Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Тем самым доказано, что множество О открыто. Таким образом, предложение В) доказано. Очевидно, что все пространство Й является одновременно открытым и замкнут>лм. Далее, к>ш;дое конечное множество г". из Я замкну>о. В самом деле, множество Г вообще не имеет предельных точек и потому содержит их все, т.

е. замкйуто. В случае, когда размерность векторного пространства Я равна единице, это пространство совпадает с множеством всех действительных чисел, и алгебраические операции иад векторами превращаются в обычиь>е операции над действительными числами, а модуль совпадает с модулем числа. Расстояние между двумя точками а и Ь в этом случае равно модул>о ! а — Ь ~ их разности. Непосредственно видно, что в пространстве действительных чисел множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству х < а или неравенству х > а, где а— фиксированное число, яв:>яс>ся открытым. Дополнение к этому множеству, определяемое неравенством х ~ а или неравенством х-~ и, вамииуто. т 321 тополОГические своистВА евклидовых пРОстРАнстВ 289 Г) Объединение и пересечение конечного числа открытых множеств евклидова прострзнства тс открыты.

Объединение и пересечение конечного числа замкнутых множеств пространства )С замкнуты «). Докажем это. Пусть Оь 0„..., 0„ (6) — конечная совокупность открытых множеств пространства гс. Докажем, что их объединение открыто. Пусть а — произвольная точка, принадлежащая этому объединению; тогда она принадлежит хотя бы одному из множеств (6), например, множеству ОР Так как множество 01 открыто, то существует окрестность точки а, содержащаяся в Ой но тогда эта окрестность содержится и в объединении', множеств (6). Докажем, что пересечение множеств (6) открыто, Пусть а — произвольная точка из этого пересечения; тогда она принадлежит каждому множеству О, системы (6).

Так как множество О, открыто, то существует шар радиуса г, с центром в а, содержащийся в Он Пусть г — минимальное из чисел г» гэ ..., г„; тогда шар радиуса г с центром в и содержится в каждом из множеств системы (6) и, следовательно, принадлежит их пересечению. Таким образом установлено, что пересечение множеств (6) открыто. Переходя от открытых множеств (6) к их дополнениям, мы получим соответствующие результаты относительно замкнутых множеств (см. В)). Таким образом, предложение Г) доказано. Д) Пусть тт' — езклидово пространство, (7) аи а„..., ам — некоторая бесконечная последовательность точек из Я и М вЂ” некоторое множество точек из Я.

Заметим, что последовательность отличается от множества не только тем, что ее точки занумерованы, но также тем, что точки с различными номерами могут совпадать между собой. Поэтому множество всех точек, входящих в бесконечную последовательность, существенно отличается от самой последовательности; в частности, оно может быть конечным. Последовательность (7) называется ограниченной, если существует такое число г, что для каждой точки а„последовательности (7) выполнено неравенство 1а„)< г.

Точно так же, множество М называется ограниченным, если существует такое число г, что для каждой точки х из М выполнено неравенство )х~(г. Говорят, что последовательность (7) сходатся к точке и из Й, если имеет место соотношение 11 щ ~1 ал — а ~ = О. (8) «) Нетрудно доказать, что всегда объединение любой системы (не обязательно конечной) открытыя множеств открыто, а пересечение любой системы замкнутых множеств замниуто. Нам зти факты не понадобятся, 29О довлвлвиия 1. нвкотовыв вопросы лнллизл Если прн этом последовательность (7) содержит бесконечное мно>кество р аз ля чных точек, то точка а является предельной для м ножества всех точек последовательностн (7) н притом едннственной предельной точкой этого множества. Оказывается, что нз ограниченной последовательности точек всегда можно выделить сходяшуюся подпоследовательность точек.

Из этого непосредственно следует, что всякое ограннченное бесконечное множество М имеет предельную точку. Локажем предложение Е), Лог>устим, что имеет место соотношенне (8) н что множество А всех точек последовательности (7) бесконечно. Из соотношения (8) следует, что каждый шар с центром а содержит все точки последовательности (7), за исключением конечного числа. Так как множество А бесконечно, то нз сказанного следует, что каждая окрестность точки а содержит бесконечное множество точек нз А.

Следовательно, кажда» окрестность точки а содержнт точки, отличные от а, а это и значит, что точка а является предельной для А. Покажем, что точка Ь ~ а не может быть предельной для А. Расстояние от а до Ь обозначим через 2р; так как а Ф Ь, то р ~> О. Шары Р н Я с центрами в точках а н Ь радиуса р не пересекаются. Это следует из неравенства (3). Так как шар Р, по доказанному, содержит все точки множества А, за исключением конечного числа, то шар Я может содержать лишь конечное число точек множества А н потому точка Ь не является предельной для множества А. допустим теперь, что последовательность (7) ограничена, и выберем нз нее сходяшуюся подпоследовательность. Прн доказательстве мы используем тот факт, что для числовых подпоследовательностей это возможно. Перейдем к координатной записн точек последовательности (7), поло>нпгс ! 2 я аа=(ам аа, ..., аа)„ Так как последовательность (7) ограничена, то сугцестаует .такое число г, что )а„(< г, а отсюда следует, что (а~>(с г, 1=1, 2, ...,л; 1=1, 2, Таким образом, последовательность чисел а), а~, ..., аь, ...

ограни н.на и потому нз нее можно выбрать сходяшуюся подпоследовател>л>ость. Зля того чтобы не менять обозначений, мы будем считать, что эта выбранная подпоследовательность есть сама последовательность (9), так что имеет место соотношенне 5 зт! Топологические евоиотвА евклндовых пРОстванств 291 где а' — некоторое число. Теперь из последовательности аь а1, ..., аа, (10) ввиду ее ограниченности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Для того чтобы не менять обозначений, мы вновь будем считать, что эта выбранная подпоследовательность есть сама последовательность (10).

Продолжая этот процесс по всем номерам 1, 2, ..., н координат, мы выделим такую подпоследовательность Ьь Ьь ..., Ь» (11) последовательности (7), что для координат точек этой подноследова- тельности имеют место состношения !!ш Ь,'=а', 1=1, 2, ..., и, (12) ! со где а' — некоторое число.

Положим а =(а', ..., а"). Из соотношения (12) непосредственно следует, что !! я ~! Ь, — а ! = О, Таким образом, нз последовательности (7) выбрана сходящаяся подпоследовательность (1!). Покажем, наконец, что всякое бесконечное ограниченное множество М имеет предельную точку. Так как множество М бесконечно, то из. пего можно выбрать бесконечную последовательность аьаь ..., а,„..., все точки которой попарно различны. В силу ужедоказанного,изэтой последовательности ввиду ее ограниченности можно выбрать бесконечную подпоследовательиость си бм ..., Ь» ..., (13) сходящуюся к некоторой точке а. Так как все точки последовательности (13) попарно различны, то точка а является предельной для множества всех точек последовательности (13) и, следовательно, предельной для множества М.

Итак, предложение Д) доказано. В некоторых вопросах играют важную роль замкнутые ограни- ценные подмножества евклидовых пространств. Докажем одно характеристическое свойство таких подмножеств; оно называется тсо.ивагсгиносслью, Е) Множество М точек евклидова пространства )т называется компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет предельную точку, принадлежащую множеству М. Оказывается, что 292 дозАВление 1. некотОРые ВопРОсы АнАлизА множество М тогда и только тогда компактно, когда оно одновре-' менно замкнуто и ограничено.

Докзжем предложение Е). Допустим сначалз, что множество Р замкнуто и ограничено, и пусть М вЂ” его произвольное бесконечное подмножество. В силу предложения Д) множество М имеет некоторую предельную точку а. Эта точка является предельной и для множества Р. В силу замкнутости Р, точка а принадлежит Р. Таким образом, всякое бесконечное подмножество М множества Р обязательно имеет предельную точку, прииадлежашую Р, так что Р компактно. Допустим теперь, что множество Р компактно. Докажем, что оно ограничено.

Допустим противоположное; тогда из Р можно выбрзть. такую последовательность (14) аь ° ° .в ам попарно различных точек, что )ад!)К 1=1, 2... Пусть а — произвольная точка из Я. В силу неравенства (2), мы имеем ~ ад ~ ~ ! а„— а ~ + ~ а (, откуда ~ а„— а ~ ~ и — ~ а ~. Это значит, что расстояние от точки а до точки ад неограниченно возрастает с ростом Ф, и потому любая окрестность точки а содержит лишь конечное число точек множества (14).

Таким образом, бесконечное подмножество (14) множества Р не имеет предельной точки, что противоречит компактности множества Р. Докажем, наконец, что компактное множество Р замкнуто. Пусть с — его предельная точка, Так как каждая окрестность точки с содержит точку множества Р, отличную от с, то из Р можно выбрать иоследоватсльность (15) с„..., си попарно рззлишых точек, сходящу1ося к с. В силу Д) единственной предельной точкой точек последовательности множества (1б) является с, а так как, по предположению компактности, это множество должно иметь предельную точку, принвдлежашую Р, то точка с принадлежит Р. Итак, каждая предельная точка с множества Р принадлежит ему и, следовательно, множество Р замкнуто, Тзким образом, предложение Е) доказано. Непрерывные отображения Пусть А и  — два произвольные множества.

Говорят, что задано отооралсенне у" множества А в множество В (или, иначе, функция у" на множестве А со значениями в множестве В), если каждой точке х 5 321 тополОГйческив свойствА ввклидовых пРОстРАнстВ яфЗ из А, поставлена в соответствие вполне определенная точка у =у (х) множества В. Если С в некоторое множество точек из А, то образом ~'(С) множества С при отображении у называется множество всех точек. вида у =у(х), где х — произвольная точка из С. Если В— некоторое множество точек из В, то прообразом у '(В) множества В при отображении у нааывается совокупность всех таких точек х из А, что точка у(х) принадлежит В. Ж) Пусть )с и 8 — два евклидовых векторных пространства, М вЂ” некоторое множество точек из )с и у — отображение множества М в пространство Я. Отображение (или, что то же самое, функция) у называется непрерывным в точке а множества М, если для каждого,'положительного числа я существует такое положительное число Ь, что при )х — а~< Ь (гдв х — точка из М) мы имеем (~(х) — у(м) ((а.

Функция у считается непрерывной на всем множес'гве М, если она непрерывна в каждой точке а этого множества. Функция у' называется равномерно непрерывной, если для всякого положительного числа е существует такое положительное число я, что при ( х, — х„1(а (где х, и х, — точки из М) мы имеем 1У(х1) — У(х„)!(а. Очевидно, что равномерно непрерывная функция является непрерывной. Перейдем от векторных обозначений к скалярным. Имешю, положим х=(х', ..., х5 К(х)=Ц'(х), ..., ~'(х)), где 'р и д — размерности евклидовых пространств Я и 8 соответственно.

Тогда вместо одной векторной функции у' векторного переме1~ного х мы получим о скалярных функций от р скалярных переменных, именно: т~(х)=~~(х', ..., хя), /=1... д. (16) Легко доказывается, что непрерывность векторной функции у(х) вектора х равносильна непрерьвпости всех функций (16) по совокупности переменных х', ..., хя. То же относится к равномерной непрерывности.

Характеристики

Список файлов книги