Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким образом, предложение Ж) доказано. 3) Пусть А — линейное преобразование п-мерного пространства )т', Ль Ля ° Л« — совокупность всех собственных значений этого преобразования, Ь (г) =(» — Л,)"~ (г — Л,)ь~...(г — Л,)ь« — минимальный аннулирующий многочлен преобразования А и 0 (г) = ( — 1)" (г — Л,)«~ (а — Л«)«~... (г — Л,)«« -- характеристический многочлен преобразования А. Так как многочлен 0(а) делится на многочлен Ь(г), то 7=1, ..., г. В силу предложения Ж) пространство К разлагается в прямую сумму своих подпространств 8п 8«, ..., 8„где 8, состоит из всех векторов х, удовлетворяющих условию (А — Ъ гЕ) ' х = 9.
ЛОПАВЛП1ИЕ Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Оказывается, что размерность пространства 8> равна >у>. Число >у> называется нратностаю собственного значения ), ЛЛокажем, что размерность пространства 8, равна >)>. Пространство 8, инвариантно относительно преобразования А, т. е.
А8, содержится в 8>, Таким образом, если в пространстве 8; выбран некоторый базис, то преобразованию А„ рассматриваемому на 8п соответствует некоторая матрица А, порядка рн где р, — размерность пространства Ь;. Если базис пространства лс составить из базисов всех пространств 8п то в полученном базисе преобразо. ванию А будет соответствовать матрица А, состоящая из магриц А„.. „А„расположе>шых вдоль диагонали матрицы А.
Из этого видно, что характеристический многочлен преобразования А прос>- ранства )с будет равен произведению Р>(3) Рл(а) ... Р (а), где Р>(а) — характеристический мпогочлен преобразования А, рассматриваемого на подпростраистве Ь;. Так как д;(г)=(г — Л>)»> есть. анпулирующий мпогочлен преобразования А на подпространстве 8п то преобразование А па Ь; имеет лишь одно собственное значение Л,, и потому характеристический многочлен Р; (г) имеет вид ( — 1)л>'( — Л;)Р>, ибо степень его равна порядку ма>риц».
А>, т. е. размерности р> пространства 8;. Следовательно, мы имеем Р(г) = а=( — !)" (д — Л>)>'> (а Лл)Р> ... (» — Л )~~, и потому яу> = >7> (см. (8)). Таким образом, предло>кение 3) доказано. ф 35. Функции матриц В этом»араграфе мы пе будем делать разли'шя между преобразованием А и соответствующей матрицей А, так как система координат не будет меняться.
Кроме того, в этом параграфе будут использованы неко>орые сведения из теории функций комплексного переменного (см., н>п>ример, И. И. П р и в а л о в, Введение в теори>о функций комплексного перел>еппо>о„ф:>зл>атгиз, 19>10). Матричные степенные ряды Л) (!усть д(г)=(г — Л>)"'(г — Лл) "...(а — ).,)"" 1>>)0, 1=1, ..., г, Л>+Ля+...+й,=>г — минимальный анпулирующпй многочлеп ма>рицы А, причем Л,Л„..., )., (2) — его попарно различные корни.
В силу предложения Е) ф 34 числа (2) составл ног совокупность всех собственных значеш>н ма>рицы А. Функции млтгиц 31т Говорят, что на слеггтре малтрпцы А задана функция Ю, если каждому собственному значению Л,. матрицы А поставлена в соответствие последовательность чисел 1рч01 () Я) и/11) (Л,) 1г [аг ы (Л,) г 1 г (3) Если Ф(а) — некоторая функция комплексного переменного з, голоморфная в точках Л,, то, понимая под числами (3) значение самой функции и ее производных до порядка Ь,— 1 в точке Лн мы получаем функцию, заданную на спектре матрицы А. Если для двух функций комплексного переменного г значения (3) соответственно совпадают, то говорят, что эти две функции совладают на слекире матрицы А.
Оказывается, что два многочлена У'(г) и Лг(г) тогда и только тогда совпадают на спектре матрицы А, когда У(А)=Ь(А). Далее оказывается, что, каковы бы ни были произвольно заданные числа (3), всегда существует единственный многочлен ~ (г) степенп :,Ь вЂ” 1, значения которого на спектре матрицы А совпадают с числами (3), т. е. усп(1ч)=ру"1(Л,), у=0, ..., Ь,— 1,' 1=1, ...„.г..
(4) При этом коэффициенты многочлена у(г) являются линейными функциями величин (3) и потому непрерывно зависят от них. Докажем эти утверждения. Положим Ь (з) =у (з) — х (г). Если ~(А)=у(А), то Ь(А)=0. Далее, если значения многочленов ~(г) и д(г) на спектре матрицы А совпадают, то функция Ь(г) на спектре матрицы А обращается в нуль. Таким образом, чтобы доказать ту часть утверждения А), которая относится к многочленам у(г) и Ьг(г), досгагочцо доказать, что многочлен Ь(г) тогда и только тогда а~пулнрует матрицу А, когда он обращается в нуль на спектре этой матрицы. Докюкем э1 о. Допустим, что многочлен Ь (г) аннулирует матрицу А; тогда в силу предложения Д) Э 34 он делится на много- член А(г) и потому имеет число )ч своим корнем крапностн не меньше Ь,.
(см. (!)), а нз этого следует, что он обращается в пуль па спектре матрицы А. Если многочлеп Ь (г) обращается в нуль на спектре матрицы А, то он имеет число Л; своим корнем кратности не меньше Уг, и потому делится на многочлен Ь(г) (см. (1)), откуда следует, что Ь(А)=0. Докажем теперь ту часть предложения А), которая относится к функции ср (г). Совокупность соотношений (4) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно коэффициентов многочлена ~р(г); система эта имеет Ь уравнений и Ь неизвестных. Для доказательства утверждения А) достаточно установить, что детерминант этой системы отличен от нуля, а для этого в свою очередь достаточно доказать, что в случае обращения в нуль правых частей этих уравнений имеется лишь нулевой многочлен у(г), удовлетворяюцшй условиям (4).
В случае обращения в нуль правых час~ей ДОБАВЛЕНИЕ Н, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА %"'!(Л!)=ЪГ"'(Л,), 7'=О...,, й,— 1, 1=1, ..., г, (6) то многочлен !у(г), определенный соотношениями (4), действителен, и потому матрица ср(Л) также деиствительна, Для доказательства предложения Б) обозначим коэффициенты мвогочлена 4!(г) через ~!...,, у~.
Систему уравнений (4) относительно неизвестных ср!...„ср» можно, не вникая в подробности, записать теперь в ниде: Система эта в силу условий (б) обладает тем свойством, гго наряду с каждым ее уравнением в ней имеется и комплексно сопряженное ему уравнение, т. е. уравнение ~~~~ ~а <~а а=! 11ерейдем теперь от равенств (6) к сопряженным им равенствам » "! ', с". Г= Е (7) Совокупность соотношения (7) представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных ~р», ..., 1!~. Однако ввиду формулированного свойства системы (6), система уравнении (7) совпадает с ней, отличаясь, быть может, лишь порядком нумерации уравне!гий. Так как система (6) имеет отличный от нуля детерминант, то два ее решения рг, ..., у" и !уг, ..., р» совпадают между собой; я'= р", а = 1, ..., !(, а это и означает, что числа с»», ..., '»» действительны.
Такнл! образом, предложение Б) доказано. Пусть у (а) = а» -!- а! г + ая г'- + „. + ам г~+ „, (3) уравнении (4) мпогочлен гр (г) обращается в нуль на спектре матрицы А в потому в силу ранее доказанного делится на многочлен Ь(г), а так как он имеет степень не выше а — 1, то он тождественно равен мулю. Такпи образом, предложение А) доказано. Ь) Пусть А — действительная матрица; тогда минимальныи аниу-, лируюптий ее мпогочлен Ь(г) действителен (см. ~ 34, Д)) и потому иаряду с каждым его корнем Л, (см.
(1)) имеется комплексно сопряженный ему корень Хч той же кратности, Оказывается, что если числа (3) удовлетворяют условиям: эл~кцйн мкп иц — аналитическая функция комплексного переменного г, заданная рядом (8) с радиусом сходимости р, так что при ~г~< р ряд (8) сходится, а при ) г~ ",ьр он расходится. Для дальнейитего напомним, что ряд $'(г)=а~+2аяг —,'- ... -+та,„г'""+ ..., получаемый из ряда (8) путем формального дифференцирования, имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (8), и сходится внутри круга сходимости к производной г'(г) функции ~(х).
Может случиться, что, подставляя вместо г в ряд (8) матрицу А, мы получим сходящийся матричный ряд ~(А)=аьЕ+а,А+ ... +а А + ... (9) (Матричный ряд называется сходящимся, если' числовой ряд, составленный из элементов, стоящих в 1-й строке и )-м столбце, сходится при любых г, ) = 1, ..., и.) В этом случае говорят, что функция «(г) определена на матрице А. Т е о р е и а 29. Сохраним обозначения предложения А). Если, все собственные значения матрицы А лежат внутри круга сходпмости ряда (8), т.
е. ~)ч ~(р, 1=1, „«, то матричный ряд (9) сходится, так что матрица «(А) определена. Числа Х(~Д, 1=1... «, (1О) среди которых, возможно, есть совпадающие, составляют совокупность всех собственных значений матрацы У1'А). Далее, если собственные значения 1; матрицы А лежат и в круге сходимоспнгряда, определяющего некоторую функцию д(г), так что матрица и1А) определена, то для совпадения, матриц 1(А) и и 1'А) необходимо и достаточно, чтобы функции г 1г) и и(г) совпадали на спектре матрицы А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим частичную сумму (г) = аь+ а, г+ ... + а г~ ряда (8); тогда при ~г((р мы имеем: ~т()' Ф-сО Пусть, далее, ч,и (г) — мпогочлен степени ~ й — 1, совпадающий с миогочленом г" (г)на спектре матрицы А(см. А)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
