Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Равенство !!ф — у~ =0 имеет место тогда и только тогда, когда функции ф и у тождественно совпадают. Пользуясь понятием нормы, легко можно формулировать известное из курса анализа условие равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пусть 'Р» (О. 'Р1 И) . " Р> И), ... (8) — последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке г,===1:=г«. Последовательность (8) равномерно сходится к функции «>, определенной на том же отрезке г,:-.1~г„если 1пп !! ~р — ~~ !! =О. Для того, чтобы последовательность (8) равномерно сходилась, достаточно, чтобы имели место неравенства Ъ+~ — т~ !! ~а~ (9) 9е 'Рп ° * ° > >Р>ь непрерывных функций, определенных на некотором отрезке г,(1= ==г„который содержит внутри себя точку 1,, Каждая функция последовательности (9) определяется через предыдущую ври помощи равенства Р;„= Ар>» 1=0, 1, 2.
(10) Если график функции Р; проходит в множестве Г, то функция равенством (10) определяется, но для того, чтобы могла быть опре- делена следующая функция ~;+и нужно, чтобы и график функции >Ргн пРоходил в множестве Г. Этого, как мы покажем, Удаетсн до- стичь, выбрав отрезок г, ~Р==га достаточно коротким.
Далее, также за счет уменьшения длины отрезка г,(1 ~г„»южно достичь того, чтобы для последовательности (9) выполнялись неравенства !!р, —.р;МА!!;; — р- !! 1=1 2 " (11) где 0«А«, 1. Из неравенств (11) следуют неравенства ~<р>ьн — <Р;!! ~!!<Р1 — агро!! й > с=1, 2, ..., и, таким образом, последовательность (9) равномерно сходится (см. В)). где числа а, а„..., ап ... образуют сходящийся ряд. Прежде чем перейти к детальному проведению доказательства теоремы 1, изложим кратко суть метода последовательных приближений, применяемого для решения уравнения (7), Строится после- довательность теОРемы сушествования Далее уже легко устанавливается, что предел Т последовательности (9) удовлетворяет уравнению'(7).
Ту же конструкцию можно описать .несколько иным способом — ' — в форме метода сжатых отображений. Выберем некоторое семейство 2 функций, заданных на отрезке'г, '= 1 «г, (причем г, ( 1„( (г,), так, чтобы графики этих функций проходили в множестве Г. Допустим еше, что в отношении оператора А семейство ьа удовлетворяет' следуюшим двум условияхи 1) применяя оператор А к' любой функции семейства ь1; мы вновь получаем функцию семейства ь1; 2) сушествует такое число К 0(й(1, что для двух произвольных функций ф и )( семейства й выполнено неравенство М АФ вЂ” Ау'~~ - Ю вЂ” у 1 В этом смысле отображение А является сжатым (правиль.- нее было бы сказать «с>кимаюшим»).
Легко видеть, что если для Рис. 39. семейства Я выполнены форму- лированные условия, то, исходя из произвольной его функции ~,, мы по индуктивной формуле (1О) получим бесконечную последовательность(9), удовлетворяюшую условию (11), и, как было отмечено вьнне, равномерно сходяшуюся к решению у уравнения (7). Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изложенпгях соображений. Доказательство теоремы 1 ! Начальные зпаченпя 1„и х, искомого решения упавнепия (1) являются координатами точки (1„х,), лежащей в множестве Г, Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник П с центром в точке (1„х,) со сторонамн, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержашийся в множестве Г (рис.
39). Длину горизонтальной (параллельной оси 1) стороны прямоугольника - П обозначим через 2у, а длину вертикальной стороны — через 2а. Таким образом, точка (т, х) тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику П, когда выполнены неравенства: ~1 — Г,;'=-7, ~х — хя~ а. (!2) Так как прямоугольник П есть з а м к н у т о е множество, содержа- д~(г, к) гцееся в Г, то непрерывные на нем функции ~((, х) и ' ог- '157 $201 СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ рзничены, н потому сушествуют такие положительные числа М и К, что для 1 и х, удовлетворяюших условиям (12), выполнены не- равенства (13) Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более чузкийа прямоугольник П„ определяемый неравенствами !1 — 14/= .г, !х — х,! ~а, где (см.
рис. 39). Более точно число г определим далее. Обозначим через Я, семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке !1 †' 1 !:-= г, графики которых проходят в прямоугольнике П,. Таким образом, функция ср, определенная на отрезке ! 1 — 14! = г, тогда и только тогда принадлежит семейству 14„ когда для любого 1, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство !9(1) — хр ! «=-а. (15) (16) Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция ~14=Ау принадлежала семейству лр„необходимо и достаточно, чтобы при !1 — 14!~г было выполнено неравенство ! р4'(1) — х, ! ~а.
В силу (5) и (13) мы имеем: г (1) хр ! ~ ~~('с> ф (я)) р('р ~ ~ Мг ° Из этого видно, что при а г ~.-.— М (1 7) условие а) выполнено. Постараемся теперь выбрать число г таким образом, чтобы были 'выполнены следуюшие два условия: а) Если функция и принадлежит семейству 12„то функция ~14=Ачл (см. (5), (6)) 'также принадлежит семейству 2,. б) Существует такое число а, О< а«,' 1, что для любых двух л1луйкций ф и у семейства Я, имеет место нер;венство 3АФ вЂ” АХ!!~й!!Ф вЂ” Х!! СЛУЧАЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЙ условие а)).
Лалее, мы имеем (см. (15)): 'асср,— ср,Ц= шах ! р,— хь~(а. сс-с,! е В силу (16) получаем: й срс с срс 'и = 11 Асрс — Асрс-с 'й ча й Д ср; — срг, Ц, откуда 'й ус+с — срс й ( ай', 1 = О, 1, 2, ... Таким образом, в силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке ~р — т,~~г к некоторой непрерывной функции ср. Так как все функции последовательности (21) принадлежат семейству Я„то и функция ~ принадлежит ему (см.
(15)). Покажем, что функция ср удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что последовательность Асрм Асрп ..., Асрс, равномерно сходится к функции Аср,' действительно, мы имеем: ~ )!. Аср — А срс й =-= 7с ~~ ср — срс (~ . Переходя в соотношении (23) к пределу при 1 оо, получаем: Итак, существование решения х=ср(Е) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (3), доказано; лри этом установлено, что решение х = ср (1) определено на ннтервале ~ с — 1, ~ ( г, где г — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (!7) и (20).
Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть х=ф(1) и х= у(1) — два решения уравнения (1) с общими начальными значениями р,, хь и г,(т(г,— интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений ф и у; очевидно, что гс(рь(г,. Покажем, что если решения ф(Г) и у (г) совпадают в некоторой точке тс интервала г,(1(г„то они совпадают и на некотором интервале ( т — тс ((г„где г — достаточно малое положительное число, Положим х, =ф(1,) = у (тс); тогда величины 1„х, могут быть приняты за начальные значения обоих решений х = ф(1) и х=у(1).
В этом смысле точка (т„хс) ничем не отличается от точки (т„хь), и поэтому мы сохраним за точкой (Т„х,) обозначение (р„хь): это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (4), мы получаем для обеих функций ф(т) и у(Е) интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде: ф=Аф, у=АХ.
(24) 160 !Гл. а теоремы слцаствовлний Выберем теперь, как и прежде, в открытом множестве Г прямоугольник П с центром в точке (Ем ха), а затем прямоугольник П, таким образом, чтобы число г кроме неравенств (14), (17), (20) удовлетворяло еще тому условию, что при ~Š— Е,~ »г функции ф и )( определены и удовлетворяют неравенствам !ф(Е) х ~ аа 1Х(Е) х 1» Это возможно, так как функции ф(Е) и )((Е) непрерывны. Тогда функции ф(Е) и у(Е), рассматриваемые на отрезке1Š— Е,)»г, входят в семейство Я„ и, следовательно, в силу неравенства (!6) и соотношений (24) получаем; И вЂ” Х1=1 4ф — М~~ 1ф — у1 а это возможно только тогда, когда 1ф — у '1= О, т. е.
когда функции ф и т совпадают на отрезке ~Š— Еа~ ~г. Докажем теперь, что функции ф(Е) и у(Е) совпадаю~ на всем интервале г,(Е (г,. Допустим противоположное, именно, что существует точка Ея интервала г,<" Е(гя, для которой ф(Ев) е:у(Ев). Ясно, что Еч ~ ем Для определенности будем считать, что ЕЯ >Е,. Обозначим через И множество всех тех точек Е отрезка Е, » Еа.:, »Еч, для которых ф(Е)=у(Е), и докажем, что множество Еч' замкнутО.
В самом деле, пусть ти тм... — последовательность точек множества М, сходящаяся к некоторой точке т. Тогда ф(т,)=)((т,), и потому, в силу непрерывности функциИ ф и у, ф (т) = 13'и ф (тс) = 1ип ]С (тю) = Х (1) а-со Е-оэ т. е.
точна т также принадлежит множеству № Обозначим через Е, точную верхнюю грань множества № Так как Ф замкнуто, то Е, принадлежит этому множеству, т. е. ф(Е,)=у(Е,); следовательно, Е,< Еч. Но тогда, з силу ранее доказанного, функции ф(Е) н у(Е) должны совпадать иа ыекогором интервале (Š— Е,!(г, н точка Е, ие может быть точной верхней гранью множества № Таким образом, мы пришли к противоречию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
