Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Иначе говоря, на открытом множестве (13) существуег и непрерывна смешанная про- изводная $241 диФФеРенциРУемость по нАЧАчьным знАчениям 191 Так как функции гр'(~, р,,), /=1,...,гг, в силу доказанного имеют непрерывные частные производные по 1г", на всем открытом множестве (13), а правые части системы (1) имеют непрерывные производные по переменным х', ..., х", р.', ..., р', то правые части соотношений (15) имеют непрерывные частные производные по р," на всем открытом множестве (13). Таким образом, и левые части соотношений (15) имеют непрерывные частные производные д ~дуг(г,гг,) др.ь гг дг .
(16) на открытом множестве (13). Итак, обе частные производные (14) и (16) непрерывны на открытом множестве (13), а потому в силу известной теоремы анализа они совпадают между собой на этом множестве. Так как точка (г*, )ьь) принадлежит открытому множеству (13), то доказательство теоремы 16 этим полностью завершено. Дифференцируемость по начальным значениям Мы будем рассматривать ту же самую систему дифференциальных уравнений хг=,7г(1, х', ..., х"), 1=1, ..., и, (17) что и в й 23(см.
й 23, формула (14)), правые части которой опредедгг лены и непрерывны вместе с их частными производными — - на некодху тором открытом множестве Г пространства 7с переменных 1, х',, „, х". 11усть — векторная запись системы (17). В отличие от й 23, мы будем считать переменным лишь начальное значение й неизвестной функции х, а начальное значение т переменного 1 зафиксируем, положив ч = Еь. Дифференцируемость решения по 2 в дальнейшем не используется, а для того, чтобы она имела место, система (17) должна удовлетворять дополнительным условиям (непрерывная дифференцируемость правых частей по 1). Т е о р е и а 17. Пусть р(г, ггь В)=гр(г а)=й (г В), ... Р (г В)) — непродолжаемое решение уравнения (18) с начальнылги значениями 1„$.
Оз теоремы 14 непосредственно следуепг, что функция гр(1, $) оггределена и непрерывна на некотором отгсрытОЛг МНОжЕСтВЕ Б' В ПРОСтРаНСтВЕ ПЕРЕМЕННЫХ 1, (г, ..., 4гг. 192 тгог имы существования [Гл. 4 кроме того„на эгполг множестве непрерывг<ьг и не зависят от порядка дифференцирования смегаанные частньге производные д'-'рг (й $) дг д:-г Йо к а з а тел ь с та о. Еонструкцпя, данная в предложении В) ГЗ 23, сводит доказательство к теореме 16. Так как правая час~ь уравнения (19) й 23 имеет непрерывные частные производные по всем переменным у', ..., у", Р, ..., 4", то, в силу теоремы 16, частные производные д" г(г, г„й) 1, 7'=1..., и, дЫ функций )г (см. й 23, В)) определены и непрерывны на всем открытом множестве Я' и на нем же непрерывны и не зависят от порядка дифференцирования смешанные частные производные д-'фг (е, с„ф) Лалее, так как решение гр(у, й)=-гр(г, гм й) определяется через решение тр(1, (4, й) по формуле (23) 9 23 пргг т=Гм то из найденных свойств функции фг (1, 1„, й) вытекают соответствующие свойства функций ~'((, й), указанные и формулировке теоремы 17.
'!'еоремы 16 и 17 мокнут быть обьедипены в одну: Теорема !8. Предположгглг, что правые гаспги системьг (1) на вселг оигкрыигом мноэссесигве 1' имеют непрерывньге производные ио паралгегпра.и р.'...,, р.'. Пусть гР(г, ь, )г) = (7г (г, й, и)...,, 7" (г, $, )г)) — непродолжаелгое региение уравнения (2) с начальны.чи значениями 14, й. 7огда фунгсция гр(К, $, )ь) определена на иекогггором оигкрытолг множестве 1' пространства перелгенных 1, й, гг и непрерывна на нем (см.
теорему 15). Оказывается, что частные производные ~рг(Д я )г) дзг(С я )г) дРУ ' дг" 1,7'=1, ..., и; юг=1, ..., (, определены и неггрерывны на всем оигкрытом множесгпве 1'. 7д~о,гсе пгого, слгеиганные частные производные д-'тг(й я, )г) д"тг(С, а, и) дс дс/ ' дг дг." Оказывается, что на всем лснозгсесгггве Я' существггют и нсгггиерывны частные производные дтг(г Ф). 6 я т41 дпФФеРенциРУемость по нАчАльным знАчениям ' 193 определены, непрерывны и не зависят от порядка дифференцирования на всем мнозкестве Г. Эта теорема доказывается так же, как теорема 17, — путем замены переменных (17), (18) $23 (при т=т,) и последующей ссылка на теорему 16. У равнения в вариациях Иногда бывает нужно получить некоторые сведения о производных решения ф(1, р) уравнения (2) по параметрам !А» при фиксированном значении р,=р,*. Оказывается, что для этого нет надобности искать решение ф (1, р,) уравнения (2) при переменном 1А и затем дифференцировать его по !»», а можно получить эти сведения из рассмотрения некоторой системы линейных дифференциальных уравнь ний.
Аналогично обстоит дело и с изучением производных решения ф (1, й) уравнения (18) по начальным значениям $~ при фиксированном Ц=хи. Б) Пусть ф(1, !ц)=ф(1, р), ..., гр" (1, !ц)) — непродолжаемое решение уравнения (2) с начальными значениями 1„х„и пусть т,«1«~та — интервал его определения при фиксированном значении !ц=)А*. Если частные производные — е правых частей системы ду' дн (1) непрерывны в области Г, то, в силу теоремы 16, частные произ- водные В силу теоремы !3, функции У'.(1) и д'(1) переменного 1 определены l и непрерывны па всем интервале т,«1«тм Система линейных уравнений и У'= ~ 1,'(1)у'+а,'(1), (!9) у=! определенная иа интервале т,(1< тм называется системой ур авн е н и и в в а р и а ц и я х (по параметрам) для системы (1) при р = 1А'.
Оказывается, что система функций у'=Ф'(1) " у"=Ф»!1) (б) 7 Погггригии Л, С, вычисленные при 1» = 1»и, определены н непрерывны как функции 1 на всем интервале т, «' 1< лт,. Положим: Я~(1 х 1»)= д ~' "' ~,'(1)=У,'(1. ф(1, )»"), 1А'), г,'гг т. и)= — ф-'-" —; г~гз=г!гг тг«и'т и'г 194 1гл. 4 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ является решением системы уравнений (19) при начальных условиях ~,(г,)=0.
(2! ) Для доказательства предложения Б) подставим в систему (1) ее решение х гр(1, )ь). Мы получим тождество дт (22) В силу теоремы 16 обе части этого тождества имеют производную по рь при )А=)ь~, определенную на всем интервале т,(1(т„ причем д др (Г, р) д дч'(Г, р) дня дг дг дн" Дифференнируя тождество (22) по р~ при н=)А~, мы, в силу сказанного, видим, что функнии (20) составляют решения системы (19), Для получения начального условия (21) достаточно продифференнировать по !А~ начальные условия т (го )А)=Х, Таким образом, предложение Б) доказано.
В) Пусть гр(~, ф)=((1(1, й)... ф" (1, й)) — пепродолжаемое решение уравнения (18) с начальными значениями 1„, й и т,(Г(тя— интервал его определения при фиксированном значении й= х„. В силу теоремы 17 частшге про.юволные 1~ Ф (г Хо)=Ф'(1) вычисленные при й=х„определены и непрерывны как функпни 1 на всем интервале т,(г(ш, Положим 7,"(1, х)= — "-;" — ', Щ)=7,(1, ф(~, х„)). Функпии 7((г) переменного г определены на всем н терьале иг,(1(ш,. 1 [.Встема линейных уравнений л У= ~ 7,'(г)у' (23) / -..=! оп! еделенная на интервале т, (1(иг„называется с и с т е м о и ур а в ненни в за ри аннах (по начальным значениям) для системы (17) прн начальных значениях ~ч, х„.
Оказывается, что снстс:.:а фупкнни 1' —" К(г) у =Ф,' (1) (2.1) 4 ен диФФеРент1НРуемость по нАчАльным зн'»чен11ям 195 являетсч решением системы уравнений (23) нри начальных условиях »~»1(1 ) 31 (25) я — т» Примеры 1. Пусть х»=У'(х1, ..., х")=Г'"(х), 1=1,,„, л, — автсномная система дифферс1пшальнь»х уравнений и х =г" (х) — ее векторная запись. Пусть, далее, а=(а', ..., а") — положение равновесия этой системы (см. % 15), так что ~'(а)=0 и система функций х'=а', ..., х"=а" составляет реп.'епие системы (25). Решение ура1шения (27) с начальными значениями О, 9 обозначим через р(1 $)=(Ч'(1 й) "" 4" (1 9)).
Вы пшлпм пропзводпые — »-у (1, а)=С»'.(У) д д»/ (2Я) от функций»Р~ (», й), вьшпслеш1ые при я~ = а, пользуясь предложением В). Функции У' (») = — = а,'. оЯа> дх/ 7 являк11ся в этом случае копстапггмп. Таким образом, система уравнений и вариациях (23) в данном случае есть линейная однородная си»1ема с постояцпыгш коэффпп11сптамп у' = ~» а!у~, / ! (29) и произ»;одные (28), являюшиеся решениями системы (29), легко могут быт1 пгй ець1 и то время как решение 1р(1, Ц) прц переменном $ найти, вообпье говоря, трудно, 7» где 31.=0 при 1-,еу, а 31=1. l » Тот факт, что система функций (24) составляет решение линейной системы (23), доказывается тс шо так же, как в предложении Б),— путем подстановки в систему (17) решения х=1р(1, й) и последуюп.его дифференцирования полученного тождества по ~.
Начальные условия (25) получаются вз начальных условий 'т» (~'я» $) = » диффе,'енцировапием их по К 19В творимы сицвстзования Система уравнений в вариациях (29) играет важную роль для научения поведения решений уравнения (27) вблизи положения равновесия а, как это мы увидим в следующей главе. Там, однако, система (29) появляется не как система уравнений в вариациях, а как линеаризация системы (26) вблизи положения равновесия а. Линеарпвация системы (26) осуществляется следующим образом: вместо неизвестных функций х', ..., х" вводятся новые неизвестпые функция В ах', ..., ох" но формулам х' = а' + йх', 1 = 1, ..., л.
(80) Производя в системе (26) замену переменных (30) и разлагая правые части в ряды Тейлора по новым неизвестным функциям йх', ..., 6х", мы получим; О л а; ~г, + ~ ду'(а) т+ !=! /=! где не выписаны члены второго порядка малости относительно величины йх'. Линеаризуя систему (31), т. е. сохраняя в ней лишь линейные члены, мы получим систему уравнений, совпадающую с системой (29). ф 26, Первые интегралы Здесь будет дано понятие о первых интегралах и решена краевая вадача для линейных уравнений в частных производных. Первые интегралы Пусть х'=,Р(х', ..., х'), — пормалыгая автономная сисаема уразиепий, правые части которой вместе с нх частными производными определены и непрерывны на некотором откргятом множестве Ь пространства переменных х',..., х", и пусть х =У(х) (2) — векторная запись этой системы. А) Функция и (х', ..., х") = и (х), определешгая и непрерывная вместе со своими частными производными на некотором открытом ыиожес1пе О, содержащемся в Ь, называется переы.п плтсгрило.и системы (1), если при подстановке в ПеРВЫе ин?ЕГРАлы Ь ЯЬ1 нее произвольного решения х=гр(1) уравнения (2), траектория которого целиком расположена в множестве Ц мы получаем постоянную относительно 1 величину, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
