Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Мы будем считать, и положительной и уловлет- где 1ч — ток насыщения триода (рнс. 55). Обычно Ц~1 предполагают также, что максимум функции ~'(Ц,) достигается в точке Ц,= О. Описанный в А) под названием триода трехполюсник в действительности включает в себя, кроме электронной лампы, егце анодную батарею, батарею сеточного смещения и батарею накаливания катода. Здесь схематически будет описано устройство простейшего лампового генератора — прибора, являющегося источником периодических (незатухающих) электрических колебаний.
Будет дана качественная математическая теория работы генератора. Уравнение, описывающее работу лампового генераа тора, нелинейно. Его предельный цикл н соответствует периодическим колебаниям, возбуждаемым генератором. Адэкватность математического понятия предельного цикла и физического понятия незатухающего колебания, возбуждаемого ламповым генератором, была впервые установлена выдающим-. ся советским ученым А.
А. Андроповым. Ло исследований Андронова работу лампового генератора пытались объяснить при помощи линейных дифференциальных уравнений, что не могло дать правильной математической картины работы генератора. А) Триод (один из видов электронной лампы) представляет собой трехполюсник абаз. Условное изображение триода показано на рис. б4.
Здесь а — анод, Й вЂ” катод, з — сетка. Между полюсами а и А подается разность напряжений У, (сеточное напряжение), однако ток между почюсамн г и А отсутствует; от полюса а к полюсу /г через лампу течет ток У, (анодный ток), Закон, управляющий работой триода,. записывается формулой ллмгговын гвин лтор 245 Б) Ламповый генератор с колебательным контуром в аподной цепи имеет следующее устройство (рис. 56). Он имеет четыре узла а, Ь, а, Ь и состоит из триода аЬа (см. А)) с характеристикой ~(У,), конденсатора аЬ с емкостью С„сопротивления аЬ величины /с, индуктивности ЬЬ величины Ь и еше одной индуктивности аЬ, величина которой не имеет значения. Индуктивности ЬЬ и Ьа связао ны отрицательной взаимоиндукцией — М (М ~ О), которая Я осуществляет так называемую 41 а -ру обратную связь в ламповом ге- н~ нераторе.
Если обозначить через 1 силу тока, идущего через сопротивление Ьа, или, что то же самое, через индуктивность АЬ: у=)ьа=~ьь Рис, 56. то оказывается, что величина 1, как функция времени 1, удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: + +С С (2) Выведем уравнение (2). В силу первого закона Кирхгофа мы имеем: )+ ~ьа — ~аз (3) где 1ь, — ток, идугций через конденсатор Ьа. Кроме того, в силу свойств триода имеем; 1,ь=О (4) Применяя второй закон Кирхгофа к колебательному контуру ЬЬаУг, получаем (см. (4)): И„,+й1„„+ — ~ l,„а=о. 1 г Дифференцируя это соотношение, получаем: ~'кь+Фь.+ С1ьь= О (5) Таким образом, из соотношений (1), (3), (5), (6) следует (2).
В силу взаимоиндукцни между индуктивностями ЬЬ и Ьа получаем (см. (4), а также $13, Б)): Ц,= М!ьь (6) 246 устойчивость .г=- У(0), г'= 0. (7) Это положение равновесия гспиптотпчески устойчиво, если К >37'(0), и вполне неустойчиво (сн. к 26, Е)), если Я С-. -'," ~ (0).
(9) Бесконечно удалешюя точка плоскости переменных .7, У во всех случаях вполне неустойчива. Это значит, что существует настолько большой круг К, в плоскости Х ', что всякая траектория уравнения (2), начиная с некоторого момента яремепл, приходит в этот круг и остается в нем. При выполнении перапепства (9) положение равновесия (7) также вполне неустойчиво. '1'аким образом, в силу теоремы 21 (см.
9 28) а-предельное множество любой траектории, отличной от положения равновесия (7), представляет собой замкнутую траекторию. Итак, в случае выполнения неравенства (9), ламповый генератор является источником периодических незатухающих электрических колебаний. 3 а м е ч а и и е. При надлежащем выборе характеристики у уравнение (2) имеет единственный предельный цикл, а все остальные траектории уравнения (2), отличные от положения равновесия (7), наматываются на него.
Одна из характеристик, обладавших этим свойством, будет указана в примере. Для доказательства предложения В) введем вместо неизвестной функции 1 новую неизвестную функцию х, положив: .7= х+ 1'(О) (10) с тем, чтобы точке (7) соответствовало начало координат плоскости х, х. Сделав подстановку (10), получаем из уравнения (2) уравнение У+ Т У+, С вЂ”,— ~ [У(ЛЫ) — Х(ОН. 1 1 (11) Функцию переменного х, стоящую в правой части этого уравнения, обозначим через х (х).
Непосредственно видно, что функция является ограниченной, монотонно возрастающей и обращается в нуль лишь при нулевом значении аргумента (рис. 57). Полагая сверх того, Я, 1 Е * ес — =23, =,=ма, В) Уравнение (2) в фазовой плоскости переменных У, .) и:.и:ет единственное положение равновесия с координатами: 247 лАмповый ГвнеРАТОР мы запгигем уравнение (11) в виде: х-',— 2ох+ оРх =- 7(х). С х=у, у = — — гоах — 2оу —,'- А (у).
(1 2) Для отыскания положений равновесия систеяы (12) приравниваем ее правые част и нулю: у=О, — агах — 2оу+ д: (у) = О, Полученная система имеет единственное решение х=о, у=о. Таким образом, начало ко- Рис. 57 ординат является единственным положением равновесия системы (12), а из втого следует, что единственным положением равновесия уравнения (2) является точка (7).
Выясним теперь условия устойчивости положения равновесия (О, 0) системы (12), для чего линеаризуем эту систему в точке (О, 0). Мы получаем систему: х=у, у = — оРх — 28у + 8' (0) у, (1З) Легкие вычисления дают характеристический многочлен Л'+(28 — д (О))~+ ' линейной системы (13). В новых обозначениях условия (8) и (9) соответственно принимают вид: Я >л'(0), 28(д'(0). Таким образом, при выполнении условия (8) положение равновесия (О, 0) асимптотически устойчиво (см.
теорему 19 и ф 9, Б)), а при выполнении условия (9) оно вполне неустойчиво (см. 9 26, Е)). Для выяснения поведения траекторий системы (12) в далеких частях фазовои плоскости х, у рассмотрим линейную систему, х=у, )7 = — оРх — 23у, (И) полученную ив системы (12) отбрасыванием ограниченного ве всей плоскости члена а(у). Легкие вычисления дают характеристический Вводя новсе переменное у = х, мы из итого уравнения получаем нормальную систему: УСТОЙЧИВОСТЬ' [гл.
ь мпогочлен системы (14): ).ь+ 2М. + оР; (15) так как числа 26 и оР положительны, то его корни имеют отрицательные действительные части. Таким образом, в силу предложения Д) $ 26 для линейной системы (14) существует функция Ляпунова Ж'(х, у), удовлетворяющая условию: Ю'[ы) (х, у) == — р%'(х, у). (16) Вычислим теперь производную Ф„„(х, у) функции Ф'(х, у) в силу системы (12). Мы имеем: 6%'(х, у) [~[ )(х У)=[~[ )( У)+ — 6 — '8(У) Так как функция 8(у) ограничена, то имеет место неравенство ( д,,' к(у> =1~'~'<~, И (18) (см.
формулу (14) 9 26), где Т вЂ” некоторая положительная константа. Полагая теперь с= — [, К' мы из (16), (17) и (18) получаем неравенство Ф'„ь (х, у)» — 2яФ(х, у) при [т'(х, у))с~. уравнение (19) [т'(х, у) =с' (20) определяет в плоскости х, у эллипс, Из неравенства (19) непосредственно следует, что В точке (х, у), принадлежащей эллипсу (20) функция В'(х, у) убывает вдоль траектории системы (!2), проходяи[ей через точку (х, у). Таким образом, все траектории системы (12), пересекая эллипс (20), входят внутрь этого эллипса.
Если х=~(т), у=ф(г) (21) мы для функции тв(г) получаем неравенство тй (1)» — 2сств (1), (22) верное при условии тс (1) =" с'. — рещение системы (12), начинаюгцееся в точке (.', Т[) вне эллипса (20), то, полагая И)= [р'И([) Ф([)) ЛЛМПОВЫИ ГЕНЕРЛтОР Интегрируя неравенство (22), получаем: Ю'(т'(~) О(У)) ( Ф'(~ т~) е Пример А. А. Андронов, который впервые составил для лампового гене- ратора нелинейное уравнение (2), рассмотрел случай, когда характе- ристика г триода имеет особо простой вид, а именно она равна нулю при отрицательных значениях аргумента и равна положитель- ной константе Ь при положительных значениях аргумента.
Считая, Ь что у(0)= — и производя замену переменных (10), мы придем к си- стеме (12), в которой функция д(У) определяется условием: ( — в'~а при У<' О, в'-а при у) О, Ь гле а= —, Система (12) с выбранной таким образом разрывной функцией д (у) записывается при У ) О, т.
е. в верхне. полупло- скости, в виде: .с =у, У = — м~х — 23У+ оРа, (24) а при у(0, т. е, в нижней полуплоскости, в виде: с х =у~ у = — мах — ау — м'-а. (25) Мы будем считать, что корни многочлена (15) комплексные. Таким образом, положение равновесия (О, 0) системы (14) представляет собой устойчивый фокус (см. $16, В)); системы же (24) и (25) отличаются от системы (14) только сдвигом: их положения равновесия помещены не в начале координат, как у системы (14), а в точке(и,0) Из этого следует, что траектория (21) обязательно входит в эллипс (20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
