Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Легко видеть, что т и есть расстояние между множествами Р и М. Покажем, что т)О. Пусть а — такая точка из Р, что у(а)=т. Если бы было т=О, то точка а принадлежала бы множеству М (ввиду его замкнутости), а это невозможно, так как множества Р и М не пересекаются. Так как расстояние у(х) точки х до произвольного множества М есть непрерывная функция, то, в частности, расстояние )х — а ) точки х до точки а является непрерывной функцией от х.
Из этого следует, что всякий шар (см. В)) есть открытое множество. В предложении В) окрестностью точки а был назван произвольный шар с центром в точке а. В ряде случаев бывает удобно считать окрестностью точки а произвольное откр ы т о е множество, содержащее а. При таком расширении понятия окрестности определение предельной точки не меняется.
ф 33. Теоремы о неявных функциях В этом параграфе доказываются известные теоремы анализа о существовании и дифференцируемоств неявных функций. Этв теоремы имеют многочисленные применения н, в частности,,потребляются в этой книге. Доказ.тельство теоремы существования неявных фун- творимы о наивных еункциях кций проводится здесь тем же методом последовательных приближений (или сжатых отображений), который используется в $20 и 21, а доказательство дифференцируемости неявных функций использует лемму Адамара (см.
й 24, А)). Таким образом, все содержание этого параграфа очень' Ьлйвко примыкает к методам четвертой главы и хорошо их иллюстрйрует. Мы будем рассматривать систему уравнений , г, х', „., х")=0, 1=1, ..., и, относительно неизвестных х', ,'., х", считая с', ..., гь независимыми переменными. В дальнейшем' будем предполагать, Мто левые части уравнений (1), т. е. функции У' (11, ..., 1", х', ..., х"), 1= 1, ..., и, (2) определены и непрерывны на некотором открытом множестве Г пространства Я переменных 1Р, ...., М, х', ..., х" вместе с их частными производными ы дгч (3) Полагая а=(Р, ..., 1")„х=(х'..., х"); У(х, х)=(Р(х, х), ..., ~'"(х, х)), мы можем записать систему уравнений (1) в векторной форме )'(а, х)=0.
(4) Решением уравнения (4) будем называть всякую непрерывную векторную функцию х=вр(Е) векторного аргумента Ф,,определенную на некотором открытом множестве О пространства Т переменных Р..... гь, которая при подстановке в уравнение (4) превращает его в тождество выполненное для всех точек а открытого множества О. Т е о р е и а 27. Предположим, что функциональный определитель (ОРФФ~! отличен от нуля в каждой точке (в, х) открытого множества Г.
Тогда для кажсдой точки (Фм хь) открытого множества Г,' удовлетворяющей условию У(Ф,, х,)=0, (6) существует непрерывное решение х=<р(Ф) уравнения (4), удовлетворяющее условию Ю %(ва) = ха зоо ДОБАВЛЕНИЕ Ь НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА Далее, имеет место единственность.
Именно, существуеп«такое открытое множество У в пространстве )ч, содержащее точку (Фр, хь), что каждая точка (в, х) множества К удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет также уравнению х=«рф). Иными словами, вблизи точки (гь, хь) нет ни одной точки, удовлетворяющей уравнению (4) и не принадлежащей графику функции х=«р (Ф). При доказательстве этой теоремы мы используем равномерную сходимость последовательности векторных функций векторного переменного.
В $ 20 и 21 рассматривались лишь последовательности функций скалярного переменного; поэтому мы повторим здесь относящиеся сюда понятия для случая векторного переменного (ср. $21, В)). А) Пусть «о — замкнутое ограниченное множество точек пространства 1; Нормой й' «р ~1 непрерывной векторной функции х=«р(а), заданной на множестве «о, будем называть максимум ее модуля: )! «р ~! = шах ! «р ф) ~ . Пользуясь понятием нормы, можно формулироватьопределение равно- мерной сходимости последовательности (8) «Ь «рь " ° «р« непрерывных векторных функций векторного аргумента, заданных на множестве г' последовательность (8) равномерно сходится к непрерывной функции «р(а), заданной на том же множестве г', если 1пп й' «р — щд. ~! = О.
«о> Для того чтобы последовательность (8) равномерно сходилась к некоторой непрерывной функции, достаточно, чтобы были выполнены неравенства 1 ! «+ 1 ч «! ! ( а « где ч«исаа а«, а,, а„... образуют сходящийся ряд. Доказательство теоремы 27. Для того чтобы применить к уравнению (4) метод последовательных приближений, перепишем это уравнение в несколько измененном виде. Для этого положим д ~~~ — дхУУ (~«> х«)> ~ У= > ° ° ° ° « Так как функциональный определитель ~ дд> >>, х) ~ отличен от нуля в каждой точке ф х) открытого множества Г, то матрица В=(Ь«) имеет обратную матрицу В '. Систему уравнений (1) ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 301 перепишем теперь в виде: ~Ь~х/=~~;Ь'х./ — у/(~, х), 1=1, ..., и.
(10) / Правую часть соотношения (10) обозначим через Ь'(Ф, х). В силу соотношения (9) мы имеем, очевидно: -д Ь'(ам х,)=0, г, /=1...,, л. (11) В векторной форме уравнение (10) можно записать в виде: В«=ЬР, х). (12) Применяя к этому соотношению ма~рину В ', получим эквивалентной ему соотношение х=йф, х), (13) где у(С, х)=(х'(Ю. х), ..., д" (Ф, х))=В 'Ь(Ф, х). Ив соотношений (11) следует: 3 д / й (~ю хе)=0.
(14) Так как, кроме того, уравнение (13) эквивалентно уравнению (4), а точка (й„х,) удовлетворяет уравнению (4), то она удовлетворяет и уравнению (13), .т. е. й(ам хе)=хе. (15) тгн Ф=й'И, тРИИ. (16) Мы будем писать (используя «операторные» обозначения) тун = А тр. (1У) Мы перейдем теперь к построению такого семейства ь1 непрерывных функций трф), что оператор А переводит каждую функцию семейства 2 в функцию, также принадлежащую этому семейству, и является сжатым на семействе ьа. Выберем два таких положительных числа 4 и а, что при ~С вЂ” ~„1==„д, 1х — х,!~а (18) точка (г, х) принадлежит открытому множеству Р и для нее выполнены неравенства фа"«, )~ (19) 10 Пннтрнкнн Л, С. К уравнению (13), удовлетворяющему условиям (14) и (1б), мы и применим метод последовательных приближений.
Именно, мы поставим в соответствие векторной каждой функции «=»р(Ф) векторного переменного Ф функцию трн(С), положив 302 довлвлснив ь некотовые вопросы анализа где л — некоторое число, удовлетворяющее условию 0(Д(1. Это ду~(г, х) возможно, так как множество Г открыто, а производная непрерывна и обращается в нуль в точке (1м х,) (см.
(14)). В силу формулы (6) 3 21 для любых двух точек (С, х) и (1, у) множества (18) выполнено неравенство 1д(т, х) — д(т, у)1~л1х — у~ (20) (ср. (19)). Далее, так как фуикпия д(С, х) непрерывна, то су~пествует настолько малое положительное число г~ у, что 1д(~, х,) — д'(С,ь х„)~((1 — л)а при 1а — С,~< г. (21) Полагая в неравенстве (20) у=л,ь мы получаем из (20) и (2!) (при ~ х — ха ! ( а, ~ С вЂ” 1я ) = г); 1д(т, х) — х,!=!д'(1, х) — а(та, ха)! ~ ~ д'(~, х) — д'(г, х,) ! + ! д'(~, х„) — д'(г„х,) ~ ~ ~= Д! х — хо! + (1 — /г) а Таким образом, ~у(т, х) — х,! =а (22) при условии, что !т — т„~~г, 1х — х„)~а.
(23) Так как г=с.д, то для любых двух точек (г, х) и (т, у) множества (23) выполнены оба неравенства (20) и (22). К семейству !3 причислим каждую определенную на замкнутом шаре )С вЂ” Ц=-г непрерывную фун' !ию юр(Ф), удовлетворяющую на нем условию (<р(т) — ха!="а. Из неравенства (22) следует, что каждая функция семейства 11 переводится оператором А в функцию того же семейства, а из неравенства (20) следует, что оператор А является на семействе !а сжатым: !!АФ вЂ” А р!~~41!Ф вЂ” р!! для гнобых двух функций «р, тр семейства !3. Из этого следует (ср. стр.
167 — 168), что в семействе Я существует единственная функция у, удовлетворяющая условию (24) или, иначе, тождеству (23) ~р(е)=д(~, р®), которое эквивалентно тождеству (5). Докажем теперь, что если точка (т, х) принадлежит множеству (23) и удовлетворяет уравнению (4) (или, что то же, уравнению (13)), то ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ она удовлетворяет н уравненшо х ч (г). (26) В самом деле, в силу (20) мы имеем: ~х — р(1)!=1д(1, х) — д(1, р(1))~==й'х — ~р(1)~.
Но так как А«~1, то это возможно лишь в случае, если х=~р®. В частности, так как точка (Ф„х,) удовлетворяет условию (6), то она удовлетворяет и условию (7). Итак, мы построили ре1пение х=~р(1) уравнения (4), Определен- ное на открытом множества О, определяемом неравенством 1ь — Ц«. г, и открытое множество Ц, содержащее точку (вь, хь), определяемое неравенствами ~ С вЂ” 1, ~ (г, ! х — х, ((а, для которого имеет место единственность. Таким образом, теорема 27 доказана. Теорема 28. 7ак же как в теореме 27, предположим, что функциональный определитель отличен от нуля в каждой точке (в, х) открытого ииозкест- ва Г; кроме того, предположим, что частные производные дУ~(Г, х) р=), ..., й;1=1, ..., и, дгг также определены и непрерывны на всем множестве ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
