1, получаем 0= ~ь ~~ М,' (р) Ц(р)х = ~ Й!0(р) х =Ес(р) х". !. 1; !=! Таким образо::!, ес;ш Из неравенства (6) непосредственно следует, что положение равифвеспя к=О уравнения (б) является устойчивым по Ляпунову и асиаютотически устойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
