Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Итак, теорема 1 доказана. Пример Для весьма простого уравнения найдем решение методом последовательных приближений. решение будем искать с начальными значениями Ее — — О, хе=1. случлгт ИОРмАльнои системы уРлвнгнии Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде: у(6) =1+ $ ср(~) <Й, о Будем строить теперь последовательность ~о т'1 °" Вп Мы имеем: 9о(1)= 1> Т1 (О = 1 + 1 ~1~ = 1 + г, о ~.<О =1-~- ! О + )~.=1+ ~+ —,', ~'. о с р <о =1~- ~ (~ Чт + —,', "! и =1+ в+ ' ( + ' г', о -(') = '+'+ 2! '+ з! '+ "+ — ! '" ! а 1 1 Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция у(1)=е'.
ф 21 Йоказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений Здесь будет доказана сформулированная в й 3 теорема 2 существования и единственности для нормальной системы уравнений х'=~'(1, х', х', ..., х"), 1=1, ..., л, (1) правые части ~'(1, х', х', ..., х") которой вместе с их частными д)!(г, ~', ..., х") производнымн ' ' "' ', 1, 1=1..., и, определены и дх! непрерьпшы на некотором открытом множестве Г пространства перемепнык 1, х~, ..., х". Полагая х=(х', ..., х"), (2) ~(1, х) =(~'(1, х), ~1(1, х), .", 1"(1, х)), мы перепишем систему (1) в векторной форме (ср. $1'1, А)): х=~(1, х), 6 По тряьов Л, С.
162 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [Гл. 4 )Аоказательство будет проводиться в векторной форме методом последовательных приближений и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в предыдущем параграфе. Кроме доказательства теоремы 2 здесь будет дано доказательство теоремы 3, также методом последовательных приближений, но несколько видоизмененным по сравнению с доказательством теоремы 2.
Вспомогательные предложения Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функциИ. Длина или модуль [х~ вектора (2), как известно, определяется формулой [х[ — — + 1г(х')'+ ... +(х")'. Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство [х+у~~~х~+~у). Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для произвольного числа векторов Хн ..., Хп именно: !х,+ ... +Х,~~~х,~+ ...
+~х,~. (4) ф(()=~ ч ('И' аадав компоненты ф'(г), ..., ф" (1) вектора лр(г) формулами г ~~'(с) = ~ ~'(т) <Й; при этом имеет место неравенство !~ т(т) (!~[[~ ~ р()1~ !. (б) Пусть гр(1)=(у'(1), ..., у" (т)) — непрерывная векторная функция действительного переменного 1, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного т. Если функция ~р(г) определена на интервале г,(1с гм то при г,< С„(гя на том же интервале можно определить векторную функцию слу'!АЙ нОРмАльнОЙ системы уРАВнений Ф тс! Для доказательства этого неравенства разобьем отрезок интегрирования на т равных частей, положив: Ь = — "; 1А — — 1я + /с Ь, А = 1,, ° ссг (число Л будет поло!кительным при 1) 1„и отрицательным при! г(1,). Тогда согласно определению интеграла от векторной функ.
пии и в силу (4), мы имеем: с сс! ис ~~ ф(т)йт~=~ 1)п! '~ ф(1 )Ь))~ 1)п! '!ьч )ф(с„)!.1Ь~— сл ссс 30 ссс - О:э =~ ~ ~ ф(т)~ гЬ ~ са Установим еще одно неравенство для аесгторной фусссгцсссс К(х)=М'(х'...,, х"), ..., "(-', ..., )) векспорссого перемессного Х, заданной на выпуклом множестве А прфстранства переменных х', ..., х". Предположим, что имеют место неравенства: ~у(х) — л (у) ~ (л'К~х — у1.
(6) Для доказательства неравенства (6) введем в рассмотрение осгтрезосг, соединяющий точки Х и у, именно положим: » (е) =у - !- а (х — у). Когда а пробегает значения О~а 1, точка»(е) пробегает отрезок, соединяющий точки х и у, и, ввиду выпуклости множества Л, все время остается в нем.
Мы получаем (применяя формулу Лагранжа)! д! (х) —,дс (у) = дс (» (1)) — дс (» (О)) = ~ с!в ! (» (а)) Вычисляя производную по формуле производной от сложной с!3 функиии, получаем: сто'( (а)) с!а!(»'(а), ..., »" (а)) ссв сс'а а=! а ! где К в положительное число. Оказываегся тогда, чго для двух любых точек х и у множества А выполнены неравенства. 164 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 1гл. 4 Таким образом, л в 1й" (х) — ал (у) ! ~,"~, К ! х' — у' ~ ~ ~~„' К! х — у ~:=.= пК ~ х — у ~. Ф=! Ф=! Возводя последнее неравенство в квадрат, суммируя его по 1, и извлекая корень, получаем: а ) у (х) — у (у) ) ~ л К1х — у ~ ~ л' К1х — у 1 Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному.
А) Пусть х= ~р(1) — некоторое решение дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество р(О=У(1 р(0) (7) и пусть 'р (гл) = хл (8) ! 4р (л) = ха+ )У (т 4р (т)) пт. Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него ~= 1„ получаем равенство (8), а дифференцируя его ио ~, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8).
Интегрируя соотношение (7) в пределах от 14 до 1 и принимая во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9). Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции 4р(г), график которои проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию гр'"(1), положив: 4р* (1)=ха+ ~~(с, т (т)) г7Й.
(1 0) Кратко„ в операторной форме то же соотношение запишем в виде: ф" = Л гр. (1 1) Уравнение (9) теперь ноже~ быть записано в виде: 4Р= А4Р. (12) В) Пусть 4р(1) — непрерывная векторная функция, заданная иа ог- Резке гл--1 (га. ОиРеделим иоулгУ );4Р)~ этой фУнкции, положиш ~~4Р11= шах ~~Р(1)~. гл т гл — начальное условие, которому это решение удовлетворяет.
Оказы- вается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению случАЙ ноРмАльноп системы уРАвнениЙ 165 $2!1 Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равно- мерной сходимости последовательности (13) непрерывных векторных функций, заданных на отрезке г, -- 8 «г,. Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции ор, заданной на том же отрезке г!«~ =.го, если Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, дос- таточно, чтобы были выполнены неравенства 1оРо„— оР! й «ан где числа а„а,, ан, образуют сходящийся ряд.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 2. Доказательство теоремы 2 Так как точка (1о, Хо)=(Ео, х,', х2, ..., х",) принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа д и а, что все точки (1, Х), удовлетворяющие условиям 11 — 1о!«У !Х-Хо! «а, (14) ~Г!л «!) "! ~ (, л,!=л,..., л.
ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа Я и К л!го ~Г<л. л)~~м. )'~'о,"~ к, ц=|,.... л, !лл! дхл на множестве П. Наряду с множеством П рассмотрим содерисан!ееся в нем множество П„определяемое неравенствами ~1 — ~о! =-г, (Х вЂ” Хо~ а, где (16) г«а лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек (1, х), удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.
40), то непрерывные функции 166 теОРемы сушествовлния 1гл. о (рис. 40). Обозначим через 2, семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке ! 8 — 1о ~ ~ г, графики которых проходят в П,. Таким образом, функция ор, определенная на отрезке 11 — ~о1=г-г, тогда и только тогда пРинадлежит семействУ ьс„ксгда Рис. 40.
для любого ~, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство 1 ор (Π— Хо 1 =- а. (17) Постараемся выбрать теперь число г таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия: а) Если функция ор принадлежит семейству Я„то функция гр*= = Аср (см. (10), (11)) также принадлежит семейству Я,. б) Существует такое число сс, Оо й<" 1, что для любых двух функций ор н у семейства 2, имеет место неравенство !! Аф — АХ!!» ~!1~> — К1. (18) 1'ассмотрим условие а). Лля того чтобы функция гр*= — Агр принадлежала семейству О„необходимо и достаточно, чгобы прп ~ г — 1о ~=-'г было выполнено неравенство: ~ор"'(1) — Хо! (а. В силу (10), (5) и (15) мы имеем: с ! рв(1) — с,'=1)Х(-.
р(т)И-~=($!У( р())Ит~--А1г со со Из этого видно, что прн а г~ Л1 (1д) условие а) выполнено. сл~чАЙ но~мальноп системы уРАВнениЙ $2«! Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем: !ф'(2) — Х*(1И=~З(У( 'Р()) — У( Х())) 1 !~ « ~ ~ (~(... «р (т)) — у (т, )( («)) ( «Х-. ~. (20) Оценим теперь последнее подыитегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15): ! у(т, «р(т)) — у(т, у(т)) ~ ='ляК ~ «р(т) — 1г(т) ~.
(21) Из (20) и (21) следует !! А«р — АХ ~1 =!1 «р — Хя 1~ л'Кг!! Ч' — И Таким образом, условие б) выполнено, если и «К ' а К (22) Так как функция «р„принадлежит семейсгву Я„то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (17)): ~) «р« — «р„(~ =- п«ах ~ «р«(2) — Хо! ~ «2. !«-«««~г В силу (!8) получаем: '1 «р;,, — «р; ~! = ~ Аср« — А«р;, ~1 ~ А )! «р, — «р«л (~, откуда И«+« — «Р«1 ~ «2«2 ° (25) Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции «р, принадлежащей семейству 2,. Покажем, что функция «р удовлетворяет уравнению (12), Для этого заметим, что последовательность А«рв А«р„. „, А«рр ... где А< 1.
Итак, если число г удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства «2, выполнены условия а) и б). Построим теперь последовательность векторных функций «р«(О=-хм «р«(«)~ ° ° «р«(«)» ...э (23) определенных на отрезке !г — Ся /==г, положив р,,=Ар,, 1=0, 1, ... (24) 168 твоРгмы су!цествОВАиия )гв 4 равномерно сходится к функции Лгр-„действительно, мы имеем (см. (18)): !! Лф — Лгр; ': ..: А' ) гр — гр; !! . Переходя в соотиоигсшп (24) к пределу при 1--со, получаем: <р= Л(!ь Итак, существование ретгнпя Х=гр(1) уравнения (3), удовлетворяющего ночильнолгу условию (8), доказано; при этолг установлено, что решение х = гр (г) определено на интервале 1г — Еь!(г„где г — иРопзвольное число, УдовлетвоРЯющее неРавенегпваьм (16), (19), (22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
