Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пусть р -.— точка интер- ф вала (а, р,). Если точка р достаточно близка к точке р„то, в Ф с с силу теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значений (теорема 14 н предложение Д) $23), точка, вышедшая нз р, пройдет достаточно близко к началу координат н потому пересечет ох- и, резок 1с, е~. При дальнейшем движении она обязательно пересечет й дугу Ос. В самом деле, если движущаяся точка пересекает линию (17), то она обязательно пересекает перед ,этим дугу Ос. Если Рис. 63.
же движущая точка не пересекает лнннн (17), то она перемещается все время налево, а расстояние л от этой точки до лннии (11), нзмеряемоу по вертикали, растет; таким образом, н в этом случае траектория пересекает дугу Ос. ца8 УСТОЙЧИВОСТЬ [1л. 5 Таким образом, рассматриваемая траектория входит в треугольник 10, с, И~. После этого траектория уже должна будет пересечь интер- вал (с, д,) в некоторой точке д. Если, наоборот, пустить из точки ~у' интервала (с, д„) траекторию в направлении убывания 1, то при достаточной близости точек и и о„ эта траектория, пройдя вблизи начала координат, пересечет интервал (а, р,) д с в некоторой точке р' (рис. 64).
Сопоа ставляя эти два обстоятельства, легко прийти к выводу, что при р р, имеем д — д,. Это дает полное качед л ственное представление о поведении траекторий вблизи седла. Таким образом, теорема 22 доказана. Докажем теперь свойство (14) функции 0(х, а). Рис. 64. В) Пусть 0(х, л) — непрерывная функция, определенная вблизи значений х = а = О и обладающая непрерывной производной — 0(х, х). Если д дг 0(х, 0): — О, то 0 (х, г) = лН(х, г), где Н(х, а) — непрерывная функции Для доказательства предложения В) определим функцию Н(х, а), положив: Н(х, г)= Н(х, а)= — 0(х, л) д при зэк О, при а=О (18) 0(х, «)=О((, ) — 0(х, О)=г — 0(х, Ов), д где 0~-9~1, Так как функция — 0(х, а) непреры на, то прн д х хм г — О(а~О) имеем ' = — 0(х,йа) —,— 0(х„О), Таким образом, предложение В) доказано.
и покажем, что определенная таким образом функция непрерывна. При г ,—ŠΠфункция, определенная соотношениями (18), очевидно, непрерывна. Докажем, что она непрерывна в точке (хь 0). Мы имеем: Фю! положвния влвноввсня автономной системы 2б! Поведение траекторий вблизи узла и фокуса Изучение узла и фокуса значительно проще, чем изученне седла. При атом достаточно рассмотреть лишь случай устойчивости, так как неустойчивые узлы и фокусы получаются из устойчивых переменой направления течения времени. Основным приемом прн исследовании узла и, фокуса является введение полярных координат. Т е о р е м а 23. Пустя ь О = (О, О) — устойчивый узел системы (1) с собственными зкачениями Х и Р, причем Р< 1<'О. В каира- влении собственного вектора с собственным значением )~ проведем через О прямую Р, а в направлении собственного вектора с соб- ственным значением Р— прямую Се.
Оказывается, ико каждая траектория, начинающаяся достаточно близко к точке О, асиМп- тотически приближается к О и имеет в точке О касательную. При етом только две траектории касаются прямой ф, подходя к точке О с противоположных сторон, остальные же все каса- ются прямой Р.
В случае неустойчивого узла (0(1< р) пове- дение траекторий при 1 — ос> аналогично. )1оказательство будет проведено в предположены. трех- кратной дифференцируемости правых частей системы (1). В силу предложения Б) система (1) может быть записана в виде (б); обо- значая переменные Е н я вновь через х и у, получаем систему ;с=у(х, у)=Хх+г(х, у), (1О) 9 =К(х, У) =РУ+з(х. У). При атом функции г(х, у) и в(х, у) трижды непрерывно дифферен- цируемы н в точке О обращаются в нуль вместе со своимн первыми производными по х и у.
Введем теперь полярные координаты, т. е. положим: х =р сов р, у = р з1п р. (20) Дифференцируя соотношения (20) и подставляя их в систему (19), получаем; р соз ф — рф з1п ф = Ар соз ф+ г (р соз у, р в1п р), р в1п р+ рф соз в = 1ьр з1п р+ з (р сов р, р в1п р). разрешая полученные соотношения относительно р и ф, получаем; Е Р=р(!~ сов'т+Р в1п' р)+Р(р, ф), (21) рф = (р, — Х) р в1п ср соз р+ О (р, ср), где функции Р (р, ~р) = соз ср. г(р сов ф, р в1п ~р) + в1п <р з (р сов <р, р з1п <р), 0(р, <р) — в1п <р г (р соз ~р, р в!и ~р) + соз у е (р соз ~р, р з1п в) ь/ь и иьвтркгав л. с.
УСТОЙЧИВОСТЬ [Гл. Ь периодичны по у с периодом 2п, трижды непрерывно дифференцируемы по р и р и при р=о обращаются в нуль вместе со своими первыми частными производными по р: ,(о, р)=а(о, р) д"(д ')=да( ') о. (22) др др В силу приводимого ниже предложения Г) функция а(р, ср) может быть записана в видтв а(р, р)=рн(р, р), где Н(р, у) — дважды непрерывно дифференцируемая' по р и функция, обращающаяся в нуль при р=о (и любом у, см. (31) и (22)): н(о, р)=о, (23) так что Линеарвзуя систему (25) в точке р=о, у= —, получаем (см.
Ю2) «е и (24)): < М =р»4. Ьгр =(в — 'Л) ° ( — 1)» асср+ е»др, Где р» (равное Л при д четном и р при л печ«~ком) есть Отрица- дгр(0, р) дт Деля второе из соотношений (21) на р, мы получаем Систему ~ ~ ~~ е ~ ° | ° ~ ) ! р=р(Л созе <р+р, з1пе р)+Р(р, р), 'р = (р — Л) з1п ср соз <р+ О(р, р). (25) Систему (25) будем рассматривать на фазовой плоскости перемен- ных р и у, откладывая р по оси абсцисс, а р — по оси ординат. Системы (19) и (25) отнюдь не зквивалентны друг другу, так как преобразование (20) плоскости (х, у) в плоскость (р, р) не взаимно однозначно; тем не менее из поведения траекторий системы (25) можно делать выводы о поведении траекторий системы (19). Пове- дение траекторий системы (25) мы будем рассматривать только в полосе (р< ( е. Найдем прежде всего положения равновесия системы (25). Из первого уравнения (25) видно, что при достаточно малом р ~ 0 величина р отлична от нуля (см.
(22)), и потому в полосе ~р~«~е все псложения равновесия лежат на оси р =О. После этого из второго уравнения (25) находам все положения равновесия (см. (23)) р=о,,=' —,; ~=о, % а»1 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ 263 тельное число. Таким образом, точка р=О, у= — есть устойчивый Ьс узел системы (25) при четном й и седло при нечетном А (рис.
65). Неустойчивые усы седла при этом направлены по оси у, а устойчивые — по кривым, приближающимся, к седлу сверху и снизу -(ом. ,теорему 22). Покажем теперь, что при достаточно малом положительном а каждое решение системы (25), начинающееся в полосе ~р~<' в, либо является устойчивым усом одного из седел системы (25), либо, не выходя из полосы )р) (а, асимптотически приближается к одному из узлов системы (25). / Рис, 65. вв Каждому положению равновесия р=О, ~р= — поставим в соответствие его окрестность Ц„определяемую неравенствами ~ р ~(Ь, «в ~ у — 2 ~(В, где 3 — положительное число.
Если Ф четно, то рассматриваемое положение равновесия является устойчивым узлом, и в силу его асимптотической устойчивости существует настолько малое положительное число 8, что каждое решение, начинающееся в окрестности У», асимптотически приближается к узлу. Если А нечетно, то соответствующее положение равновесия есть седло, и существует настолько малое положительное число 3, что отличное от положения равновесия решение, и;чинаюшееся в У», либо описывает устойчивый ус седла, либо покидает окрестность У» (см. теорему 22), Так как правые части спстемы (25) периодичны по у, то можно выбрать положительное а, общее для всех окрестностей У». Теперь можно выбрать настолько малое положительнсе число а - 5, что в полосе ~р)(а правая часть первого из уравнений (25) имеет знак, противоположный знаку р, так что на каждом решении, начинающемся в этой полосе, величина ~ р ! убывает.
Далее, при фиксированном 5 можно выбрать настолько малое положительное число а, что в ч. 264 1гл. а устойчивость прямоугольнике 2+ ~г 2 прпчем 1ь ,-~: О, ч ~ О. Оказывается, что если р <' О, то при 8 сс все траектории, проходящие вблизи точки О, наматываются на начало координат О как спирали; если же 1ь >О, то при 1 — — сс все траектории, проходящие вблизи точки О, наматываются на начало координат О, как спирали. Локазательство. Лля доказательства воспользуемся каноническим видом (6), переименовав в нем переменные $ и т1 в переменные х и у. Таким образом, нам следует изучить систему уравнений х=~(х, у)=р,х — чу+ г(х, у), У=й(х у)= +1ьу+з( у) (26) правая часть второго из уравнений (25) сохраняет знак и по модулю превосходит некоторое положительное число а, так что решение, начинающееся в этом прямоугольнике, покидает его через время, не превосходящее числа —, и входит в ту из окрестностей Уь или Уь+н которая соответствует устойчивому узлу.
В силу периодичности системы (25) по о число ч можно считать общим для всех прямоугольников рассматриваемого вида. Мы видим теперь, что при выбранном я каждое решение, начинающееся в полосе 1р~ ( а, либо пробегает устойчивый ус седла, либо асимптотически приближается к устойчивому узлу. Каждому решению системы (25), начинающемуся в полосе ~р~< а, соответствует решение системы (19), начинающееся на расстоянии, меньшем чем а, от устойчивого узла О этой системы. Для того чтобы получить все такие решения системы (19), достаточно рассматривать лишь решения системы (25), начинающиеся при 0(рч" а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
