Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 40
Текст из файла (страница 40)
42. обе упомянутые силы по осям, первая из которых направлена вдоль стержня, а вторая — в перпендикулярном направлении, в сторону возрастания угла ч. Непосредственно видно (рис. 42), что составля1огцая силы (1) в напраяленин возрастания угла ю ранна 1л01 з1п ~" соя:р, а составляющая силы тяжести (2) в том же напааглепии равна — тд з1п в. (4) Таким образом, равнодействующая обеих сил (3) и (4) задается формулой л10' а! и су соя ~ — 1ЛД а1п ~. (5) Упрощенное объяснение работы пептробекного регулятора заключается в том, что при заданной угловой скорости 0 стержни с, и отклоняются под действием сил (1), (2) на угол р, опре,~еляемый ив равенства т01 а1п - соз з — тл вйп ~ = О, т.
е, путем приравнпвапия пулю силы (5). Из соотношения (6) угол е определяетгя как однозначная монотонно возрастающая функция ско- остн 0; в =том смысле регулятор Уатта может рассматриваться как из мер ит ел ь скорости врапгения. Это есть так называемое с ~ а т я- Мо агстопчн вость ч е с к о е рассмотрение регулятора. В действительности мы имеем здесь д и н а м и ч е с к о е явление.
Масса лч, находясь под воздействием силы (б), совершает движение, описываемое дифференциальным уравнением, Кроме силы (5), на массу т действует при ее движении сила трения в сочленениях шарниров. Сила эта весьма сложным образом зависит от происходящего движения. Существенно упрощая имеющуюся здесь сложность, мы будем считать, что сила трения пропорциональна скорости ф движения массы ~п и имеет знак, противоположный этой скорости, т. и.
имеет величину где Ь вЂ” постоянная. Таким образом, если принять у за координату, определяющую положение массы гп, то мы получим для у дифференциальное уравнение: ~~ = лп) 5! п т соа т — ~лк 51п 'а — Ьф, (7) (Расчет силы (б) проведен здесь в предположении,'что 0 и у посто- инны. При меняющихся 5 и ~ возникают добавочные силы, которые, однако, уравновешиваются реакциями стержней и шарниров, заставляющих стержни двигаться в одной плоскости, Таким образом, уравнение (7) оказывается справедливым,) Паровая машина представляет собой маховое колесо с моментом инерции,У, приводимое во вращательное движение силой пара и способное совершать полезную работу, например поднимать клеть из шахты. дифференциальное уравнение паровой машины может быть, таким образом, записано в виде: .й>= Р, — Р, (8) где ь — угловая скорость враьцепия маховика, Р, — момент силы действия пара, Р— момент силы воздействия па маховик тяжести клети.
Момент силы воздействия пара Р, зависит от того, насколько приоткрыта заслонка, подаюьцая пар в цилиндры паровой машины, а момент Р зависит от загруженности клети. центробежный регулятор присоединяется к паровой машине с целью поддержать равномерность ее хода. Он «измеряет» скорость врап ения махового колеса 'и, если опа оказывается слишком большой, умепгппает подачу пара, а еслй она оказывается слишком малой — увеличиваег подачу пара.
Лля осуьцествления этой цели маховое колесо паровой машины связывается при помощи зубчатой передачи с вертикальным стержнем регулятора (рис. 41), так что между угловыми скоростями и и 6 возникает постоянная связгс О= — Пм, где п--так называемое педейпглочног число. Таково воздействие м а ш и п гя н а р е г у л я т о р, в результате которого осуществляется 221 ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ РЕГУЛЯТОР измерение скорости вращения маховика. С другой стороны, муфта М регулятора связана с заслонкой, подающей пар, так что Р, = Р, + А (соз » — соз ч "), (10) где ~» — некоторое «среднее» значение », вблизи которого должно поддерживаться значение регулируемой величины », Р, — значение силы воздействия пара Р, при з= з "', а А > 0 — постоянный коэффициент пропорциональности.
Как видно нз (10), обратное воздействие регулятора н а п а р о в у ю м а ш и н у осуществляется таким образом, что при увеличении угла ч подача пара (а вместе с ней и сила воздействия пара Р,) уменьшается. В результате описанных взаимодействий машины и регулятора, последний, казалось бы, полностью осуществляет поставленную перед ним задачу, увеличивая подачу пара при уменьшении скорости вращения маховика и уменьшая подачу пара при увеличении скорости. В связи с этим естественно ожидать, что скорость вращения маховика будет стабилизироваться. Это и наблюдалось в паровых машинах, строившихся до середины Х!Х столетия. Для того чтобы выяснить причины начавшего наблюдаться после середины Х1Х столетия нарушения работы регулятора, необходимо было точно изучить д и н а и и к у работы системы машина — регулятор и исследовать ее устойчивость, что и было сделано Вышнеградским. Как видно из соотношений (7) — (10), система машина — регулятор описывается двумя дифференциальными уравнениями: т!а =тп'"ьг' з1п лл соз чл — тамаш р — Ьф, .Ль = А соз » — Р, (11) где Е' = Р— Г, + 1г соз »: — величина, зависящая от нагрузки.
Первое нз этих урапепий имеет второй порядок, Для приведения системы к нормалы:ому виду введем новое переменное Сл положив: Тогда система (!1) запишется в нормальной форме: '=Ф Ь ф = и'«л' з1п:р соз лл — гг з1п у — — у, ~ гл А Ь' й= — соз у — —. У 1' Правильная работа паровой машины заключается в том, что угловая скорость ьл вращения ее маховика остается постоянной при неизменной нагрузке Р, т, е. при постоянном Р, а заслонка, подающая пар, неподвижна. 11оследнее означает, что угол в остается УСТОЙЧИВОСТЬ 1Гл а нсизмешиааь Таким образом, речь идет об отыскании такого решения гчстемы (!2), которое имеет вид: р= сро, )!) = О, о) = о)о, Фа=О, Р соз ро= —, 11З) )о Ыо — — —.
К совр, ' Полежим: р=Р -)-Лр Ф=10+ЬФ В результате такой замены и линеаризации уравнений (12), мы получаем систему: ,ц=ьр, Лр! = )!')л„соз 2ро!1р+ л'о)о з1п 2))ювао) — ~ соз роЛр — - -')!), о о )л л ).)О) = — — з!п роьо). Подстагляя во второе пз этих уравнениИ значение величины поы, пз !13), получаем после простых вь)числении: д,р! о~, оо) +,о~ д о!пот, а 2д а!и Чо соя то ' )л (о, Характеристи)ескии мпогочлен полученнои линеипои системы уравне- ниИ для Ьр, Л»', Ьо) риси: О яя) 9о Р ь". я!по90 сьв о, л — а)п ро .)' — — р )л О!р) =- ыо О или, после гычпсле)шя определителя и умножения на — 1, о+ а о+д а!пото + 2Дс а!почо и) соя '9о ) о)о Все коэфф))ниенты )того мпогочлсна положительны, и потому необходимым и достаточным условием его устойчивости является !в силу т.
е. Об отыскании положения равновесия этой системы. Задача закл)очается и том, чтобы, наидя положение равновесия системы!12), исследовагь его усто!!чивость. Приравнивая нулин правые части соотношениИ 112) и решая нолучшогниеся уравнения, найдем координаты положения равновесия: 223 ЦЕНТРОБЕЖНЫГУ РЕГУЛЯТОР теоремы 6) выполнение неравенства Ь Е Мну чо 2йд а1П'Оуо < Оо Ео есор или, иначе, неравенства Ы 2А сох ч„2Р (1 4) лу 'оо мо (см.
(13)). Соотношение (14) представляет собой, в силу теоремы Ляпунова (теорема 19), достаточное услон ие устой ч и в ости системы машина — регулятор, Для того чтобы выяснить смысл правой части последнего нера- венства, введем играющее важную роль в технике понятие неравно- мерности хода паровой машины. Из соотношений (13) видно, что при изменении величины Р=Р— Р,+Асов <Ро (т. е. при изменении <с <оо нагрузки Р) меняется стабильная скорость <о„. Величина — харак- дР теризует скорость изменения величины <ао при изменении нагрузки Р; дмо Осе = р'/ < сеесес уюо,о р е ое.
аР <с <оо ная — отрицательна) и называется неравномерностью хода паро- аР вой машины. Мы имеем в силу (13): Р<а~ = сопз1, и потому, дифференцируя, получаем: <'~ о о Н' 2Р' Таким образом, 2Ре и условие устойчивости (14) переписывается окончательно в виде; — У р1. Ы ('б) Из формулы (1б) Вышнеградским были сделаны следуюи;ие выводы', 1. Увеличение массы т шаров вредно влияет на устойчивость. 2. Уменьшение коэффициента трения Ь вредно влияет на устойчивость. 3. Уменьшение моментов инерции / маховика вредно влияет на устойчивость.
4. Уменьшение неравномерности ч вредно влияет на устойчивость. Чтобы сделать свои выводы доступными для инженеров и привлечь внимание к наиболее важным из них, Вышнеградский формулирует в конце работы свои знаменитые «тезнсыо, 224 УСТОЙЧИВОСТЬ 1гл. $ Первый тезис: Катаракт (трение) есть существенная принадлежность чувствительного и правильно действующего регулятора, короче: ябез катаракта нет регулятораь. В т о р о И т е з и с. астатические регуляторы (т. е. регуляторы с нулевой неравномерностью) даже и с катарактом не должны быть употребляемы, короче <без неравномерности нет регулятора». Нарушения работы регуляторов в середине Х1Х столетия объясняются тем, что благодаря развитию техники все четыре величины, входящие в соотношение (15), стали изменяться в направлении, ухудшающем устойчивость.
Именно, ввиду увеличения веса заслонок (связанного с возрастанием мощности машин) стали применяться все более тяжелые шары. Совершенствование обработки поверхностей деталей приводило к уменьшению трения, Увеличение рабочей скорости машин сделало необходимым уменьшение момента инерции 1 маховика. Наконец, стремление уменьшить зависимость скорости от нагрузки приводило к уменьшению неравномерности хода. Уяснив неблагоприятное влияние всех указанных факторов, ВышнеградскиИ в своих тезисах рекомендует искусственное увеличение трения (при помощи специального устройства — катаракта) и увеличение неравномерности хода (за счет изменения чисел и и А, зависящих от конструкции машины).
В 28. Предельные циклы В этом параграфе будет определено и до некоторой степени изучено понятие пред ель ног о цикла, введенное великим французским математиком Пуанкаре, а также дан один критериИ, позволяюьциИ в некоторых случаях установить сушествование предельного цикла. Понятие предельного цикла играет важнейшую роль как в самой теории обыкновенных дифференциальных уравнениИ, так и в ее приложениях к технике. Мы будем рассматривать нормальную автономную (см. $ 15) систему уравнении х'=г'(х'...., х"), 1=1,,„, л, (1) правые части которых определены и имеют непрерывные частные ду' производные — на некотором открытом множестве Ь фазового продх/ странства )т переменных х', ..., х", Мы будем пользоваться также векторноИ записью этой системы; х=у(х), (2) Все наиболее сушественные построения этого параграфа будут относиться к случаю и = 2.
Чтобы подчеркнуть двумерность, мы будем говорить о фазовов плоскости Р системы (1), а не о ее фазо- 225 $2а1 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ вом пространстве Я. При рассмотрении фазовой плоскости будут играть существенную роль геометрические построения, обладающие большой наглядностью. Случай, когда открытое множество Ь совпадает со всей фазовой плоскостью Р, отнюдь не является тривиальным, и для простоты можно сосредоточить все внимание на нем. П редел ьны и цикл и поведение траекторий вблизи него Предельным циклом уравнения (2) (и = 2) называется изолированное периодическое решение этого уравнения. Более полно, пусть х = ср(т) — периодическое решение уравнения (2) и К в описываемая этим решением замкнутая кривая в плоскости Р, Решение х= фр(~) (а также траектория К) считается изолированным периодическим решением и называется предельным циклом, если существует таков положительное число р, что, какова бы ни была точка й плоскости Р, находящаяся от кривой К на положительном расстоянии, меньшем чем р, решение уравнения (2), проходящее через точку й, не является периодическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
