Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Г)); в частности, таковои будет точка а,. Так как точка а, пе является положением равновесия, то в силу доказанного выше последовательные точки Ь„Ь ...,Ь, пегесечения траектории «р(!) с отрезком Е образуют монотонную последовательность, сходящуюся к а„ и других «ь-предельных точек траектории «р(!) на отрезке ~ не существует. Но это противоречит тому, что все точки а„а„..., лежащие на траектории «р(!), являются «ь-прекельнь«ми точками траектории тр(1).
Итак, доказано, что незамкнутая трпентория, среди «ь-предельна«х точен которой нет положений равновесия, не может быть сама «в-предельной. Так как траектория К содержится в «ь-предельном множестве»« траектории «р(г), а это множество замкнуто (см, Г)), то все «в-предельные точки траектории К содержатся в Я и потому не являются положениями равновесия.
Таким образом, к траектории К можно применить доказанное вь«ше предложение, так что траектория К должна 2)9 пвелелг ныв циклы З га1 быть замкнутой. Из все: о построения видно, чта траектори ««р Щ и:»атывается на К, как спираль, и потопу множества ы состоит лишь из зц«к««утай траектории К пчоходящеи через точку Ь. '1'аким образом, теорема 21 доказюы. П р и и е р «я 1. 0 лим пример системы ургишеинй вила (1) (и=2), имеющей периодические решения различного типа, в частности предельные циклы различных видов. Первоначально мы зададим ее в полярных «:оордииатах «р, р, а зги ем уже преобразуем в декартовы координат«я х, у.
!Рдея в виду последую«пее иреобразование к декартовым коорлг«г«агам, .„ы зададим се и виде: Ф=1! Р=Р4(Р) (20) гле д(гг) — иеи1.ерьшио диффереипнруемая функция своего аргумента, «.ирелелеииая лля всех неотрицательных его зиа «ений. При рассма;реиии в иолярнь«х координатах мы булем использовать лищь и«июжигсльиые значения лля р.
Множества всех ««олож«««ел«и«ых значении р, лля которых д(рх) =-О, обг значим через Ж, а его довс««пенис в множестве положительиьгх «исел — через т). Каждому числу и, нз М соотвстствует, о «еви г««о, ге«иенце Р = ьв у! авиеиия (20); соответствующая траектория Кьм замкнута: она являегся окружностью в плоскости Р с центром в начале координат и радиусгч и„. Так как множество г«г замкнуто в совокупности всех полохштельиых щсел, то Й оп«рыто и состоит из конечного или счегио«о шсла интервалов„попарно друг друга ие пересекающих.
Пусть п,(р(пя — один из к он е ч и и х ««««тер««алов. 'Гогда замкнутые траектории К«н и К„я ограничивают в плоскости Р кольцо Я. Для иссх чисел р интервала и,(р(и, функция р(р') сохраняет знак, так что иа всем интервале имеет место одно из исраиеиств: д (р') . О; л (рз) О. (21) Пусть (22) р=р(г гг) — решение системы (20) с начальными значения ли 1=0, «Р=О, р=п, тле и«(и =и,. Б силу доказанного в примере 1 Ч 16 функция р(1, и) опрелелеиа лля всех значений Ю и при 1-++ оо приближается к одному из концов интервала гг«(р(гг,, а при г-з.— со — к другому.
Из этоса следует, что траектория (22) при 1-++оо и Ю-+ — оо наматывается, как спиоаль иа окоужиости К„„ К„„. Именно, если выполнено первое из неравенств (21), то траектория (22) представляет ссбой Мо 1г . а устойчивость спираль, наматывающуюся на К„, при 1 — «+ со и на К„, при г-« — со (рис. 50). Если выполнено второе из неравенств (21), то решение (22) представляет собой спираль, наматывающуюся на К<п при 1-« — со и на К,„при 1-«+со (рис.
51). Таким образом, кольцо Я заполнено однотипными спиралями одного из двух видов в зависимости от того, какое из неравенств (21) выполняется на интервале и,(р< иа. Если множество М ограничено и пж — его верхняя грань, то на бесконечном интервале и"' р ( + оо траектории (22) в одну сторону наматываются на окружность К„., а в другую сторону уходят в бесконечность.
Рис. 51. Рис. 50. Если точка и„множества И является его изолированной точкой, то замкнутая траектория К<м является предельным циклом, вид которого зависит от типа спиралей, заполняющих кольца, примыкающие к траектории К„,. Если точка и, множества Лг не является его изолированной точкой, то периодическое решение К„, не является предельным циклом.
Если при этом в М содержится целый интервал с центром в и„, то периодическое решение К„, содержится внутри целого семейства периодических решений, составляющих совокупность концентрических окружностей с общим центром в начале координат. Если к числу и, с одной стороны примыкает целый отрезок чисел множества Ф, а с другой — интервал из О, то траектория К„, является крайней в семействе замкнутых траекторий, примыкаюших к ней с одной стороны, а с другой стороны на нее наматывается семейство спиральных траекторий. Возможны, однако, и более сложные случаи примыкания замкнутых траекторий к периодическому решению К„,. Их легко себе представить; например, <ч' может быть канторовым совершенным множеством. Запишем теперь систему (20) в декартовых координатах, положив: (23) л = р соз <р, у = р з1п у. пРедельные циклы 241 $88! Итак, в декартовых координатах система (20) записывается в виде~ х=хд(х'+ у') — у; Р=уд(х'+у') ~ х.
(26) (Здесь сможет быть, например, произвольным многочленом.) Система (25) имеет в начале координат положение равновесия. 2. Пусть х! г! (х1 х9 ), х' =?' (х', х', р) — нормальная автономная система второго порядка, правые части которой зависят от числового параметра р и обладают непрерывными частными производными первого порядка по всем своим аргументам х', х', р. Пусть, далее, х=,Т(х, р,) (26) — векторная запись этой системы. Решение уравнения (26) с начальными значениями О, й обозначим через ~(1, й, ц); предположим, ~то <р(М, йа, р„) есть периодическое решение уравнения (26) при (р=ц„) периода Т. Выясним вопрос о том, что происходит с этим решением при изменении параметра р вблизи значения р„.
Решения уравнения (26) будем изображать в одной и той жв плоскости Р независимо от значения параметра Р. Пусть К вЂ” замкнутая траектория, соответствующая решению ср(1, ф„р,) и ?.— гладкая кривая, заданная в плоскости Р параметрическим векторным уравнением х=ф(и), которая пересекается с траекторией К в единственной точкв Ва=<р(0* В ра)=гр(Т Ф р )='Ф(иа) (27) не касаясь ее. Рассмотрим векторное уравнение1 «р(1, ф(и), р,) — $(п)=0, (28) в котором независимыми переменными будем считать р, и, а неизвестными функциями ? и и. Независимые переменные пусть меняются: и вблизи и„, Р вблизи йм Решения будем искать при ?, близком к ?; и, близком к и,.
При и = и„, р = ра имеется очевидное решение уравнения (28): Ю= Т, п=иа (см. (27)), и функциональный определитель.соответствующей системы уравнений при этих значениях переменных отличен От нУлл, так как вектоРы Т Я„, Р,) и Р (иа) независимы. При Р = Р, уравнение (28) определяет функцию последования Лиффере|щируя соотношения (23), мы получаелп Х х=р соз р — р~ з~п р=р8'(р') ° — — р « =хд(х'+уя) — у; (24) у = р 81п р+рф соз р=рд(р) «+р — =уд(х'+ у)+х.
р 242 УстО11ПИВОСТЬ [гл. а о=у(п, 9„) уравнения (26) (р.=ра) вблизи замкнутой траектории К. 11ри р„б:1. иком к 9,, функция о=у(п, р) также определяется из уравнения (28) и может считаться функцией последования уравнения (26) вблизи периодического решения К. Однако уравне1ц;е (26) пРи ц~е ра может и не иметь пеРиоднческого Решении. Дли гггыска1ьгя периодического решения уравнения (26) прн 9, близком к р,, 1 ассмотрнм уравнение (29) У(и, 1~) — п=О относительно неизвестной фу1нопш п(и) переменного 9.
Если пронзи ..;ная леной ~асти уравнсния (29) по переменному и прн и = и„ 9=9, о1ли ша от нуля, т. е. если д д;,~(11а 1'о) - - 1 (30) то уравнение (29) заведомо ш.:еет дифференцируемое решение и (~а), и тогда уравнение (26) имг,т при р, близком к ц,, единственное Г ! а1 ар а/ Рь с. Я2. псрио11ччсскос рги1ение, гл-а. о зяи ':яп;"я от 9 и превршпги иц.
еся и К при 9 = „. Условие ( Й) оз качает предположение г р у б о с т и цикла К. В полученном результате заклгочается оправдание термгпа ~грубыйъ. Грубый предельный цикл не исчезает (и остается грубым) при малых изменениях правых частей системы, он «прочен» при этих изменениях. Если график уравнения (31) и плоскости переменных и, о при р=и, касается в точке (и„, и,) биссектрисы э= и (32) с порядком касания единица (рис. 52, б), то кривая (31) при 9=ра лежит по одну сторону биссектрисы (32), и предельный цикл К является пиедельные циклы $281 нолуустойчивым (рис. 53, б).
При изменениях параметра ц вблизи 1», наиболее естественное поведение графика (31) заключается в том, что при значениях 1», лежащих по одну сторону от ц„точка пересечения графиков (31) и (32) вовсе исчезает (рис. 52, а), а при значениях р„ лежжцих по другую сторону, появляются да е точки пересечения этих графиков (рис. о2, в), так что у уравнения (2б) появляются два грубых предельных цикла, близких к К (рис.
53, а). Таким образом, при прохождении параметра 1» через значение ~, мы сначала не имеем предельного цикла (рис, 53, а), далее при 1» =ц« появляется один полуустойчивый цикл, и при дальнейшем изменении параметра Р он Рис, 53. распадается на два грубых предельных цикла, близких к К. Описанное явление принято называть «рождением» предельных циклов уравнения (26) при изменении его правой части. 3. Отметим некоторые очень важные свойства периодического решения К уравнения (2) в случае аналитических правых частей.
Здесь мы без доказательства используем тот факт, что ре.пение <р (т, $) уравнения (2) является в этом случае аналитической функцией переменных Х и Е', 18. При построении функции последования будем считать, что кривая Е задается аналитическим уравнением. В этих предположениях функция последования т(п) оказывается аналитической, будучи решением аналитического уравнения.
Так как нулям функции т (и) — и соответствуют периодические решения уравнения (2), то ввиду аналитичности функции у (и) возможны лишь два взаимно исключаюгцих друг друга случая: 1) К есть предельный цикл — случай, когда и, есть изолированный нуль функции у (п) — п; 2) Периодическое решение К содержится внутри семейства периодических решений — случай, когда функция у (и) — и тождественно равна нулю. Если на траекторию К спирально наворачивается какая-либо другая траектория, то К не содержится внутри семейства периодических решений и, следовательно, является предельным циклом, Таким образом, при аналитических правых частях в случае 2) теоремы 21 периодическое решение К является предельным циклом, 244 [Гл. а хстоичивость ф 29. Ламповый генератор Функция ~' н" зывается хараклгерпстпкой что она является монотонно возрастающей воряет условиям: Оп| / (У,) = О, н — со йт у(ц~)=!д, н +<х~ триода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
