Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(? <„!) (4) принадлежат пространству Т! . и линейно независимы относительеш пространства ?; ! е. Мы имеем: С' !й!" ! —— Сей! =О (а=1... г), и, следовательно, векторы (4) принадлежат пространству Т! ?. Допустим теперь, что вектор а,й! е+...+а,й! ? — — х принадлежит пространству Т! ? !. Тогда имеем: О=С! ' лх=С! '(а,й,'+ ... +а,й'.), ! г а это значит, что вектор а,й, + ... +а„й, принадлежит пространству Т,, и потому числа а„...> а, равны нулю. Выберем теперь максимальную систему векторов ! г йы *е 326 довлвленпе г!. линейнАя АлГеБРА пространства Ть, линейно независимых относительно пространства Т»,. По доказанночу векторы принадлежат пространству Т, и линейно независимы относительно пространства 7ь я; таким образом, систему (6) можно дополнить до максимальной системы 1 > й,,,..., йь — ' (га г~г,) (7) векторов пространства Ть „ линейно независимых относительно пространства Т и я Продолжая этот процесс дальше, мы построим в пространстве Т,(1 >0) максимальную систему векторов Ь"г = Сйг+, (%= !, ...
Ф гг+г! Г!)гг+!). Докажем теперь, что совокупность «;7 всех векторов, принадлежащих всем системам (8), 1=7', 7' — !... 1, составляет базис пространства 7'Ь Доказательство будем вести индуктивно по числу 7. Для /=1 система ~',! совпадает с системой (8) при /=- ! н потому является базисом пространства Т>(Т» — — О). Допустим, что наше утверждение доказано для системы «, -, и докажем его для системы «;7, !.
Допустим, что имесг место соотношение а! Ь' + ., + а, Ь'7+! -~- Ь, й'+ ... + Ь~ 7!'г+ ... = —.О, (9) 7-> ! /+! У+! I ! .г Применяя к соотношению (9) преобразование В', по учаем; а,й!+ ... +а, Ь/+>=О, ! /+1 1 а это возможно лишь при условии а,= ... =а, = — О; таким об- 7+! разом, в соотношение (9) могут входить лишь векторы системы «,7 и, следовательно, по предположению индукции, соотношение (9) тривиалыю.
ПУсть тепеРь Š— пРоизвпльный вектОР пРОстРанства Т7 >!. Так как система (8) при 1 =7' + 1 есть максимальная линейно независимая система относительно пространства Т, то существует такой вектор у = а>Ь).!.! + ... + а, , Ь 7~', 7+! что вектор х — у принадлежит пространству Т и в силу предло>ке- линейно независимых относительно пространства Т! н причем будут выполнены соотношен>>я % 3»1 жоРдлновл ФОРМА млтРнцы ния индукции выражается линейно через векторы системы ~~, а аа1й значит, что вектор Х выражается линейно через гекторы системы ~ Итак, доказано, что система У» есть базис пространства Я~ф Если пространство 8, матрица А и число Л действительны, т!а, выбирая ве!вторы системы (5) действптельныыи, мы получаем деМй вительную систему (6), которую можно дополнить до действителыий системы (7).
Продолжая таким образом, мы получаем действа тельную систему»». Покажем теперь, что система ~» состоит из серий, Имейно, пп кажем, что векторы й;, й;, ... образуют серию с собственным значением Л. Мы имеем: 0= — Сй;=(А — ?Е) Ь"„ так что Ай;=Лй;; далее, й; =Сй'.= (А — Щ й' так что Ай",,=Лй'„-!-йн и т. д. Итак, теорема 30 доказана.
.1,:'' В построенном согласно теореме 30 базисе преобразованию Я соответствует уже не исходная матрица А ='(а~; а"'ййй!б!серая павля матрица В=(Ь~), имеиицая особо простую ферму, павываемнчп жордаиовой. Таким образом, .теорема 30 является тмворвлго!в о приведении иаирицм к в!сордаковой (рорие. Разберем этот вбпроа подробнее. Б) Жордановой клеткой порядка и с собственным значением 1 ! называется квадратная матрица (д') порядка и, определяемая соот- 7 но!ненняын й'.'= л, 7=1..., т; Л"' „,=1, ! — 1, »а 1! ь'.=0 прн ! — !(О и нри ! — ! ~ 1, у т. е.
»гатрица Л 1 0 ... 0 0 0 Л 1 ... О 0 о о л ... о о 0 О О ... Л 1 0 0 0 ... О Л Оказывается, что для каждой квадрап>ой матрицы А пор дка и можно подобрать такую невырожденную квадратную матрицу Я, что матрица 8=ЛАЯ ', получаемая из матрицы А путем трансформации матрицей 8, имеет жордано ау форму, т. е. состоит из одной 328 довлзление и, линеинхя ллгеврл или нескольких жордановых клеток, расположенных по ее главной диагонали, в то время как все элементы ее, пе входящие в жордамовы клетки, равны нулю. Покажем это.
Пусть Я вЂ” координатное векторное пространство размерности а и А — линейное преобразование, соответствующее (в некоторой системе координат) матрице А. Пусть теперь уь ..., у„— бвзис пространства Й. составленный из серий (см. теорему 30). Мы предположим векторы т'н ..., ~„ расположенными в таком порядке, что векторы каждой серии идут в последователюгости ~„..., у'„ один за другим. Обозначим через В=(Ь'.) матрицу преобразования А в базисе у„..., ~'„, Пусть ь!-У„..., ).=У„ — первая серия, входящая в последовательность ~п ..., у„и 1 — соответствующее собственное значение.
Тогда, как это непосредственно следует из определения серии, мы имеем: Ь,'=Л, С=~, „т; Ь,',=1; С=1, ...,~ — ~; Ь'=0 при !+1(/==я и при 1 ~~ =т. Таким образом, первой серии последовательности ~н ..., ~'„соответствует первая жорданова клетка в матрице В. Точно так же второй серии базиса ~п ..., ~'„будет соответствовать вторая жорданова клетка в матрице В, и т. д. Так как переход от матрицы А к матрице В осуществляется при помощи трансформации (см.
ф 34, А)), то В=ЯАЬ' '. Таким образом, предложение Б) доказано. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Лятоматического регулирования теория 218 Лзгоиоммые системы уравнений 103, 108, 251, 279 Ллямара лемма !86 Лчплитуда гармонического колебания 30, 75 -- — — комплексная 76 Лсдронов 244., 249 Лндронова — Витта теорема 271 ли!шлируюший миогочлен ма~рицы 309, 3!1, 312 — — — минимальный 309, 813, 3!4, 315 Лиодиый ток триода 244 Лсимптотпчсская устойчивость 205, 213, 252, 269, 272 Втриации постоянных метод !б, 134, 143 Вскгор 46, 2% — дейсгвителы<ый 46 — комплексный 46 рл хлорные Фуикпии векторного переменного !03 15 кторы, комплексно сопряженные 46 .
Вгаимоипдукпия 82 Вполне неустойчивое положение равновесна 216, 252 Рронсйого детерминант 131, 142, НЬ Вышнеградский 218, 219, 223 !.ьиипсградского тезисы 224 Гамильтопова система 203 ! оператор ламповый 2Н, 246 246 249 Грубый прслсльпый цикл 234, 2!2 Дху ик — акпявпый 63 — пассивный 83 Действительные решения линейных уравнений 48, Ь4, ЬЬ, ЬЗ„МЬ, 98.
99 71стермийаит Вронского 131, Н2, НЬ дифференциальное уразнсйие см. Уравнение дифференциальное дифференцирование векторныз функций 94 — ком~ытексиых функций 33 — фупкпии в силу системы уравнений 273, 209, 271 Дпффереипирусмость неявных Функций 303 — Решений 2Ь, 186, 187, !91, 192 Длина вектора 2% Дополнение к миожестяу 287 Дикость 31 йцордаиозз клетка 101 327 — форма матрицы 101, 321, 327 Зависимость решений от параметров и пачдшы ных условий 178, 179. 182, Г34, 1%, !87, 191, !92 — фуйкций 306, 307 Замена координат 305 Заряд конденсатора 82 Значения начальные !О, 22, 28, 34 Инвариантное подпрвстРаиство 316 Индуктивность 81 Интеграл первый !96 Интегральная кривая 3. 10г И„ 14.
94 интегралыше уравнение, вквйвввептнве двф. ференциальному !53, 164 Интегрирование уравмевнй.п нвадратурвв 36 Интервал определения ЬбнхенийЗ, 21 Интерпретации ранений гвемвяфмческав Ь. 13, 24, 109 — — дмфференцнааьнпго уравнения 11, 24 Исключения иетод 67 Источник напряжения 83 — тока 83 Квадратичная форма 210 — — положительно определеинаа 210 Квазимногочлеи 62 Кирхгофа закон второй 83, 84 — — первый 83, 84 Колебания вынужденные 79 — гармонические 30, 75 — собственные 79 Колсбательиый контур 87 Комплексная амплитуда 76 Коггтурные токи ВЬ, 87 Координаты вектора 46 Коэффициент взаимонпдуккии 82 — трансформации 9! — упругости 31 Краевая задача для уравнений в часп|ых прм.
изеодвых 20! 1<ратиость собстзсниого зиачсиня 316 Кроисксра символ 68 Лампа злектроииая 244 7!иие!гвая зависимость векторов 47 — — решений 129, 140 — система см. Системз уравнений линейнав Линейное уравнение см. Уравнение линейное Линия уровна Н Лнуиилля формула 132, !33, 143, 14Ь, 280 нова тсо емы НЗ 205 212 2!3 271 — Функция Л!алые яолсбапия маятника 32 ГИ я г ри~га опюз из я Нб — фупдаме!пальиаз 131, !ЗЬ ПРВПМВ?НЫЙ УКБВЛ?ВЛЬ Матрицы жорденове форма 321, 327 Иатпяяиая запись систем линейных уравнений 136, !46 Матричное исчисление !46 Матричные рады степенные !50, 316, 319, 32! Маатяяк математический 3! Метод вариация постояныык !6, 134, ИЗ исключения 67, !02 — яйнплексных аиплнтуд ?6, 77 -ь воитурных тонов 85 ыеопределеыньа козффнцнеитов 101 последовательных приближений 153, 1?0, 299 — сжатых отображений 553, 170, 299 узловых напряжений 85 Многогранник выпуклый 297 Мжвбочлая аииулирушшнй 309, Зи, Зи мвнвма~йпый 302, 313.
3! 1, 3!5 устойчивйБ?, 58, 60, 61 характеристический 44, 310 Множество м-предельное 235, 236 замкнутое 287 компактяпе 291 — ограпячвиыое 239 атярытое 287 Модуль вектора 162, 235 Напряжения узловые 65 Нзчальвза йшяа гармонического колебания 30, 7$ Начальные значения, язчвльные условия Ю, 22, 28, 34 Неоиределеввьш козффнциентов метод НН Неравенства интегральыые 172 Наравномериость кода наровой нашяыы 223 Норма векторной функции 164, 300 — функци~ 1$4 Нормальная система дифференциальных уравнений 21 Область задания 8, 9, 21, Вз, 26, 27, 29, 173, !78, !82, 1М, 187, 191, !92 Обратная связь 246 Обьедипепие мионсеств 287, 289 Окрест!сесть точка 287, 298 Опапациоыыые (символические! обозначения бл, 43 Огиовсслз матрссца решения 146 Отображение последования 231, — аффннное 255 — непрерывное 296 — равномерно непрерывное 293, 294 Осрезак !63 Пздеияе нзпсзясхеняя 60 Плровзз машина 213, 220 Первые интегралы 198 — — „независимые в точке !97, !98, 939 200 Передатопюе число 2!О Пересечение множеств 287, 289 1 1ереходиый процесс 77 Период !06 Псрводическоа решение 106, 268, 271, 279, 239 Плоскость фазовав ИЬ, 224 1! сказатель характеристический НП !! ле направлений И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
