Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. функция и(гр(1)) зависит только от выбора решения гр(1), но не от переменной 1. Оказывается, что любой первый интеграл и(х) системы (1) удовлетворяет условию л (3) с=! и что, обратно, всякая функция и(х), удовлетворяюшая условию (3), являешься первым интегралом системы (1). Докажем, что первый интеграл и(х) системы (1) удовлетворяет условию(3), Пусть $ — произвольная точка множества 6 и х= гр(1, Ц)— решение уравнения (2) с начальными значениями О, Ц.
Мы имеем; л О=- и(гр(8, ф))! = ~' —;-г!Я); != ! так как ф — произвольная точка из 6, то соотношение (3) выполнено на мпожестге й. Допустим теперь, что для функции и (х) выполнено соотношение (3), и пусть х=гр(1) — произвольнсе решение уравнения (2), траектория которого лежит в О, Подставляя х=- гр(г) в фушсцию и(х), мы получим некоторую функцию (1)= (Ч(Э Ди!(к1!е1спцпруя эту функцию по 1, получаем: л — ' "(г" ~( Ю вЂ” О. ггг,~ ! дх! у(а),—:- О, Б) Первые интегралы и'(х), „., и" (х) (4) системы (1), опре е.енине в некоторой окрестности точки а (см.
(4)), называ!о!ся незаоигг.".Ьпп'! в и!одне а или просто независимыми, если фушпгпональная,.атрица /ди! (а)!, ! ° дх! Таким образом, и(гр(1)) пе зависит от 1. Н дальнейшем изучение первых интегралов системы (1) бу;ет проводиться чисто локально в некоторой окрестности гочки а открытого множества б, пе являкцгейся положением равновесия системы (1): 1гл.
4 теОРемы сушестйоплния имеем ранг А. Оказывается, что в некоторой окрестности точк:! а (см. (4)) сушествуют и — 1 независимых первых интегралов системы уравнений (1). докам!ем ито. Так как вектор.р(а) отличен от нуля, то отлична ит муля котя бы алина из его компонент. Будем считать, что У" (а) О. Пусть $ (Ел, „,, Е л, и") — точка, близкая к точке а, и х = <р (!, $)— реим!мие уравнении (2) с начальнымп значениями О, й.
В координатной фораае решение это можно записать в виде; х' ср'(г, Е!, ..., Е" '), 1=1, ..., и. Ьудем рассматривать эту систему сооотношений как систему уравне- ний относительно неизвестных '! св — ! ! При х'=а', 1=1, ..., и, зта система уравнений имеет очевидное рев!ение Е'=а', ..., Е" '=а" ', 1=0, и функциональный опреде- литель системы (5) отличен от нуля в этой точке. В самом деле, р'(О, Е', ..., Е" ')=Е', к=1, ..., и — 1, ср" (О, Е', „., Е" ') =а", и потому д р" (О а' а" ') = Ул (а) ~ О. )=1, .„, и — 1; Отсюда видно, что интересуюший нас функциональный определитель отличен от нуля.
Таким образом, сушествует такая окрестность О точки а, что прп х, принадлежапгпх О, система уравнений (5) разрешили отпос!г! е п,по неизвестных (6) (сл!. ф 33) и ре пеппе запг!сьп!ается и виде: Е! =- и' (х), ..., Е" ' = и" ' (х), ! = э (х). (8) Покажем, что функции и'(х), ..., и"' '(х), входягцие и эти соотно!пения, являю!ся первыми интегралами системы (1), и притом независимыми з точке а, Функциональная матрица системы (5) нгн!дена (см.
(7)); из ее ш!да легко следует, что функ. ц!ц г:.!ьная:и,!ргя!а ав' !а ! ов 199 пеРвые ннтегРллы является единичной, и потому функции (9) независимы. Покажем, что они являются первыми интегралами системы (1). Для этого достаточно доказать, что при подстановке в функции (9) любого решения х=«р(1) уравнения (2) они превращаются в величины, ме вависящие от г. Так как система (8) является обращением системы (6), то функции (9) удовлетворяют тождествам и«(%((, $))=1'. 1=1, ..., и — ! (10) (см. Г) 33, пример 1). Таким образом, при подстановке в функции (9) решения х=«р(1, с) мы получаем величины, не зависящие от 1.
Пусть теперь х= «р(1) — произвольное решение уравнения (й), проходящее в окрестности О Пусть 1» х,— его начальные значения, причем х, принадлежит О. Так как система (б) разрешима при х х» то существует решение х=«р(1, $«), проходящее через точку х» и потому решение «р(1) может быть записано в виде: ф (1) = «р (т + с, $а), где с — константа (см. 9 1б, Б)). Таким образом, при подстановке х=ф(!) в функ««ию и~(х) получаем, в силу (10): '(Ч(О)= '(Ч (1+ й««))=Ч.
1=1 " и — 1 Итак, предложение Б) доказано. В) Пусть и«(х), ..., и" ' (х) (1 1) — независимые в точке а первые интегралы системы уравнений (!), причем и'(а)=«««, 1=1, ..., и — 1; Ь=(Ь«, ..., Ь" '), и пусть тс«(х) — некоторый первый интеграл системы (1), определенный в окрестности точки а. Су«цествует тогда такая функция В'(у«, ..., у" '), определенная на некоторой окрестности точки Ь пространства переменных у', ..., у' ', что имеет место тождество ц«(х) = 1Г («Р (х), ..., и" ' (х)) (12) Л чл «)««. (х) —.— У' (х) = О, / = 1, ..., н — 1; Г)х « «= « ~' — Л ~«(х) = О.
Таким образом, эти первые интегралы зависимы (см. (4)). В то же время первьш иигегралы (11) неза«:исимы. Отсюда, в силу известной на некоторой окрестности точки а. ,г(о««а~кем это. В силу А), первые ~«игегралы и'(х), ..., и' '(х), ц«(х) уао««летзорявт соотиошеш«ям [Гл. 4 ТЕОРЕМЫ СК1ИЕСТВОВАНИЯ теоремы анализа (см. % 33, пример 2), следует существование функции [Р', для которой выполнено соотношение (12).
Если нам известны некоторые первые интегралы системы (1), то тем самым решение системы (1) облегчается. Точно зто обстоятельство формулируется в нижеследующем предложении: Г) Пусть и"'(х), ..., и" (х) (13) — система из и — /г независимых в точке а (см. Б)) перяык интегралов автономной системы уравнений (1). Пользуясь функциями (13), можно попизигь порядок системы уравнений (1) на и — )4 единиц, т. е, зачепить ее автопомпой1 системой порядка Й; в частности, когда имеется максимальное число и — 1 независимых первых интегралов, порядок автономной системы (1) можно свести до первого и, следовательно (см.
ф 2, пример 1), решить ее в квадратурах. Локажем предложение Г). Так как первые интегралы (13) независимы, то в функциональной матрице ( — д,у — ~, [, / = lг -+ 1, ..., и. 11ользуясь ьтп», введем в окрестности точки а новые координаты У ° ° ° > У (14) вмесго прежпцк х', ..., х", по.1ожип У =-" °, У'=х'; у~'=и"+1(х), ..., У" = и" (х). :-)тпмп фор11ула:1п действительно вводятся попые координаты у', ..., у", так как функциональный опредееи1тель системы соотношений (15) отличен ог нуля в окрестности точки а (см.
~ 33). В позой системе пер иеппых (1[) систе41а (1) примет вид: !!о так как каж г'1 фу!по[па (13) удовлетворяет условию (3), то мы будем пт1еть прп 1= )4 — 1...,, и: и д 1, и „у дп(х) [1=., п'(х', ..., х") = —,— у (х) =-О. /=1 имеется квадратная матрица порядка и — lг с отличным от пуля детермипантом. Будем считать для определенности, что отличен от нуля дегермппанг матрицы ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Таким образом, й+ (у)=0, ..., и" (р)-0. Ввиду этого система (16) фактически оказывается автономной систе- мой порядка А. Линейное уравнение в частных производных первого порядка Соотношение (3) можно рассматривать как уравнвнггв в часигнагх производных относительно неизвестной функции и (х) переменных хг, ..., х". В предложениях Б) и В) установлено, что при ~(а);60 в окрестности точки а существуют и — 1 независимых решений этого уравнения и что, имея и — 1 независимых решениИ его, можно полу чить всякое другое при помощи формулы (12).
При этом ясно, что всякая функция, задаваемая формулой (12), является решением уравнения (3). В этом смысле'можно считать, что уравнение (3) р е ш е н о( именно, показано, что, умея решать систему (1), мы тем самым умеем решать и уравнение (3). Можно, однако, подойти к решению уравнения (3) с другой точки зрения, а именно можно поставить и решить краевую задачу для уравнения (3) и даже для уравнения, более общего чем (3). ,П) Пусть в )' ~'(х),— г=г".(х, и) г-~ (17) ь ( г 1~ г ) (18) — заданная в векторной форме параметрическая запись некоторой поверхности размерности и — !, проходящей через точку а при т'=...=т" '=О, так что й(0, ..., 0)=а. Мы будем предполагать, что поверхность (18) дифференцируема и в точке а не касается вектора г~(а), т, е. векторы дф(0, ..., О) дф(0, ..., О) с т дгг ~ "~ дгв-г ~ / 'l (19) линейно независимы. Пусть, наконец, гг,(тг, „,, !"-') (20) — уравнение в частных производных относительно неизвестной функции и(х), где г"-(х, и) — некоторая заданная функция, имеющая непрерывные производные первого порядка по всем своим аргументам.
Пусть, далее, 202 1гл. 4 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ вЂ” некоторая функция, заданная на поверхности (18). Оказываетсч, что в окрестности точки а существует, и притом единственное, решение п(х) уравнения (17), совпадающее на поверхности (18) с заданной функцией (20), так что п(й(1<, ..., 1" '))=п,(1<, ..., ~л-!). Для нахождения решения и(х) используются траектории системы (1), начинающиеся на поверхности (18).
Эти траектории называются хара!.-- тер<<спитам<! ура«пения (17). Докажем предложение Д). Для этого введем в окрестности точки а фззового пространства системы (1) новые координаты вместо координат х',, х". Пусть х=<р(1, 1<, ..., 1л ') — решение уравнения (2), начинающееся в точке й(1<, ..., 1" ') поверхности (18), т, е. решение с начальными значениями О, й(т<, ..., 1" '). Мы имеем тогда систему соотношений х<=,р<(1, 1<,, Ф -!), (2! ) правые части которых имеют непрерывные частные производные по переменным 1, г<, ..., 1" ' (см.
теорему 17). Если считать в ней неизвестнымп величинами переменные 1,Р,...,<л<, (22) то система эта при х=а имеет очс«идное решен«е 1! 1л-! 0 и функциональный определитель ее не обращается в нуль в этой точке, как это следует из линейной независимости векторов (19). В самом деле, <р(О, 1<, ..., Хл !) = й(1<, ..., 1" '), и потому частит! д д д производная „— „<р(0,..., 0) равна д — Уй(0,..., 0); а!а<!ее,;<у(0,...,0)=-.— дт» *'' > =Г(а). 1'аким обра«о!.<, система соо!Ион<еиий (21) дает возмо;кность ввести « и которой окрестносг« точки а вместо коордш<ат ,...,х" новые координаты (22) (см. й ЗЗ). В этих новых коорд«натах уравнение (17) записывается особенно просто, и легко может быть решена поставленная в предложении Д) краевая задача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
