Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Йокажем неравенство (6). Положим: 908 устойчивость — некоторое решение уравнения (б), то каждая функция х удовлетворяет дифференциальному уравнению В(р)х =О.. Так как все корня многочлена 0(р) по предположению имеют отрицательные действительные части, то (см. й 9, А)) для функции х' выполнено неравенство ~х'~=.Ке "', 1=1...„и; 1)0, где Я и а — положительные числа, не зависяшне от номера 1. Из этого неравенства следует неравенство )х)» ~/и )се "' (~)0). Последнее неравенство уже было доказано ранее (см.
й 11, Б)) в более обших предположениях; здесь это доказательство проведено заново. Пусть е; — единичный координатный вектор номера 1, так что е,.=(0, ..., 1, ..., 0), где единица стоит иа 1-м месте. Пусть, далее, ф(1) — решение уравнения (б) с начальным значением еи так что ф(0)=еи 1=1, ..., и. Тогда решение ф(~, $) уравнения (б) с начальным значением 5=( ~ "~ ~")~ очевидно, запишется в виде: Р(~, В) = „К е'Ф;(О (6) Так как для каждого решения ф,.(1) выполнено неравенство ';ФФ1, =1/и Ке™ (1= О), то для решения ф(г, й), очевидно, выполнено неравенство (6). Устойчивость по Ляпунову положения равновесия х=О непосредственно вытекает из неравенства (6), действительно, если в — заданное положительное число, то достаточно принять за В число —.
Асимптотическая устойчивость также вытекает из неравенства (6), Функция Ляпунова При установлении критерия устойчивости положения равновесия не л и и е й н о й системы (1) пользуются так называемым дифференцироваииеж в силу свете иы уравнений; дифференцирование это находит применения ие только при доказательстве теоремы Ляпунова. 209 ТЕОРЕМА ЛяплНОВА В) Пусть Г(х1, ..., х") = г" (х) — некоторая дифференцируеа1ая функция переменных х',...,х", определенная на множестве Ь. Ее производная по 1 в силу системы уравнений (1) в точке х=(х', „х") определяется следующим образом. Пусть гр(1) — решение уравнения (2), удовлетворя1ощее,'при некотором значении 1=1, начальному условию: гр(го) =х.
Производнач Г(1) (х) в силу системы (1) определяется формулой р', ( )=„—,~(р(Ю~ =., ~Г или в силу формулы полной производной л („(х)= '~ ~ — '„1,) У'(х), 1=! гг(1* 1Р(а 5))=1Р(а+г ь). (10) Докажем формулу (10). Положим; Ч=гр( й) (! 1) где а — фиксированное число, и рассмотрим решение гР (1) = 1г(г Ч) уравнения (2). Так как гр(г, й) есть решение уравнения (2), то в силу автономности этого уравнения (см.
й 15, Л)) решением является и функция 'ра(Г), определяемая соотношением: тря(г)=гр(г-!-а, Ф). п1ы имеем, таким образом, два решения <р1(!) и тра(1) уравнения (2). Далее, % (0)=гг(0 Ч) =Ч Из формулы (9) видно, что Г!1, (х) не зависит от решения гр(г), а однозначно определяется выбором точки х.
Докажем теперь одно свойство автономной системы. В) Решение автономного уравнения (2) с начальными значениями О, й по-прежнему будем обозначать через 1р((, й). Оказывается, что функция 1р(1, $) удовлетворяет тождеству 2!О кстопчмпость (см. (4)), ср,(О) =гр(г, ф)=т) (см. (11)). Таким образом, решения ~р,(г) и ср,(() имеют обшие начальные значения п потому совпадают, а это и означает, что соотношение (10) выполнено. В доказательстве теоремы Ляпунова основную роль играет некоторая положительно определенная квадратичная форма, называемая функцией Лялумаеа.
Отметим сначала некоторые свойства положительно определенных квадратичных форм (см, Г)), а затем построим и самую функцию Ляпунова (см. Д)). Г) Пусть (12) — переменный вектор и-мерно~ о пространства. Квадртлпчной фар.иай от вектора х называется его функция 1г'(х), определяемая формулой !Т(х)= ~ ю,,х' т. и т=! где и,; = ж~,; — действительные числа. !(вадратичпая форма %'(х) называется лоложьыпельно оиределенкай, если при х ~ О имеем: !к'(х) > О. Оказывается, что для любой положительно определенной квадратичной формы %'(х) всегда можно подобрать два таких положительных числа р, Ь что для произвольного вектора х име!от место неравенства р, ) х Г ~ 1к'(х) ~ ч ~ х Г. (! 3) Ип атого следует, что для произвольного х (см.
(12)) имеет место пс,,юсч юз по ~х' ~ ~ — В'(х), (14) Докажем существование чисел р п т. Для этого рассмотрим значения фупкппп !!пав), когда вектор $ принадлежит едиппчпои сфере, т. е. удоплсгпоряст условию ! %1=1 (15) Так как сфера (!5) представляет собой замкнутое ограничешгое множество, а фупкппя 11т Я) непрерывна, то на сфере (15) опз достигает своего мшпгмума й и своего максимума т. Так как все векторы сферы (15) отличны от пуля, то числа,л и т положительны. Пуст1 х— про,зпольпып вектор; тогда мы имеем х = ).й, где вектор г'. прп- теопгмл ляпунова нз-лежит сфере (15), и потому для вектора ф выполнены неравенства р~ У'® -.
Умножая это неравенство на )з, получаем неравенства (13). Перейдем теперь к построению функции Ляпунова. Д) Пусть в х = ~~ а',.х~, 1=1, „и (16) /= 1 — линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами, причем все собственные значения матрицы А=(а') имеют отрицательные действительные части, Существует тогда положительно определенная квадратичная форма Ж"(х), производная которой в силу системы (16) (см.
Б)) удовлетворяет неравенству К'„„(х) = — РЖ'(х), (17) л М, Ю= Х ~'ф, (1) с=~ (18) (см. (8)). Положим теперь !РАЙ)=) ~ Ф(, Ю~'-г1т. о (1О) Мы имеем в силу (!8) Л СО т(Р= )' И 1 (ф,.(т), ф,(-.). (т. (2ч) Так как каждая функция ф, (1) удовлетвор. ет нерзгспству (6), то каждый несобственный интеграл, стоящий в право!! части равенства (20), сходится, и потому Ю'(х) есть квадратичная форма относительно векторз й. Эта квадратичная форма является положительно определенной, так как при й ~ 0 подьштегрзльное выражение в формуле (19) положительно, и, следовательно, К Я) .> О.
Вычислим теперь прон:- водную Фнз, Я) функции ЮЯ) в силу сисгемы (!6). Для этого, соглзсно предложению Б), мы проведем через точку й решение ф (б '-. где х — произвольный вектор, а р — положительное число, не зависящее от вектора х, Построим форму Ю'(х). Будем считать, что система (16) есть скалярная запись векторного уравнения (б). Решение уравнения (5) с начальными значениями О, й будем, как и в предложении А), обозначать через ф (1, й); тогда мы имеем: устойчнзость и зятем вычислим производную при г=0 от функции 1~'(ф(г, й)).
Заметим предварительно, что в силу В) Ф(, Ф(И 5))= Ф( +1 ~) так что 11'(чч(г, "))=) ~ф(т, тр(1, ь)) ! г1~ = о =~ ~ф«+, и~'~ =~ ~ф(, ьн'~. о ! Таким образом, мы имеем 1~...(и=,",~м(~, ~в~ =,"-,~м(, в~ч! = — !ФН В)Г~~=а= — !В~я. Итак, мы получили равенство ~р6>а)= — 1в~, но в силу второго из неравенств (13) имеем: — ! Ф !'~ — — „1Т'Я) н потому получаем: 11у11я1 Я) ~,„1г'(5) 1 Таким образом, неравенство (17) доказано.
Теорема Ляпунова Перейдем, наконец, к формулировке и доказательству теоремы Ляпунова. Пусть 1 я) — пологкенне равновесия автономной системы (1). Положив: х'=а'+Ах', 1=1, 2, ..., и, (21) н примем за новые неизвестные функции величины ~1х', ..., Ьх". (22) Производя подстановку (21) в системе (1) и разлагая правые части в ряд Тейлора по переменным (22), получаем: л Ы'=У'(а)-',— ~ ' — '~,.— 'Ьх' - К', 1=1, ...,, (2И) /=! ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА где Ц' — член второго порядка малости относительно неизвестных (22).
Так как а есть положение равновесия системы (1), то Г'(а) = О; далее, полагая а'=ду (а) (24) мы можем записать систему (23) в виде. 1=1,...,п где г и и — положительные числа, не завистцие от $. Доказательства Будем считать, что положение равновесия а системы (1) совпадает с началом координат, т.
е. что а=О. Этого всегда можно достичь, произведя параллельный перенос системы координат; при этом матрипа А не изменится. Предполагая, что а=О, мы имеем: и потому система (25) записывается в виде: л х'= ~ а'х~+Я', 7 1 1=1,...,п,, (27) где 1 'Д д7У~(вх) 7 ь 2 ~, ь=! Пусть теперь %'(х) — фупкння Ляпунова (см. Д)) для линейной системы н х'= ,"~" а'х, 1=1, ..., и, (28) 7=! получаемой из системы (27) липеаризаниен, т.
е. отбрасыванием остаточных членов тС'. Вычислим пРоизводпУю ФОП1(х) фУпкпии 1т'"(х) Ьх' = '~~' а'Лх'+й', 7=! Теорем а 19. Если все собственные значения матрицы А =(а)1 (см, (24)) иметот отрицательные действительные части, то положение равновесия а системы (1) асимптотичесни устойчиво; более полно, сугцсствует настольно малое положительное число а, что при ~$ — а~<.
о имеет место неравенство | ср (1, ф) — а ~ ~ г ( ф — и ! е ', (26) и;. а УСТОЙЧИВОСТЬ в силу системы (27). Мы имеем: и Л Фат (х) ~~ дх, а,'х + ~~ — -~ — й = 'с дю'(х); 7 "С дат(х) М/ 1 1=1 'д дй'(х) = и'яа (х)+ ~ — — —.Й'. ( ) да' Так как функция Ж'(х) удовлетворяет условшо (17), то мы имеемп Выберем теперь настолько малое положительное число Ь, чтобы прн где Ь вЂ” некоторая константа. Далее так как — — есть линейная д В'(х) У дк~ форма сопосит льно х', ...„х", то 1 д%'(х) д г где 7 — некоторая константа (см.
(14)). Таким образом, существует такое положительное число д, что при 1в'(х) ~Ь мы имеем: Выберем теперь положительное число с таким образом, чтобы было =--Ь, 7)У =а2., Тогда мы будем иметь: если только выполнено неравенство 1)" (х) --- с. (зо) Ю'(х) -- Ь (29) вектор х принадлежал множеству Ь (такое число Ь существует д'У' (ах) в силу (13)).
Вторые производные, будучи непрерывпычи функциями, ограничены в эллипсоиде (29) и потому в этом эллнпсонде ~й'~ =А~х~'=:=-- Ю'(х), 5 т61 ТВОРЕМА ляпунОВА Полагая а= —, получаем неравенство Р Ж'гтт) (х) «~ — 2аЮ(х), справедливое, если для х выполнено неравенство (30). Пусть ф — внутренняя точка эллипсоида (30), т. е, точка, удовлетворяющзя неравенству ~'(хг) ~ с (31) Решение системы (2?) с начальными значениями О, й, как и раньше, обозначим через тр(г, ф) и положим: (() = 1~(р(г. В)). Функция та(т) опрелелеиа для всех тех значений 1~0, для которых определено решение <р(1, а), и в силу Б) она удовлетворяет условию тв (1) ( — 2атс (1) (32) до тех пор, пока лля иее выполнено неравенство тс (~) .:. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
