Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оказывается, что при достаточно малом а ) О траектория ир(г, хг(п)) = ф(Г, и), где ~ и — и„) < а, пересекает отрезок У как прп положительных зпачециях г, так и при отрицательных его значениях. Обозначим через (, (и) минимальное положительное значение Г, при котором траектория <р(1„п) пересекается с Е, и через )г,(и) — координату этой точки пересечения на отрезке Л. Точно так же обозначим через Г, (и) минимальное по модулю отрицательное значение г, при котором траектория ~р(Г, и) пересекается с Е, и через р(,(и) — координату этой точки пересечения на отрезке Е. Оказывается, далее, что если адостаточпо мало, то при ! и — ив/(в все четыре построенные функции ~1(п), Ь (и).
Г 1(и) Х !(и) непрерывны и удовлетворяют условиям Г~(пв)=т Х~(ив)=пв г-1(пв) т. Х и(пв) мя. Кроме того, функции )г, и у, взаимно обратны при достаточно ГАЗО [Гд. 6 УСТОЙЧИВОСТЬ малом и, т, е. Х «(Х! (и)) = и Х! (Х ! («)) = и. 4'ункцпя Х=Х! называется фуякцие«1 последования. Для доказательства предложения Б) используем предложение А), считаЯ, что фо = а, ф= 8'(и), то = Й-., где Я вЂ” пРоизвольное целое число.
(В действительности мы используем лишь значения й = — 1, 11, + 1.) В силу предложения А), существуют непрерывные функции тд(и) =1»(а («)) и Хд(п) = од (д'(г!)), УдовлетвоРЯющие УсловиЯм: ф(Г» (и), и (и)) = Д" (Хд («!)), гд (ио) = «гт, Хд(г«о) — по (7) причем, в силу единственности, функции, удовлетворяющие этим условиям, определены однозначно. В частности, Хо(н) ы и.
Докажем, что Хд (Х! (и)) = Х (г!). (8) Пользуясь соотношением (7) и предложением В) $26, получаем: а(Х (Х«( )))=фР (Х«(«)), а'(Х«(и)))= =«Р(1»(Х«(и)), «Р Ц(и), д(и))) = «Р((д(У«(п))+ т! (и), -. (и)), причем выполнены условия Гд (Х! («и)) 1 т! (ио) = т» (ио) + Г! (ио) = (д -Г 1) т; Хд (Х (ио)) = и С другой стороны, огы нчсем; д~ (Хд, ! (и)) = ф (1»„! (и), д'(и)), причем Хд «(и„) = и„, "д «(!'о) = — (!г+ !) ' Р силу единственности функции, удовлетворяющих условняо! (7). мы получаелп гд (Х!(и))+ г«(и) =!»+! (и); Х» (Х! (г!)) = Хд+! («). Таким образом, соотношение (8) доказано.
В частных случаях, когда А= — 1„У=+1 и 1=+1, получаем: Х (Х! ( )) = Хо (и) = ° Х! (Х («)) = Хо( ) = Таким образом, функции Х =Х, и Х ' =Х, взаимно обратны. Докажем теперь, что при достаточно малом 1« — и,~ траектория ф«(Ф, и) первый раз пересекается с 1. нри возрастании 1 в мод«ент предильнь>в циклы 231 вре,' спи 1>(и), а при убывап>ш г — в момент времени 8 >(»), Из единственности пересечения (см. Л)) следует, чтО на каждом из интервалов '> — ( — т))(а, 1>~< а, ~à †.1~а траектория гр(1, и) пересекается с отрезком >.
в единст»ецио>1 точке. Других пересечений с отрезком Л траектория >р(1, и) при 1г'1< '(а+т) и достаточно малом )и — »,( вообп>е пе имеет по следующим соображениям. Часть К" траектории К оп:>гывгемая точкой >р(г, а), когда а с 1 ""(х — е) илп — (.— а)~.1~ ~— а, (9) является замкнутым множеством, которое пе пересекается с замкнутым множеством Е и потому расстояние р между множествами Ка и положительно. Далее, и силу предложения Г) $23, расстояние между точками гр(1, а) и гр(1, и), когда Е принадлежит множеству (9), меньше р, если только величпна ~и — и„( достаточно мала. Таким образом, и траектория гр(Е, и), когда Е принадлежит множеству (9), не пересекается с отрезком ~.
Итак, предложение Б) доказано. Доказательство теоремы 20. Выберем на фазовой плоскости Р прямолинейный отрезок >'., пересекающий кривую К, не касаясь ее, в единственной точке а, внутренней для отрезка,(.. Введем на отрезке Е числовую координату и обозначим через и, координату точки а. Для определенности будем считать, что точкам отрезка Е, лежащим вне кривой К, соответству>от координаты, ббльшие и„ а точкам, лежащим внутри К, — координаты, меньшие и,. Через Х обозначим функцию последования, соответствующую отрезку Е (см. Ь)). Таким образом, для всех чисел достаточно малого интервала !а — »„>С я траектория уравнения (2), нгчинаюп>аяся па отрезке >. в точке р с координатой», ври возрастании времени впервые пересекает отрезок Е в точке >у с координатой Х(п)=п.
Мы иа еем, очевидно: Х(па)=па Да»ее, если для числа и вь>полпепо равенство Х (>г) =- » (10) (11) (12) то траектория, начинающаяся в точке р с координатой и, замкнута. Так как, по предположению, траектория К является изолированной замкнутой траекторией, то существует настолько малое положительнее число и, что при ~ и — иа~ (и уравнение (10) имеет единственное реп>ен»е и = и,. Из этого следует, что для всех точек интервала агеСп(и, +в имеет место одно мв неравемстк Х(п)(п, Х(и) >г> 232 устО им !! вость 1гл.
5 В самом деле, если бы для некоторых точек этого интервала имело место неравенство (11), а для некоторых — неравенство (12), то, в силу непрерывности функции т, на том же интервале нашлась бы точка и, для которой выполняется равенство (10), что невозможно. Так как траектория, начинающаяся в точке р с координатой и, принадлежащей интервалу ил(п< пл-+я, не может пересечь траектории К, то обе точки р и д лежат по одну сторону кривой К (а именно, вне К), так что у(п) ь' (13) Рассмотрим теперь случай, когда для всех точек интервала и,( и «" и„ + а имеет место неравенство (1 1). Пусть и, — произвольное число этого интервала.
Определим индуктивно последовательность чисел пь им, „положив: и;, = у (ил), 1= 1, 2,... (14) Х '(о)(о Исходя из пего, мы точлв так же покажем, что в этом случае любая траектория, начинающаяся в точке отрезка Е с координатой и, принадлежащей интервалу и„ ( о< и„ +р, спирально наматывается на траекторию К при 1 -+ — оо. В силу неравенств (1!) и (13) эти числа расположены па инаервале и, ( и с" и, + и и образуют убывающую последовательность. Следовательно, они имеют некоторый предел и'л.
Переходя в равенстве (14) к пределу при 1-л оо, получаем у(и""')=п~, а так как точка и'" принадлежит интервалу )и — пл(< и, то, в силу единственности решения уравнения (1О) нз этом интервале, и'=и„. Итак, !1т и,=и,. ! со Обозначая через р; точку отрезка с с координатой ип мы видим, что последовательные точки Ри 1з.„... пеРесечениЯ тРаектоРии, начинающейся в рь с отрезком 1. сходятся к точке а, лежащей на траектории К. Так как время перехода по нашей траектории от точки р,. до точки р;+, близко к периоду т предельного цикла К (и, в 1астности, ограничено), то при росте 1 весь отрезок траектории от точки р,.
до точки р;+л прижимается к траектории К (см. ~ 23, Г)). Это и значит, что траектория, начинающаяся в точке рь спирально наматывается на траектори о К при 1 -ь + со. Таким образолй доказано, что ири выполнении неравенства (11) траектория, начинающаяся в любой точке отрезка У. с координатой и, принадлежащей интервалу па(и( (и„+а, спирально наматываегся на К при 1 — л-+ со. Если на интервале ил С и<' и,+а имеет место неравенство (12), то для обратной к ( функции у ' на некотором интервале п„к о ( ( ил + р имеет место неравенство 233 пввдельные циклы зж1 Аналогична исследуется поведение траекторий, начинающихся на отрезке 7. в точках с координатами и, из достаточно малого интервала иа)и) иа — 7. Так как каждая траектория, проходяцгая достаточно близко от траектории К, пересекает отрезок 1. в точке с координатой, достаточно близкой к и„, то мы разобрали поведение в с е х траекторий, близких к предельному циклу.
Таким образом, теорема 20 полностью доказана. За меч ание. Для того чтобы обьединить в одной формулировке связь между поведением функции у(и) вблизи и, с поведением как внешних, так и внутренних траекторий, мы рассмотрим нера- венства !К( ) — а!<! — иа!, ! у (и) — иа ! ) ! и — и, !, (1б) Если в полуокрестности линии К (внешней или внутренней) выпалнено первое из этих неравенств, то точка о находится на линии 7.
б л и ж е к а, чем р, и потому в этой полуокрестности траектории спирально наматываются на Кпри 1-+-!-со. Если же в полуокрестности выполнено второе из неравенств (15), то в этой полуокрестности траектории спирально наматываются на К при 1-+ — оо. В) Функция последования у= у, и ее обратная функция у ч =у, (см. Б)) имеют непрерывные производные. Для доказательства напомним, что функция („(и), А = -+ 1, определяется из уравнения (7): «р (1„, д (и)) — д (у„) = О, (! 6) удобства, что (10), мы рас- координатного в плоскости переменных сс, е, считая при этом для и,) О.
Для того чтобы изучить решение уравнения смотрим наряду с кривой (17) биссектрису первого угла (18) где и является независимым переменным, а ~а и )(а определяются как неявные фушсции переменного и. Так как функция <р(1, й) имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора й (см. теорему 17), а функция й = л (и), являющаяся линейной относительно и, имеет непрерывную производную по и, то левая часть соотношения (16) имеет непрерывную производную по и. Поэтому, в силу теоремы 28, неявные функции 1„(и) и )(„(и), определяемые уравнением (16), имеют непрерывные производные по и. Таким образом, предложение В) доказано.
Большую привлекательность имеет геометрическое изучение функции последования у (и). Изобразим ее в виде графика уравнения о=К(и) (17) 234 !Гл. а у стопчи ность (рис. 45). Лля нахождения всех решений уравнения (10) следуе г найти все точки пересечения линий (17) и (18). Лля того чтобы замкнутая траектория К была предельным циклом, необходимо и достаточно, чтобы точка (и,, и,) являлась изолированной точкой пересечения графиков (17) и (18). Если эти Р графики не касаются дпуг друга в точке (и„ и„), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
