Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Оказывается, что решение в=О уравнения (13) асимптотически устойчиво; более того, для решения л=Х(1, г1) с начальными значениями 1и гп ~г, ~(с,(с имеет место оценка ! г (е, я 1 ! к, т ! «е ! е ' !е-~е>е е,ев ге. (! 5) где г, а — положительные числа, пе зависящие от ви Предложение В) доказывается совершенно так же, как теорема Ляпунова (см, й 26). Йроведем это доказательство без излишней детализации.
Пусть И'(г) — функция Ляпунова для линейной системы (16) с постоянными коэффициентами (см. й 26,,Г()), так что выполнено ньравенство е' (а) .Х д-~ — Ь!а ~:- — 2р И'(г) (р) ОЛ Ф, 1 Из этого неравенства в силу опенки (14) получаем при В (х) ~ся устойчивость т)еРиодических Решвнии неравенство Ф<1а) (л) =~' —,.— Ь!г~+ ~~ —,, р'(1, л)::= — 2аФ'(л), где а<' р и с,— некоторые положительные числа. Положим: твЯ=В'(7((1, х,)), где В'(а,)(ся. Для функции яв(г), а~а, выполнено неравенство тв(1) ~ — 2втв(т), (17) если только для нее имеет место соотношение а>(1) ~ с,. Из (17) следует, что пока имеет место неравенство тв(1)~с„функция тв(Ф) убывает, точнее не возрастает, а так как в начальный момент 1=1, выполнено неравенство тв(1)(св то точка 7((1, г,) не может покинуть замкнутого множества г', определяемого неравенством Ф'(х) ~ с„ и потому решение 7((1, г,) определено для всех значений г = 1, (ср. $ 22, Б), В)) и для всех этих значений имеет место неравенство (17).
Считая теперь, что г, ~ О, мы можем прОизвести следующие выкладки, исходя нз неравенства (17): а~ (8) — ~ — 2а (т) или, интегрируя, получаем: 1п ти(1) — 1п тв(га) ~ — 2в(М вЂ” '~а), а из этого следует: тв (1) -= тв (1а) а или, что то же, ау (Х (1 х )) с В/(, ) а ад и — ко) Из этой оценки непосредственно вытекает оценка (15). Таким образом, предложение В) доказано. Доказательство теоремы 2о В силу теоремы 12 существует преобразование у= т(г)л (18) где матрица Т(1) действительна и имеет период 2т, при которо® уравнение (7) переходит в уравнение Ф=Вл 274 [Гл.
$ встоичивость с постоянной действительной матрицей В. Решением уравнения я=Вы является матрица е (см. $19, В)), н потому матрица е гв 21в является основной для этого уравнения, а значит, и для уравнения (7). Такнм образом, в силу предположений теоремы 2б все собственные значения матрицы е по модулю меньше единицы. Но согласно теояв яы реме 29 собственные значения матрицы е имеют вид е, гдв Х пробегает все собственные значения матрицы В. Таким образом, )ея' )< 1, и потому все собственные значения матрицы В имеют отрицательные действительные части.
Применяя преобразование переменных (!8) к уравнению (6), мы приводим его к виду (13), и для его решения я=у(1, я,) получаем оценку (1б). Ив втой оценки в силу невырождепности матрицы Т(1) получается оценка (12). Таким образом, теорема 2б доказана. Доказательство теоремы 26 Исходя ив предположения, что уравнение (7) имеет характеристическое число единица кратности один, а все остальные его характеристические числа по модулю меньше единицы, покажем, что существует такое преобразование: у= Т(1)а (19) с действительной матрицей ТЯ периода 2ч, переводящее уравнение (7) в уравнение г=Вя (20) с постоянной матрицей В, которая имеет вид: (21) где Вч — квадратная матрица порядка л — 1, все собственные значения которой имеют отрицательные действительные части.
Пусть С вЂ” основная матрица некоторого решения матричного уравнения (см. (7)) г =А(1) У. (22) Так как матрица С имеет собственное значение единицу кратности один, то в некотором базисе она имеет вид: ('~') (23) где Св — действительная квадратная матрипа порядка и — 1, все собственные значения которой по модулю меньше единицы (см. ф 34, Ж), 3)). а ай УСТОЙЧИВОСТЬ' ПЕРИОКИЧЕС%ИХ РЕШЕНИЙ 276 Так как матрица С н матрнца (23) получаются друг мв друга трансформацией, то матрица (23) является основной для некоторого решения уравнения (22); мы будем считать, что С совпадает с матрицей (23).
В силу предложения Г) $ 35 существует действительнав матрица В*, удовлетворяющая условию: 2~3~ С Ф причем в силу теоремы 29 все. Собственные значения матрицы Вв имеют отрицательные действительные части. Очевидно, что матрица В (см. (21)) удовлетворяет условна: е =С~ (см. (23)). Таким образом (ср. доказательство теоремы 12), существует преобразование (19), переводящее уравнение (7) в уравнеине (20).
Выясннм теперь, каким условиям должна удовлетворять матрица Т(Ф), для того чтобы преобразование (19) переводнло уравнение (7) в уравнение (20). Лнфференцвруя соотношение (19), получаем: у= Т(!) г+ Т(1) г = Т(!)г+ Т(!) Ва. Заменяя в этом соотношеннн г по формуле з= 7' '(!)у, получаееп у=(т®+ Т(1)В) 7-'(!)у.
Так как это урввнеиве совпадает с уравнением (7), то мы имеем: (т(!)+ Т(!) В) Т-'®= А(1) и, умножая это соотношение справа на матрицу Т(1), получаем: Т(!)+ Т(!) В= А (1) Т(!). (24) Это условие, налагаемое па матрицу Т(!), является необходимым и достаточным для того, чтобы преобразование (19) переводило уравнение (7) в уравнение (20). Расщепим соотношение (24) на два, представив матрицу Т(1) в виде: Т(1) =(Т*(1), С(!)), Т* (!)+ Т* (1) В* = А (!) ТЯ (!), а (1) = А (!) а (!).
(25) (20) Из последнего соотношения вндно, что Ф(1) есть периодвческое решенне периода 2т уравнения (7) н потому для него выполнено где матрица Т*(г) имеет л строк и и — 1 столбцов, а матрица а(!) представляет собой последний столбец матрицы Т(1) и потому является отличным от нуля вектором..Мы имеем (см.
(21)): 278 устоичивость условие (ср. (1О))т С6а) =Ц( +2) =Са~((д. Таким образом, вектор г(га) есть собственный вектор матрицы С' с собственным значением единица. Так как матрица имеет единицу собственным значением кратности один, и уже известен один вектор (р(г,)-е О с этим собственным значением у матрицы С' (см. (!1)), то мы имеем: х (га) = ТФ Ю 4 С(()=тфй и потому Т(г) =(Т" (1), Ф(г)). (27) Исходя из полученных соотношений (25), (27), преобразуем' неизвестную функцию х уравнения (1) в автономном случае (см.' (3)) в новые неизвестные функции х*„з, гдето*=(а*, ..., а" ') есть вектор размерности л — 1, который в дальнейшем мы будем рассматривать как матрицу с одним столбцом, а а — новое скалярное переменное. Для этого положим: (28) Это преобразование периодичпо по а с периодом 2т.
Каждой паре л~, а при достаточно малом (г*! соотношение (28) ставит а соответствие точку х, близкую к точке <р(а) периодической траектории К, определяемой решением х=~р(1). Вблизи каждой пары а~=О, а=за отображение (28) взаимно однозначно, так как функциональный определитель этого отображения в точке гЯ= О, а =аа равен детерминанту матрицы Т(аа) (см. (27)) и потому отличен от нуля. Координату з пары (л*, а) будем счи.гать циклической координатой периода 2т, т.
е. будем отождествлять пары (г*, а) и (х*, а + 2т). Так как пары (О, аа) и (О, г, + х) преобразованием (28) переводятся в одну и ту же точку ср(ь;) траектории К„то некоторые окрестности пар (О, з„) и (О, з„+ т) отобраигаются взаимно однозначно на одну и ту же окрестность точки ер(з,) линии К. Таким образом, отображение (28) дву слой но накладывает множество всех пар (л'я, а) (при достаточно (ибо обе векторные функции г(1), ф (г) являются решениями уравнения (7)). Из этого видно, что если в матрице Т(г) заменить ее последний столбец Ф(г) вектором ф (г), то вновь полученная матрица (Тв(Ф), ф(1)) будет удовлетворять условиям (25) и (26), Поэтому мы будем считать, что азц УСТОйчивость.
пеРиодическнх Решении 277 малых 1г~1) на некоторую окрестность линии К. При этом замкнутая кривая, состоящая из всех пар (О, я), О=-я-с-2т, дважды накладывается на линию К. Заменим теперь в уравнении (1) (см. (3)) неизвестный вектор х по формуле (28), Подстановка в левую часть дает: х= Т~'(я) гвя+ Та (я) г*+ юр'(я) я. Подстановка в правую часть даег. У(х)=.ХОР(Я))+ А(Я) Т'(Я) г*+й(Я, г'), (3О) где остаточный член й(я, ге) периодичен по я с периодом 2т и имеет второй порядок малости относительно вектора г".
Приравнивая правые части соотношений (29) и (3(1),. получаем: Т* (я) га + ар' (я) я+ Т*'(я) гаь =,Т(ар (я)) + А (я) Т' (я) г~+ й (я, га). Заменяя матрипу А (я) Т' (я) по формуле (25) и заменяя Т" (<р(я)) через ш'(я), получаем: Т~ (я) гм+ ~р'(я) я+?~'(я) гая = = ~р'(я)+ (Тв'(я)+ Та (я) В*) га+ й (я, г*), откуда Та(я)(гв — В' гя)+(<р'(я)+ Т' '(я) га) (я — 1)=й (я, гя). (31) Введем теперь в рассмотрение новые вспомогательные переменные: вектор и~ =(и', ..., и" ') н скаляр и". В л-мерном пространстве переменных (и*, и")= (п1, и', ..., и") рассмотрим линейное преобразование М, зависящее от параметров я и гь, положив: М (из, пл) = Тв (я) иа + (~р (я) + Та (я) гь) ил. При г*=О преобразование М превращается в Т(я), и потому при г~, близком к нулю, преобразование М невырожденпо.
Таким образом, уравнение М(и~, и")=й(я, г') однозначно разрешимо (при г*, близком к нулю) относительно неизвестных и~, и", и его решение им=д*(я, г'), и =Ч(я гя) периодично по я с периодом 2т и имеет второй порядок малости относительно вектора г*. Так как соотношение(31) можно переписать в виде: М(г~ — В~г:ь, я — 1)=й(я, г*), то мы получаем: гь — В~г~=Ч~(я~ х )~ ю 1=Ч(я~ г )* 278 [Гл. а устОйчиВОсть Итак, в пространстве переменных «*, я уравнение (1) записывается в виде г~ = В'г'+ АР (я> «~), (32) =1+Ч(я, «') (3 3) или иначе: Ф~р — -=В'г*+Фр(я, г~), 65 (34) — =1+1г(я, гр), (35) где остаточные члены лр(я, г') и л(я, г') периодичны по я с периодом 2т и имеют второй порядок малости относительно вектора гр. В системе (34), (35) независимым переменным является я, а гр н1 рассматриваются как неизвестные функции от я.
Уравнение (34) ие содержит неизнестиой функции 1, и его можно решать отдельно. Таким образом, для того чтобы найти решение системы (32), (33) с начальными значениями 1, г,", яи следует сначала найти решение г'"(я, г',", я,) уравнения (34) с начальными значениями «,*, яь которсе в силу предложения В) при достаточно малом ~г,'1 определено для всех значений я ~ я, и имеет опенку ! г* (я, г'„я,) ! = г ~ г*, ~ я ". После этого следует найти решение уравнения (35) с начальными значениями 1, г",, я,; это решение дается очевидной формулой: р 1=1, +~ (1+/р(я, гэ(я, г*„я,))) р[я= Ю~ = 1р — я, + я+ $ Уг (я, г"" (я, г*„я,)) р[я. (37) Последнее уравнение можно разрешить относительно я, если только [гр ~ досгаточио мало, так что мы получаем: я=я(1, г*„я,). (38) Сушествует теперь такое положительное число а, что при ! гв / (а остаточный член д(я, гр) удовлетворяет неравенству ~ д(я, г")! ( 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
