Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Оказы- вается тогда, что любое решение х=~р(Ф)=(~ра(Ф), ..., ар-(в)) д~р~ (С) уравнения (4) имеегп непрерывные частные производные — „, р= дг" =1, ..., и, 1=1,, и, на всем 'открытом множестве О опре- деления этого решения, Доказательство. Пусть 1ь — произвольная точка открытого множества О, на котором определено решение х=~р(1) уравнения (4) и х,=гр(Ф,). Покажем, что в некоторой окрестности точки Ф, частные дт~ производные --'р существуют и непрерывны. Пусть а и д — такие положительные числа, что при 1с — Гь!=.- д, ) х — х,1~а точка (1, х) принадлежит открытому множеству Г, точка ф принадлежит открытому множеству О, а функция гр(Ф) удовлетворяет условию ~ ср(1) — хь )(а. ,цля вычисления производной — р обозначим через вр единичный вектор /ымерного векторного пространства Т, направленный по р-и 10' 304 довлвлвнив к нвкотогыя вопяосы лнллизл осн, и положпм г„=Г,+~ер, где Ф, — вектор пространства 7, а т —.
действительпое число. Тогда мы имеем: = 11ш (28) Таким образом, функция ~'(Гн )= т "),™ (29) Д„ф является предварительным частным прп вычисления производной — р. ~Р' Выберем настолько малое положнтельпое число г, что прн ~Г1 — т»~к г, ~я~(г векторы а, н Ф, удовлетворяют условию ~С,— Г,~ С.(1, ~~,— Ь,~<'Ц. Множество (27) выпукло, и потому к разности У'(г гРА)) — У*И чА)) которая равна нулю, мы можем применить лемму Адамара. Именно, мь1 имеем: ~'(г, гр(гя)) —.г'»и грЫ) = л л = 'Я Н,'(Гь т)((',— Н,)+ '!>', К',(Фн я)(ч,'И~) — ~'Ж)=0 ! ! (30) где Л',(гь я) и К'($~ т) определены и непрерывны при 1Г, — Г„1 ~~г ~ с(с г. Так как К,.р,, 0)= ~,-у*(г„х,), а функциональный определитель отличен от нуля, то при достаточно малом гопределитель 1К'(Еь т)~ отличен от нуля.
Считая, что т-ЕО, и деля соотношение (30) на т, получаем. к~ (~ ) у~ (г,~) ею' (г, ) (31) 7 =. ! Эта система уравнений относительно функций ф1(йп я) разрешима, и мы получаем: Ф~Иь т)=Х (гь ') (32) где фУнкциЯ У фь ~) непРеРывна и опРеделена пРи Условии 1г — Г„1< "г, 1я~(г, не исключая значения т=0, так как коэффициенты н пра- теоэемы о неявных вунхциях вые части системы (31) определены для этих значений и определитель этой системы отличен от нуля. Соотношение (32),где слева стоит функция, определенная лишь при я ~ О, а справа — функция, определенная и непрерыюгая при произвольном ~т~< г, при переходе к пределу дает: 11 )'(Иь т)=)('(ть О).
(33) Соотношения (28), (29) и (ЗЗ) показывают, что производная — ' ьрт(г,) существует и непрерывна при ~ Ф, — 1, ~ < г. Таким образом, теорема 28 доказана, 11 р и м е р ы 1. Пусть Я вЂ” пространство переменных х',,„, х", а — некоторая точка из Й и иГ(х)=и~(х', ..., х'), /=1, ..., и, (34) — система функций, определенных на некоторой окрестности точки а.
Мы будем предполагать, что эти функции, так же как их частные дит(х) производные —; —, непрерывны и что определитель функцио- И 7(х)1 пальной матрицы ~ †,. ) отличен от нули при х=а. Тогда в силу дкг непрерывности он отличен от нуля и в некоторой окрестности точки а.
Пользуясь функциями (34), мы можем в некоторой окрестности точки а вместо координат х', ..., х" точки х ввести новые координаты у'..., у" той же точки, положив у~=и'(х', ..., х"), 7'=1, ..., и, (35) или в векторной форме у=и(х). (36) Действительно, в силу теоремы 27, систему скалярных уравнений (35) или, что то же самое, векторное уравнение (36) можно разрешить относительно х. Именно, можно получить векторное реше- ние х=п(у).
(37) у=и(о(у)) ' (38) по переменному у, причем и (Ь)= а. В силу теоремы 28 компоненты э'(у), ..., и"(у) вектора е(у) имеют непрерывные производные по переменным у',, „> у". определенное в некоторой окрестности точки Ь = и (а) переменного у, удовлетворяющее тождеству 306 ДОВАЕЗ!ЕНИЕ !. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА Докажем, что наряду с тождеством (38) имеет место тождество (39) х=о (п(х)) по переменному х. Лля этого рассмотрим уравнение ( )=- (з) (40) гп!Коснчельио неизвестного вектора г= — (а!, ..., г").
Мы имееа! очевидное ре!пение з=х этого'уравнения. 1)оде!гвим теперь в тождество (38) вместо у фуикцшо гг(х); тогда мы получим тождество ио х: п(х) =п(о(м( ))), ц!(х)==в/(х1, ..., хл), /=-1,, л (4 1) — система функций, определенных иа некоторой окрестности точки о. М!а будем предполагать, что функции (41), так же как их частные дмт(х) производные —, непрерывны, В фупкниональной матрице —,-), г=1...„, л, )=1, ..., /;, ~ —.-) ° = дн!(х)! дх! (42) будем считать, что индекс ~ указывает номер строки, а ! — номер столбца, так что матрица (42) имеет А строк и и столбцов. Заметим, что ~-я строка диг(х) д!!1(х)~ д' "" д' ) представляет собой градиент функции и'(х).
Если ранг этой матрицы в точке !х равен !)г, то, в силу непрерывности, он равен А и в некоторой окрестности точки а. В этом случае функции (41) называются иезав!!спмаоги. В случае, если ранг матрицы (42) меньше А на некоторой окрестности точки а, функции (41) называ!отся заадсплты,мг!. которое показывает, что решением ураи!ения (40) является функция а=о(и(х)). г)о, в силу единственности, это решение должно совпадать с ранее указанным ре!иеинсм г=х, и потому мы имеем х= =-о(и(х)). Таким образом, тождество (39) имеет место. Тождества (38) и (39) и показывают„что преобразования (36) и (37) явля!отся взаилшо обратнь!ми и могут служить для дифференцируемого преобразования координат х', ..., х" в координаты у', ..., у" и обратно в некоторой окрестности точки а пространства Й.
2. 11усть )с — пространство переменных х', ..., х", а — иекоторги! точка э!ого пространства и ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ Если й< л и система функций (41) независима, то ее можно дополнить функциями и"+' (х)...,, и" (х) до независимой системы функций и!(х) иь(х) ип(х), (43) В самом деле, матрица (42) при х=а постоянна и строки ее линейно независимы. Эту матрицу можно дополнить постоянными стро каин ло квадратной невырожденной. Добавленные строки можно считать градиентами линейных функций ивы(х)...
и" (х). Докажем теперь нижеследующее важное предложение: допустим, что функции (41) независимы, а функция тв(х) такова, что система функций по переменному х, Иначе говоря, функция тп(х) ватраааваевасм через функции (41). Для доказательства этого предложения дополним независимую систему (41) до независимой системы (43) и введем при помощи ней новые координаты по формуле (36) примера 1, положив у=и(х), Пусть х=е(у) — обрашение этого соотношения (см.
(37)). Положим 1Р'(у) = тв (о (у)). (46) Определенная таким образом функция %" (у)= Ю(у', ..., у") в действительности зависит только от переменных у', ..., у (это мы докажем ниже) и является искомой функцией 1Х'(у', ..., у ). В самом леле, подставляя в соотношение (46) у=и(х), мы, в силу тождества (39), получим: )р'(и'(х), ..., и'(х)) =то(х), что совпадает с локазываемым соотношением (45), Остается доказать, что функция (46) не зависит от переменных у"+', ..., у", Для доказательства обозначим через у" одну нз этих переменных и докажем, что —,- =О. дК (у) дуп (47) Мы имеем: и дтТг(у) Чь1 дтв (х) до' (у) ду~ .~~ дкт дуг ~=! (48) ~~'(х)..
", ~~'(х), ~ (х) (44) уже зависима. ТоМа существует такая функция %'(у', ..., уа) с непрерывными производнымит что выполнено тождество тв(х) = 1ь'(и'(х), ..., иь(х)) . (45) 308 довлвлвннв !. некотогые вопгосы лнллизл Так как система (41) независима, а система (44) зависима, то градиент функции га линейно выражается через градиенты функций (4!), т. е, дш (х) ди' (х) див (х) —; — =а, —,-+...+ая — —, г=1...,, и, (49) дх дл "' дх где ан ..
ая — некоторые функции от х. Умножая соотношения (49) д.г(„)' ма — и суммируя по г, получаем: ду' (у) ., ~~! ди" (х) да (у) (б ду',!~~ дх ду' ''' ( ~ ! дх! ду' г=! г=- ! Но мы имеем, очевидно, ди' (х) ди! (у) ду* я=1, ..., !г М=! (ибо г > гг). Таким образом, правая часть соотношения (50) равна нулю и соотношение (47) доказано. ДОБАВЛЕНИЕ !1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В этом добавлении излагаются те результаты линейной алгебраа, которые используются в некоторых, наименее элементарных парагра фах книги. Следует отметить, что $36 опирается только на резула таты $34 и совсем не использует результатов $35; ф 34. Минимальный аииулырующый многочлен Собственные значения и собственные векторы А) Каждой квадратной матрице А =(а'.), 1, ~=1, 2...., и, порядка и, элементами которой являются действительные или комплексные числа, соответствует линейное преобразование А векторногф координатного пространства Й размерности л; именно: вектору х = (х', ..., х") пространства !с ставится в соответствие вектор Ах = у = (у', ..., у"), определяемый соотношением у'= Ха'х' ! Нулевой матрице О (все элементы которой равны нулю) соответствует при этом нулевое преобразование О, переводящее каждый вектор в нуль.
Единичной матрице Е= (3,',) 3'. = соответствует единичное, или тождественное преобразовзние Е пространства гС: Ех=х. ДОБАВЛЕНИЕ 11. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Если в пространстве )с введены новые координаты х . .., х', свял В ванные со старыми координатами х', ..., х" формулами перехода х' = ~~', з';х1, или в матричной записи то преобразованию А в новой системе координат будет соответствовагь матрица А' = Ь' А Ю '. (1) Докажем соотношение (1), Мы имеем: у'=Яу=8Ах=-8АЮ 'х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
