Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Здесь это доказываться не будет. 3) Пусть Я и Я вЂ” два евклидовых векторных пространства и у — непрерывное отображение некоторого открытого множества 0 из 1с в пространство 8. Оказывается, что прообраз )"' '(Н) л~обого открытого множества Н пространства 8 является открытым множеством пространства Я. Докажем это. Пусть Н вЂ” произвольное открытое множество .из 8 и а — точка множества У '(Н). Так как Н вЂ” открытое множество и точка Ь =у (а) принадлежит ему, то существует окрестность точки Ь, содержащаяся в Н.
Окрестность Ь' есть щар некоторого положительно~о радиуса а с центром в Ь. В силу непрерывности отображения у существует такое положительное число 0, что при ~ х — а ~ ~ я (здесь х — точка из О) имеем 1у (х) — у (а) ~ ( а. Так как 294 дОБАВление 1. ИекотОРые ВОпРОсы АИАлкзА аь х,; а„х„; ...; а», х», ..., для которых выполнены условия ~у(х») — у(а»)( ~е, А=1, 2, 11ш ~х„— а»! =О. (17) (18) Так как последовательность а„..., а», ... солержится а замкнутом ограниченном множестве Р, то из нее можно выбрать подпоследовательцость, сходящуюся к некоторой точке а из Р. Зля того чтобы це менять обозна <ения, будем считать, что сама послеловательность а„..., а», ... сходится к а.
Так мак функция у' непрерывна в точке а, то существует такое положительное число 3, гго ири ~ х — а1(8 мы имеем (~(х) — у(а) ~ ( —,. 2' Ввиду того, что последовательность аь ..., а», ... схолится к а и имсет место соотношение (18), найдется настолько большой помер А, что 1໠— а~(Ь, 1х» — а!(Ь (см. (3)). Йля такого А мы имеем 1У(Х») — У"(а») ~ С'17 (х„) — У(а) 3+ '1Х(а») — У(а) $ С" 2 ° —, что противоречит неравенству (17). ,((окажем теперь, что множество у(Р) компактно.
Пусть М вЂ” произвольное бесконечное множество точек из у(Р), Из множества М можно выбрать бесконечную последовательность попарно различных точек (19) б1> ° ° ° > б»> Для каждой точки Ь» этой последовательности выберем такую точку а — точка открытого множества О, то существует шар с центром в а некоторого радиуса г, содержащийся в О.
Пусть а — наименьшее из чисел В и г; тогда шар радиуса а в центром в а, очевидно, содержится в множестве у '(гт). Следовательно, это множество открыто. И) Пусть К и 8 — два евклидовых векторных пространства, à — замкнутое и ограниченное (т. е. комдактное) множество из Я и у — непрерывное отображение множества Р з пространство Ю. Оказывается тогда, что отображение у равномерно непрерывно, а множество у(Р) является замкнутым и ограниченным (т. е. компактным).
Ив последнего вытекает, в частности, что непрерывная числовая функция.г, определенная на компактном множестве Р, имеет максимум и минимум. Йокажем прежде всего, что отображение у равномерно непрерывно. Допустим противоположное; тогдз существует такое положительное число в, что при любом положительном 3 найдутся две точки а и х вв Р, для которых 1х — а ~ ( 6, а 1у (х) — ~'(а) ~ ~ в. Пользуясь этим, можно построить бесконечную последовательность пар точек э а21 топологичвскив своиствл ввклидовых пэостиаиств 29й а, из Р, что ~(а,)=Ь„Ь=1, 2, ... Точки а„..., ам ...
попарно различны и потому имеют предельную точку а в множестве Р. Покажем, что точка Ь =у (и) является предельной для множества (101. Пусть Р— произвольная окрестность точки Ь, т, е. шар некоторого радиуса с > 0 с центром в Ь. Так как функция у непрерывна в точке а, то существует такое положительное число В, что при [ х — а ) ( В (здесь х — точка иэ Р) !~(х) — у (а) / ( а.
Так как точка и является предельной для множества точек а„..., ам ..., то в Йвре (У радиуса В с центром а найдутся, по крайней мере, две различные точки а„и а, этого множества. Точки Ьа и Ь, принадлежат шару К и так как они различны, то, по крайней мере, одна из них не совпа; дает с точкой Ь. Таким образом, произвольная окрестность 1'точки Ь содержит хотя бы одну точку множества (19), отличную от Ь. Слег довательно, Ь является предельной точкой для множества (19), а потому и для множества М. Таким образом, множество ~Г(Р) компактно.
Если размерность пространства 8 равна 1, то у =У есть числовая функция. В этом случае множество г(Р) есть замкнутое ограниченное множество действительных чисел. Точные верхняя и нижняя грани множества у(Р) конечны и принадлежат ему. Точная верхняя грань множества у(Р) есть максимум функции 7, а точная нижняя грань — ее минимум. Таким образом, предложение И) доказано. Примеры Рассмотрим некоторые примеры непрерывнмх функций. 1.
Пусть Я и 8 — два евклидовых пространства. Каждой точке х = (х', ..., ха) пространства Й поставим в соответствие точку у=(у', ..., уч) пространства Ю, положив ф= ~' а~х'+ Ь~, (120) Здесь а/ — некоторые числа, составляющие матрицу А=(а~), а Ь~— числа, составляющие вектор Ь = (Ь', ..., Ьа). Система скалярных соотношений (20) в векторной форме записывается в виде: (21) Соотношение (21) определяет так называемое аффпнное отображение пространства Я в пространство Я. Докажем, что аффинное отображение непрерывно. Для краткости обозначим его одной буквой у.
Пусть х, и ха — две точки из Я, расстояние между которыми ~х~ — ха~ ( В. Оценим расстояние между 29В ДОВАВЛЕННЕ Е НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА точками у,=~(хг) и у,=~(х,) в пространстве 8. Мы имеем: у! — уз= А (х, — хя), или в скалярной форме Р у,' — у!= — у, а,!(х,! — х,'), /=1, ..., ». (22) Пусть Т вЂ” максимальное из чисел ! а~ 1 так что ! а~ ! ~ Т для всех 1, г.
Так как ~х,— х,!(Ь, то ~х,' — х,'~(8. Из этих неравенств, в силу соотношения (22), получаем: ~у,' — у! ~(рА )=1 ". ». Возводя это соотношение в квадрат, суммируя по )' и извлекая затем квадратный корень, получим ~у, — у, ( ( ЬрТ ь' ». Таким образом, чтобы было выполнено неравенство ~у, — у„( (а, достаточно взять .с в( — '=-. Мы видим, что аффинное отображение пе только пепре- РТ г' » рывно, но и равномерно непрерывно. Из доказанного следует (см.
3)), что если Π— некоторое открытое множество пространства 8, то его прообраз у '(гт) при аффипном отображении у есть открытое множество в й. Если матрица А — квадратная (т. е. р = ») и невырожденпая (т. е. детерминант ее отличен от нуля), то система соотношений (20) может быть разрешена относительно неизвестных х', ..., х", так что векгор х однозначно выражается через вектор у: х= Су+ Ф. Это значит, что аффинное отображение у имеет в этом случае обратное ему отображение у ', также являющееся аффинным. При этом открытые множества пространства К переходят в открыт!ле множества пространства 8; то же самое имеет место и для их дополнений, т, е.
для замкнутых множеств. Если невырождепное аффинное отображение у пространства Я на пространство Я трактовать как преобразование координат в пространстве й, при котором меняется понятие о расстоянии, то мы видим, что топологичесние свойства (огвнрытость и замкнутость множеств) не зависят от системы координат, через ноторую определяется расстояние между точналги. 2. Пусть Я вЂ” евклидово пространство и а — некоторый его вектор, отличный от пуля. Каждому вектору х из Й поставим в соответствие число у=у(х), положив у=(а, х). Функция г, очевидно, является аффннным отображением пространства гх в пространство действительных чисел и потому непрерывна.
Таким а зй топологйчвскивсвоиствя'ввилидовых пРостгАнств $97 образом, прообраз любого открытого множества действйййлйык чисел является открытым. Множество всех действительных чисел у,„удовлетворяющих неравенству у(» или у~», открыто, Прообуав етого множества'в пространстве Я определяется неравенсввевгфц ай)м" » пли (а, х))». Эти неравенства определяют в прострам(ййв ф!~~вмрилама лолулрострамства, на которые пространство Я раабмийвяся гиперплоскостью (а, х)=а.
Дополнения к этим открытии'«иеаупространствам определяются неравенствами (а, х) =ив» м (и, Х)~а Эти полупространства з а м к н у т ы,: таи как являются дополменииыи к открытым. Конечная система неравенств (а,, х) (»„..., (а„, х) ч' аа, где ам ..., аа — векторы,. »о ..., »» — числа, .определяет, в пространстве Я открытыми.,иыпук~щаВ (йьобще говоря, неограричендый) многогранник, Ои. является открытым 'мщнквстанам, поскольку«получен как пересечение нескольких. открытых,подупрйдтраидФ. «~~вччо так же конечная система неравенств (п„х) ~»„..., (ам х)-"и»а определяет в пространстве )с выпуклый замхлутый мнегогракмймг би является замкнутым множеством как пересечение замкнутых' полупространств.
3. Пусть Я вЂ” евклидово'пространство, а Л и М вЂ” два'его 'ййймножества, Расстокниям 'между,Ыножестйами Е и, М иаваавайрай,очная нижняя грань всех чисел"|х — р1; где х — ироизйольная Мбчка из Е, а у — произвольная точка из М."Если' множество А содержит лишь одну точку х, то мы получаем расстояние у(х) точки х до множества М, которое является числовой функцией точки х пространства Й.
Легко видеть, что расстояние ~(х) точки х до множества М''обращается в нуль только тогда, когда точка х либо принадлежит множеству М, либо является предельной для него. Таким образом, в случае замкнутого множества М из соотношения ~(х)=0 следует, что х принадлежит М. Докажем, что расстояние г(х) точки х до множества М есть непрерывная функция.
Пусть х и у — две точки из К расстояние между которыми меньше к ~х — у~< к и и — произвольная точка ив М; тогда мы имеем, в силу неравенства (3): У(х) ~ ~ х — а ~:==- ~ х — у1+ ~у — а~. Так как вто неравенство справедливо для любой точки а множества М, то оно останется справедливым, если мы заменим в нем правую часть ее точной нижней гранью (когда точка а пробегает 298 ДОБАВление е некотОРые ВОпРОсы Анллизх все множество М): У'(Х) ~ ) Х вЂ” У ~+У(У)С, е+У(У).
Таким образом, 1 (х) — г (у)(е. Точно так же доказывается, что У(у) — ~(х) ( е. Из этих двух неравенств следует, что / у(х) — у (у) !< е. Таким образом, из неравенства !х — у !< е вытекает, что !~(х) †у (у)/ (е, а это значит, что функция г(х) не только непрерывна, но и равномерно непрерывна. Так как расстояние г(х) точки х до множества М есть непрерывная функция, то неравенства г(х) (е и г (х) >е определяют в пространстве (т' открытые множества (см. 3)).
Дополнительные мном<ества определяются неравенствами ~(х) ~е и ~(х) = и. Таким образом, определяемые этими неравенствами множества замкнуты. В частности, множество М, определяемое неравенством 1(х) ( О, замкнуто. Множество М получается из М присоединением к нему всех его предельных точек и называется замыканием множества М. Если множество М ограничено, то множество, определяемое неравенством г(х)~ е, не только замкнуто, но, как легко видеть, я ограничено. Если' замкнутое ограниченное множество Р не пересекается с замкнутым множеством М, то расстояние между этими множествами положительно. Для доказательства обозначим вновь через г(х) расстояние точки х до множества М, Так как функция У(х) непрерывна, то на замкнутом ограниченном множестве Р она имеет минимум т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
