Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Очевидно, мы можем выбрать число г, так, чтобы это условие выполнялось и чтобы, кроме того, было «г(г,. Тогда при г, (г(гаэ выполнены неравенства «г 1 «га и, следовательно, точка (Г, гр(1)), у которой г,(1(«гь может пе принадле'кать мпожеству Е лишь блщодзря тому, что точка гр(1) не принадлежит множеству Е. Таким образом, предложение В) доказано. Примеры 1, Для иллюстрапии результатов этого параграфа рассмотрим автономное уравнение первого порядка: ! У(.
)' где Г(х) — многочлен. все корни которого действительные и простые. Пусть аь а„..., а„— их запись в возрастающем порядке. Фазовым пространством уравнения (4) является прямая Р, а открытым множеством Ь для него служиг созокушюость всех точек прямой Р, за исключением а„а„..., а„, так как в пих пряная часть уравнения (4) обращается в бесконечность. Положим: к Е (х) = ~ У(ч) Й. о Тогда совокупность всех решений уравнения (4) описывается соопюшением Е (х) = (+ с. Так как в автономном уравнении сдвиг времени на константу не меняет траектории, то совокупность всех граекгорпй уравнения (4) вмесге с описанием движения по пим точки х(1) дается соотношением Е(х) =(.
Рассмотрим движение точки х(г) по интервалу а,(х(а,. Так 'как у(х) сохраняет знак иа интервале а,(х(а„то Е(а,) 7- 'Е(аД; )хля определенности будем считать, ч|о «г, = Е(а1)(гл,=Р(а,). Легко видеть, что в то время, когда Е пробегает интервал «г,(М (т„ точка х(г) пробегает интервал а,(х(а, Отсюда видно, что х(1) есть пепродолжаемое решение с интервалом определения ~п,(1(«г,. Здесь оба конца этого интервала конечны; это объясняется тем, что 17Гт 1гн 4 теоасмы сти(сствован!!я п1!!! подходе к кои!тат! интервала вреа!сии лг!(1С юг, точка х(1) подходит к грйиичиым точкам области Ь.
2, Предложение Ь) в некотором смысле отвечает иа вопрос, почему интервал определс!игя и продолжаемого рсшеиия может оказаться о! расгл!с!!:!ь!а! сплава или слс'!!. Последим за поведением иепродон!- жаемого реш„!:!я х=:, (1), ограиичиваясь для простоты случзем, когда хяюжестио Г оп !си!ч.!о!. Грй!!и!(у миожествй Г обозиа!!!т! через (!. Пусгь лг!~1(!!!а — !!!!:;р!!йт! оирсдслеичя испродолжаемого рею;!и!н Х=.-г1.(1).
Тйк !;йк ииот;ест!!о Г ограиичеио, то оба числа л!! и лг! о!г!!!чи!! от -1-о.. По!:!!я:е!!, !то при 1 — ~в!, расстояние точки (1, <р(1)) от .,!иожества 0 стрехи!тся к нулю. Пусть а — произвольиое положите.!ююе число и Е, — совокупность всех то !ек миожест!!а Г, расс!Ояи."!е котор!!х до ьиюж 'ства 0 большс или равио Б. Легко доказьигастся, что а!!к!гкес!!!о 1-; зймкиу!о в Й и ограиичеио. В силу предложения Ь) су!г!ес!вуе! такое число гт(т;, !то при г,С 1<. тт точка (1, тр (1)) из г!ршы.;лежит миоя'сству Е, и, следовательно, ее расстояние до миожсства 0 меньше е. Таким образом, при 1-!-лг„ расстояние точки (1, тр(1)) до мио.кества 0 стремится к пулю, Приближеиие точки (1, <р(1)) при 1 — !.вгя к границе 0 лиюжсствй Г и является ирич:июй того, что рсшсиие х=гр(1) ие может быть продолжено зй правый конем !д, !иысрвйлй сто определения.
ф 23. Ны!рерывиая зависимость решения от начальных зиачеии!! и параметров Учитывая зависимость речиеиия заданной системы уравиеиий ог ийчальиых значений этого решения, мы приходим к решен!по как функции от независимого леремеииого и иачальиых зиачеиий. Разли:- иые свойства этой фуикиии многих персмеииых имск>т ван!вос зиачсиис..'Здесь будет доказана иепрсрывиость ьт! й фуикции ио совоку!шости пере!!сии!нх. Локй.!йтсльс!во непрерывной зависимости решения от иачалы!ых з!!й !е!!!!!! б!уде! сведено к теореме о непрерывно!! завися!!ости реигьиия ири <~яксироваииых начальных значениям от иарат!строя, непрерывно входяших в правые час! и системы.,уга теорема будст докасй!!а в первую очередь. Не!!ре р !!в па я зависимость решения от параметров Мь! б)дсм 1тассматршгать нормальную систему уравнений: .ъг =) (1, х!, ..., хл, !..., !), 1= 1... 7г, (1) правые части к:л,:рых зависят от !!араме!ров р,', ..., р' и опрсделеиы в искоторо:! оп;рылом множестве Г простраиства Я иерсмеииых нэппэиывнля зависимость от нлгглльных знлчгипн .179 1, х', ..., х", !гг, ..., р.'.
Будет пре иголагатьсгг, что правые части системы (1) и их частные производные дУ' — 1,г=!,...,п, дл (2) по переменным х', ..., х" являются в 1' непрерывными функциями со- вокупности всех переменных. !!олагая х =(х', ..., х"); мы эапшием систему (!) в векторной форме. (3) А) Точку .
пространства Я будем обозначать через (1, х, !г). Зафиксируем начальные значения !я, х, и обозначим через гг1 совокупность всех таких !ь, что точка (1,, хь, !г) прииадлежипг множеству Г Очевидно, что Л является от к р ы т и и;шожеством в пространстве переменных р'... „!г'. Каждой точке ьг киожеспга Л! соответствует иепродолжаемое решение гр(1, !г) с начальными значениями !я,х„ уравнения (3), определенное на интерггале т,!11) ~! с, ига(1г) (см.
ч 22, А)), который, очевидно, может зависеть ог и, 1то и яьгргпкеио в обозначениях. Множество Т всех иар 1, !г, для которых фуикиия г((1, !г) определена, описывается, очевидно, услошгями: точка !л принадлежит множеству М, а число ! удовлетворяет при этом неравенствам пгг (!г) ( (! (гп,г(р,). Теорема 13. Л!ноагсесгггво Т всех пар 1, !г, на ксниорьгх определена функция гр(1, !г), явлтгюгцияся при каждолг фиксированно.и гг неггродолагсаелгылг решеггггем уравнения (3) с начальными значения,ми 1„, Хь, представляегп садок о гп и р ы пг о е лгьгоакесгггво пространства переменных 1, р', ..., р.'. Далее оказываеигсн, что функция гр(1, !г) есть непрерывная функция пары переменных 1, !г на мноогсестве Т.
Следует обратить внимание иа иетривиальиссгь и важиос|ь того факта, что множество Т является о т к р ы т ы и. До к аз а тел ь с т в о. Пусть !ь, !гв — произвольная точка чиои сства У: Докажем, что точка 1, !г, достаточно близкая к точке !', !г:", принадлежит множеству Т и что разность гр(1, !г) — гр(!ь, р,*) мала. Этим теорема будет доказана.
Сначала мы будем считать„что гь~1ь. Так как решение гр(1, !ь*) определено при 1=гь, то 1*<. пг,(!а*), и потому сушествует такое число г,, что 1 (г,<'т,((ь*), так что решение гр(1, !ья) определено и частности на всем отрезке 1ь ~ 1 -= гя. Когда число Й пробегает стРезок 1ь : ! ~ г,, точка (1, гР(1, )а"), (ь~) описывает в пРостРанстве 180 ,твоивмы существования 1гл. 4 Я некоторую кривую Я.
Пусть а и Ь вЂ” два положительных числа. Обозначим через П совокупность г.сех точек (1, х, )л) пространства Й, удовлетворяющих условиям: га (1. гм ! Х лр(г, )л") ! -= а, ) Гл — лл'л ~ «.-.= Гл. (4) Из того, что Я представляет собой замкнутое ограниченное множество, содержзшееся в открытом множестве Г, следует существование таких положительных чисел а и (л, что множество П также содержится в' 1'. В дальнейшем мы будем считать, что числа а и Гл удовлетворяют этому условию. Так как производные (2) непрерывны и потому ограничены по модулю некоторым числом К на множестве П, то, и силу нсравеиства (6) ф 21, для точек (л, х„ лл), (г, хл, р,) множества Й выполнено соотиоше!пе 'Гу (г, х, )л) — Г'(г, хн лл) / -. паК1ха — х, ~.
(5) Палее, из равномерной исирерывности (см. ч 32, И)) функции у(1, х, )а) лга мнолсестве Й следует существование такой монотонной положит сльиой функции ра(в) положительного переменного в, стремящейся к иул!о вмесзе с а, что для точек (г, х, Гл'"), (г, х, Гл) множества П ллынолнено соо!ношение 1У(т х )л) У(т х )лв), ( Рл(~ 1л )ла ~ ) (6) Пусть тсперь х=лр(1, )л), ) 1л- — лл') =-,.Гл — решение уравнения (3) с начальнь!ми зна'!сниямн (1ч, х„). В силу предложения Б) й 22 точка (г, (р(л, Гл), )л) т!ил!!хна нокинуть замкнутое множест!ю П ирн 1 — ~ «1л(1л). '1с-рез Га ллы обозначим то значение 1, при котором точка (г, гр(г, )л), )л) в;!ервые достигает границы множества П.
Очевидно, что 1,(Тя .-,г, Ладим оценку разности 1гр(л, Гл) — гр((, )ль)~ на о!резке г,=:1=-.1,. Для этого заик!нем уравнение (3) в интеграл!,иои форме (см. Ч 21, А)) для зиа!еннй параметра )л и лл-" и вы ие» второе интегральное соотношение из первого; мы полу шм; Оценим разнгсть, стоящую справа иод знаком интеграла. Мы имеем; !У(т М Гл) Гл) — У(~ гр(ч* Гл*) Глв)!~!У( гр(1 Й Гл)— — Г(т, лс(Ф, ллл), )л)1+1т-(л, ср(с, )лл), )л) — т'(т, (р(т, )ла), )л"') ~, Первое из слагаемых, стоящих в оравой части, оценивается в силу неравенства (б), Второе — в силу неравенства (6); об ьедиияя в ! и 5?31 непРСРывнАЯ зАвисимость От нАчАльных знАчений -1Я' оиенки, получаем: !Ч(1 р) — тр(1, 1А')1 $(л'К!тр("- 1А) — ЧФ 1А'Н+Р 61А — 1А*!)1с7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
