Главная » Просмотр файлов » Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения

Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 59

Файл №1032350 Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения) 59 страницаЛ.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350) страница 592017-12-22СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Так как собственные значения (2) матрицы А удовлетворяют условию ~ Х~ 1(р, 2=1, ..., «, то мы имеем: 11щ ~'яР,.)=~1'1(хд, 1=0, ..., Уг; — 1, 1=1, „„«, 320 дозлвление и. линвинля алгеврл Из этого в силу предложения А) следует, что последовательность многочлеипв ч (г) покоэффициентно сходится к некоторому много- члену ~р(г) степени =:-И вЂ” 1, причем многочлен ~р(г) и функция р'(г) совпадают на спектре матрицы А. Так как миогочлены р (г) и р (г) совпадают на спектре матрицы А, то мы имеем: ~,„(А) = э,„(А); при т — ьоо правая часть стремится к р(А), а это значит, что и левая часть при и-+со сходится.

Таким образом, ряд (9) сходится и матрице р(А) =1 (А). Докажем теперь, что миогочлеи 1'(г)=1» — Р(Л)]" 1» — Р(Ла)]'" " 1» — Р(Л,)]" аннулирует матрицу р'(А). Для этого рассмотрим многочлен Ф (~)=И (г) — 9 (Л)] 'гр () 9 (Л)] ' '' ° ... (ср,„(г) — ср (Л„)] ' (11) я покажем, что он аннулирует матрицу А. Многочлен ~р„(г) — ~р (Л;) обращается в нуль при г = Лг и погому он делится на дзучлен а — Хв Таким образом, многочлен (11) может быть записал в виде: фи (г) = 1 т (г) Ь (») и потому мпогочлен Ф (г) аннулирует матрицу А, т. е.

(р„(А) — р (Л,)Е]" 1ч.(А) — р.(Л,)Е]гн ... ... 1р,„(А) — р,„(Л ) р:]" = 0. Переходя в этом соопкииеиии к пределу при гл-~-со, получаем; К(А) — У(Л~) Е]"!У(А) — У(Ля) Е!'-' ... У(А) — У(Л,) Е]" =-- О, а вто и значит, что многочлеи Г(г) аннулирует матрицу г'(А). Из доказанного, в частности, следует, что все собственные значения матрицы р'(А) содержатся среди чисел (10) (см. % 34, Е)).

Докажем, что каждое число (1О) является собственным значением матрицы р'(А). Пусть Ь; — собственный вектор матрицы А, соогвегствуюший собственному значению Ли так что АЬ, =Л,Ие В силу формулы (6) $ 34 из этого следует: ~,„(А) Ь; =,Р,„(Л;) Ь;. Переходя в атом соотношении к пределу при ию оо, получаем: т (А) Ь~ — )" (Лч) Ьп Таким образом, число „~(Л,) есть собственное значение матрицы г'(А).

321 функции млтриц Допустим теперь, что круг сходимости функции е.(г) также содержит все собственные значения матрицы А. Тогда в силу доказанного матрица д(А) определена и существует миогочлен ф(г) степени «-л — 1, совпадающий с функцией д(г) на спектре матрицы А, причем ф(А)=п(А). Если теперь ~(А)=й(А), то у(А)=ф(А), м ° силу предложения А) многочлены ср(з) и )(г) совпадают на вцентре матрицы А, а следователыю, и функции г"(з) и д(з) совпадают на спектре матрицы А. Обратно, если функции у(з) и д(з) совпадают на спектре матрицы А, то многочлены у(г) и ф(г) также совпадают на спектре матрицы А, и потому в силу А) в (А) = ф (А), но тогда и ~(А)=е'(А). Таким образом, теорема 29 доказана. Неявные функции матриц Пусть г" (г, те) — функция двух комплексных переменных, заданная рядом г" (г,та)=а+ Ьг+ств+Ыгэ+егте+Рма+...

(12) При перемене порядка сомножителей в членах этого ряда (например, ири замене произведения з"аР на теЬх') функция Р(з, тв) не меняется. Поэтому при подстановке в ряд (12) матриц А и В вместо еге аргументов г, те естественно ограничиться случаем, когда матрицы А и В перестановочны между собой. Если ряд (12) сходится при любых значениях переменных д, а~, то можно доказать, что, подставляя в этот ряд вместо з и та любые перестановочные матрицы А и В, мы получим сходящийся матричный ряд, который определит некоторую матрицу, обозначаемую через г".(А, В). Однако доказывать сходимость эгого ряда в общем случае мы не будем, так как ниже рассматриваются лишь такие частные случаи, в которых имее.гся к о и е ч н о е ч и сло членов, зависящих от г, так что фактически речь идет о сходящихся рядах одного комплексного переменного те.

В) Пусть г" (з, те) — аналитическая функция двух переменных, определенная рядом (12), сходящимся при всех значениях г, тв, и А — заданная матрица, Пусть, далее, каждому собственному значению Х, матрицы А поставлено в соответствие число ри удовлетворяющее условиям д г'Р. Р)ФО 1=1,..., Г. (13) д Тогда существует перестановочная с А матрица В, удовлетворяющая условию Г(А, В)=0. (14) Далее, если коэффициенты ряда (12) и матрица А действительны и если для каждых двух' комплексно сопряженных собственных довлвлщ!ие !!. лг!неп!!Ая АлГеБРА вначений Л! и Л~ — — Л! матрицы А соответствующие числа рч и р.

также комплексно сопряжены: р,=р,, то существует действительная перестаповочная с А матрица В, удовлетворяющая услови!о (14). Докажем предложение В). Из соотношений (13) в силу теоремы о пеявпых функциях комплексного переменного следует, что для любого 1=1,..., г существует функция И'(г)=Ж;(д), определенная для значений х, близких к 1ч, и удовлетворяющая условиям е(г, ю(г))=0, Г(Л,.)=рч, 1= — 1,..., г.

(15) (16) Для нахождения производных 1т'1~'(Л;) функции В'(а) в точке г=Л! нужно последовательно дифференцировать соотношение (15) по г, подставляя в нем затем а=Л,; (1 7) Из этих соотношений мо:кпо последовательно определиггь числа В"~'(Л!), у= 1,..., л; — 1, 1=1,..., г. (18) Исходя нз чисел (18), (18), построим ыпг>го!лен ср(г), удоплегпоряющий условиям (4). Покажем, что матрица В=ср(А), очевидно, перестаповочпая с А, удовлетворяет условию (14). Для доказательства подставим и ряд (12) значение то= ~(а).

Мы получим тогда фуикци!о Ф(а)=Г(г, ср(г)) переыенноио г. Для докавательства равенства (! 4) достаточно установит!ч что функция Ф (д) равна нулю на спектре матрицы А (см. теорему 29). При вычислении производных Ф! ! (Л;) функции Ф(а) в точке Лн /= О, 1,..., л, — 1, мы можем многочлен у(г) заменить функцией 1р'(а), так как у этих функций производные порядков О, 1,..., /г! — 1 в точке Л, соответствещю равны. 11о при замене в Г(х, у(а)) многочлена м(х) функцией %'(а), определенной вблизи Лн мы получаем тождественный нуль (см.

(1о)). Таким образом, функция Ф(г) обращается в нуль па спектре матрицы А. Дока>кем теперь, что если коэффициенты ряда (12) и матрица А действительны, а числа р; удовлетворя!от условиям сопряженности, т. е. 1р'(Л,) = Ю'(Л!), г = 1, ..., г, то многочлеп т(а), а следовательно, и матрица В = 4~ (А) действительны. В самом деле, прл этих предположениях числ1 !1:ч" (Л,), вычисляемые из условий (17), удовлетворяют условиям (б), и ~отому многочлен ~(~) действителен (см. Б)). Итак, предложение В) доказано. жОРдАноВА ФОРмл матрицы Г) Аналитическая функция е' комплексного переменного и определяется рядом ' =1+'+гТ+ "'+ 1+ '"' (10) который сходится при всех значениях переменного я.

Как известно, для двух произвольных комплексных чисел л и гв имеет место тождество е'+"=е' ея', вытекающее нз свойств ряда (10). Отсюда слеаует, что для двух перестановочных между собой квадратных матриц А н В имеет место тождество еА+  — еА. ев (20) Оказывается, что для любой невырожденной матрицы А существует перестаповочная с А матрица В, удовлетворяющая условию ев — А (21) Далее оказывается, что для любой действительной невмрожденной матрицы А существует действительная матрица Вт, нараагнмннощан с А и удовлетворяющая условию ев~ Аа Для доказательства разрешимости уравнения (21) отмфснтельнф В достаточно применить предложение В) к функции Р(х,тн) же~ — д. В самом деле, так как матрица А ненырождана, то все ее собственные значения Л; отличны от нуля, и потому существуют числа 1ь ° удовлетворяюшие условию е~я — Л;=О (см.

первое из соотнотненнй (13)), причем второе из соотношений (13) здесь, очевидно, выполнено. Для доказательства существовании действительной матрицы Ва, удовлетворяющей условию (22), достаточно к функции Р(х, м)~ е~ — я' применить вторую часть предложения В). В самом делаь если Л; есть действительное, положительное или отрнцательиоа чясло, то положим р;=1пЛ1, взяв действительную ветвь логарифма, Если же Л,— комплексное число, то за В(Л,.) н Ю(Ц) можно принять комплексно сопряженные числа. Итак, предложение Г) доказано. В 36. Жорданова форма матрицы А) Последовательность векторов Ьо ..., уа~ пространства Я называется серией е собственным значением Х относительно преобразования А, если выполнены соотношения йтФ О; АЬ,=Лаан АЬ„=ЛУаа+1ьп ..., АВ„=Лй„, +й ДОБАВЛЕНИЕ Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Если матрица А преобразования А действительна, то последовательеюсть Ь„..., йы, (2) очевидно, образует серию с собственным значением Л.

Серии (1) и (2) будем называть комплексно сопряженными. Если число Л и векторы (1) действительны, то серия считается деиствительной. 'Тсо рема 30. Суиаествуе1п базис пространства )х, состоягций из всех векторов одной или нескольких серий относительно преобразования А. Если матрпиа А действительна, то серии, составляющие баЗис, можно выбрать так, чтобы серии с дейсгпвительными собственными значениями были действительнымп, а серии с комплексными собственными значениями были попарно сопряжены.

Дои а за тель ство. Пусть Д (с) = (» — Л1)ь! ... (а Л )ьг (3) — мипимальныя аннулирующий матрицу А многочлен, где — попарно различные собствеппые значения матрицы А. В силу предложения Ж) 5 34 пространство тх можно разбить в прямую сумму его подпрострапств 8„..., 8„, соответству1оших множителям (3), так что пространство 8, состоит из всех векторов х„удозлетзоря1ощих услови1о (А — Л,Е) 'х=О. Это значит, что анпулнрующим многочлепом преобразования А, рассматриваемого па пространстве 8„ является мпогочлеп (г — 1ч) '.

Легко видеть, что этот многочлеп является минимальным. Допустим, что матрица А действительна. Объединим сначала все множители из (3) с действительными Л1 в мпоягнге1гь Д, (=), а все остальные — в множитель Да(а). Тогда Д(а)=Д,(е)Д,( ) ссгь раз-. ложение на действительные взаимно прОстые множитсл;1„н соответствующее разложение пространства Я в пряму1о сумму подпрострапств Я1 и Ц, можно считать действительным. Пространство К1 разобьем теперь в прямую сумму действительных слагаемых, соответству1оших действительным собственным значениям Лп и в этих действительных прямых слагаемых мы в дальнейшем построим базисы, состоящие из действительных серий. Пространство Я, разобьем на попарно комплексно сопряженные прямые слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным собственным значениям, и в этих комплексно сопряженных пространствах мы в дальнейшем построим базисы„состоящие из комплексно сопряженных серий; при этом достаточно построить базис из серий в одном из двух комплексно сопряженных пространств, а во втором взять комплексно сопряженный базис, ЖОРдАНОВА ФОРМА МАТРННЪ| Итак, нам достаточно доказать, что если линейное преобразование А, действующее в векторном пространстве 8, имеет минимальный аннулирующнй многочлен (з — !), то в этом пространстве можно выбрать базис, состоящий из серий относительно преобразования Я, причем из серий действительных, если пространство 8, матрица А и число Х действительны.

Перейдем к доказательству этого утверждения. Для краткости положим С= А — АЕ и обозначим через Т; совокупность всех вектеров х из 8, удовлетворяющих условию Сех= О. Мы имеем тогда 8= Т ! Т '~„, 3 Т' .) Те=О. Пусть й';, ..., й!' (1 = 1, ..., й) — система векторов из Т, линейно независимых относительно про- ! странства Тч ', это значит, что вектор аей!+... + а,й! может принадлежать пространству Т! ' лишь при условии а,=...=а,=О. Покажем, что при фиксированных 1 и ? векторы й,'. = С'й;.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,55 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее