Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В силу периодичности системы (25) по чь и периодичности преобразования(20) существуют лишь дза решения системы (19), соответствующие устойчивым усам седел системы (25), проходящим при р >О, и эти решения системы (19) асимптотически приближаются к положению равновесия О, касаясь прямой Я и подходя к О с противоположных сторон. Решениям системы (25), стремящимся к устойчивым узлам, соответствуют решения системы (19), стремящиеся к положению равновесия О и касающиеся при подходе к О прямой Р. Таким образом, теорема 23 доказана. Т ео р ем а 24. Допустим, что начало координат О системы (1) представляет собой фокус, т.
е. собственные значения матрицы (а') являются комплексно сопряженными числами ). = 1х + Ь, $ 301 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ 267 В силу (32) находила (41) С другой стороны, равенство (39) для многочлена (40) имеет вид: Б~'"'")= ЧХ' " - Х4 1=! а Правые части равенств (41) и (42) должны совпадать при 1РРС, а, р =,6 О, а так как числа а„..., и»+! произвольны, то ив этого вытекает равенство нулю чисел Ь„ ..., Ь» и соотношение (Зб). Таким образом, формула (34) доказана. Введем в рассмотрение функцию Е»(р, <р), Ф= О, 1, „„ а, положив: < Е.»(р, р) — х при рче0, Д» ! К(Р Т)1 аР ~ о" к(о, т) !„(о, р! = „ — , — „ Р (43) Из равенств (34) и (Зб) следует, что Е»(р, р) есть непрерывная функция пары переменных р, !р во всей области Ф.
Очевидно, что при р =,Ф 0 выполнены равенства Е»+! (р, у) = — ~'— , л = О, 1,..., а — !. И»(Р, ) Р Докажем, что эти равенства справедливы и при р = О. Пусть 0(рл<' », 0<' р(»; тогда мы имеем; Е-»(Р !Р) = ~-»(Ро !Р)+ $ ~-»+! ( 'Р)'Й (43) (44) Так как функции, стоящие в левой и правой частях этого равенства, непрерывны, то равенство это справедливо и при Р=О, так 9' где Ь! и Т~ — константы, не зависящие (при каждом фиксированном л) от выбора функции 0(р, р).
Для доказательства соотношения (34) достаточно теперь установить, что константы Ь„..., Ь» равны нулю, а константы Т!„Т...„Т удовлетворяют условию (35). Так как перечисленные константы не зависят от выбора функции 0(р, !Р), то укаэанные их свойства достаточно установить для функций 0(р, !Р) какого-либо специального вида. Рассмотрим случай, когда 0 (р, р) является многочленом: »+! (40) !! (гл. а хстопчи вость что мы имеем: о г,<в, р<=г,<р. р<~-1г„,<<, р<вг Рв Вычитая соотношение (46) из (46) и деля результат на р, находим: (46) Аь+г(Е 'р)дЕ 1.,(р, т) — 1.,(о, т) а 0). (р>О .
Р а это в значит, что функция И(р, <р) обладает всеми непрерывными частными производными до порядка г включительно. Итак, предложение Г) доказано. 11 31. Устойчивость периодических решений В этом параграфе будет рассматриваться вопрос об устойчивости периодических решений автономных систем, з также систем с периодическими правыми частями. Понятие устойчивости В параграфе 26 уже было дано определение устойчивости по Ляпунову положения равновесия автономной системы. Здесь мы, прежде всего, дадим определение устойчивости по Ляпунову решения произвольной системы уравнений. Пусть х=у(1 х) —, векторная запись произвольной нормальной системы уравнений ду' (6 х) порядка л, правые части которой вместе с их производными — — ~— дх определены и непрерывны нз некотором открытом множестве Г пространства переменных 1, х. Решение уравнения (1) с начальными значениями О, й обозначим через вр(1, а, 4).
Переходя к пределу при рр.О, мы видим, что правая производная функции 1.ь(р, <в) по р в точка р=О существует и равна 1.а,(0, <р). Точно так же доказывается, что и левая производная равна Еь+, (О, р). Таким образом, равенство (44) справедливо во всей области В', Из соотношений (43), (32) при Й=О, з=г следуют равенства (30), (31), а из соотношений (44) и (32) следует, что функция И(рг<р) обладзет непрерывной производной др-8+<гд ( т) О-с-й,я-з, 0 з~г, драдт ' 269 хстопчивость -пи иодичвских вешании Фи! Определение. Решение <р(Е) уравнения (1) с начальными значениями 1„х, называется устойчивым ло Лллунову, если выполнены условия: 1) Существует такое положительное число р, что при ~х,— ха~~" р решение ~р(1, ~м х,) определено для Бух значений 1= 1м в частности и само решение ~р(1) определено для всех 1)4„.
2) Для всякого положительного числа е можно подобрать такое положительное число О р, что при ~х, — х,~< Ь выполнено неравенство ~~р(8, 1„х,) — ~р(1)! в при 1~8,. Устойчивое по Ляпунову решение ~р(1) уравнения (1) с начальными значениями 1„ха называется аспмптотичсскп устойчивым, если найдется такое положительное число а р, что при )х,— ха)< в имеем: )ц>(1, 1„х,) — ц (1)) - О нри 1- оо. Приведенные здесь определения устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости инвариантны относительно случайного выбора начальных значений 1а, х„решения ~р(ф Это легко может быть выведено из предложения Д) ф 23. В частном случае, когда система (1) автономна, а решение ~р(1) есть положение равновесия, приведенные здесь определения устойчивости совпадают с данными в $26.
Ниже будут рассмотрены системы (1), правые части которыя зависят от 1 периодически с периодом гс Ю+т х)=У(1 х). (2) а также системы (1), являющиеся автономными: У(1. х) =г (х). В том и другом случае будет исследоваться вопрос об устойчивости периодического решения ~р(1) периода ч: ~р (г + ) = т (г) (4) х=гр(г)+у которое в случае автономной системы будет предполагаться отличным от положения равновесия. В случае периодической системы (см. (2)) будут даны достаточные условия асимптотической устойчивости решения (4) периода ч. Автономная система является частным случаем периодической, и потому можно было бы ожидать, что эти условия применимы и для периодического решения автономной системы.
Оказывается, однако, что для нее они невыполнимы (периодическое решение автономной системы не может быть асимптотически устойчивым), и потому для устойчивости по Ляпунову периодического решения автопомиой системы даются другие, более слабые условия. А) Для того чтобы изучить поведение решений уравнения (1) вблизи решения <р я, введем новую неизвестную векторную фу пкцию у, положив; 270 1гл.
ь УСТОИЧИ ВОСТЬ В дальнейшем мы будем считать, что правые части системы (1) имеют на множестве Г вторые непрерывные производные по координатам вектора х. Произведя в системе (1) замену переменных (5), принимая во внимание, что «р(1) есть решение уравнения (1), и разлагая правые части по р, получаем: (6) / Лииеар««в,.я эту систему, т. е. отбрасывая члены г' второго порядка малости относительно у, получаем линейную систему: у = А (1) )«, (7) где А (1) — матрица с элементами а«(1) = — а-' — —.
дг«(б «р(Т)) Будем считать теперь, что правая часть уравнения (1) — периодиче- ская периода т по 1 (см. (2)) и что решение «р(1) — также периоди- ческое периода т. При этих предположениях линейная система (7) является периодическои периода «с а' (1 + «) = а'. (1), 1, 7' = 1, ..., а, так что можно говорить о ее характеристических числах (см. 9 19, Д)). Оказывается, что в случае, когда система (1) автономна (см. (3)), а ее периодическое решение «р(1) отлично от положения равновесия, линейная система (7) обязательно имеет одно характеристическое число равным единице. Докажем последнее утверждение. Пусть «К (1) — матрица, удовлет- всря«ошая матричному уравнению Ф= А(1) «)г с пачальиыл« условием Ч" (1«) = Е, и пусть С вЂ” основная матрица решения «1'(Х) (см.
19, А)), так что % (1 + т) = «1г (1) С. (9) Непосредственно проверяется, что всякое решение 'ф(1) векторного уравнения (7) записывается в виде: ,Р(() = Р(1) Ц,(1,). Ив этого и из соотноше««ий (8) и (9) следует Ф (1«+ т) = СФ (1а)- (1()) Примем теперь ио вниь«ание, что система (1) автономна. Мы им««м (см. (3)): 9 (1) =.) (~(1В 2?1 ан1 устойчивость пииноднчиских эзшвнии дифференцируя это соотношение по а, получаем: Ф (1) = А (1) ф (1). Таким образом, векторная функция ф(8) удовлетворяет векторному уравнению (7). Но векторная функция ф(1) является периодической с периодом ч; таким образом, из (10) получаем: (11) а так как ф(Юь) „-е О (ибо ш(й) не есть положение равновесии), то из этого следует, что матрица С имеет собственное значение, равное единице, и, следовательно, одно из характеристических чисел уравнения (7) равно единице.
Теоремы Ляпунова и Андронова — Витта Теперь мы можем формулировать достаточные условия устойчивости периодического решения ~р(Ф) для случзи, когда система (1) периодична, и для случая, когда она автономна. Теорема 25. Пусть уравнение (1) периодично по 1 с периодом ч (см. (2)) и ер(1) — его периодическое решение также периода ч (см. (4)). Если все характеристические числа уравнения (7) (см. $19,Д)) по модулю меньше единицы, то решение <р(1) аспмптотически устойчиво; более того, суиьествует такое число е >О, что при ~Х1 — Хь~< в имеет место оценка: 3ф(г1 4.
х] — ф %1<ге ~' '~! х,-х,$, 1> гь. П21 где г и а — два положипгельных числа, не зависягцих от хп Теорема 26. Пусть уравнение (1) автономно, и ф(1) — его периодическое решение периода;, отличное от положения равновесия. Если характеристическое число уравнения (7), равное единице, имеет кратность единица, а все остальные характеристические числа уравнения (7) по модулю меньше единицы, то решение ф(1) устойчиво по Ляпунову. Теорема 25 принадлежит Ляпунову. Теорема 26 прнпздлежнт Андронову н Витту, которые получилн ее как довольно простое следствие одной весьма тонкой теоремы Ляпунова. Здесь дается другое доказзтельство теоремы 26, опиракщееся на метод Ляпунова. Доказательствам теорем 25 и 26 предпошлеи построения, нужные в обоих случаях.
В $ 26 было дано определение производной некоторой функции в силу автономной системы уравнений. Дадим его здесь для случая неавтономной системы. Б) Пусть Е(х) =Р(х',;, х") 272 !г.а 'устоичивость — некоторая скалярная функция векторного переменного х. ПроизВОдиуЮ Р,,1(1Е, ХЕ) ЭтОИ фуНКцнн В СИЛУ СИСТЕМЫ (1) В ТОЧКЕ !е, Х„ определим следующим образом. Пусть ер(1) — решение уравнения (!) с начальными значениями (м х,. Положим: » РО>(ее «е)= » ~(Ч>(е)) Осуществляя указанное справа дифференцирование, получаем: Р„>((, х)= ~)~~ —,))" (Ю, х). г=-1 В случае, если система (1) автономна, производная РО1(Ф, х) функыми Р(х) в силу системы (1) в точке 1, х не зависит от б В) Пусть л=Вг+р(1, х) ,(13) — нормальная система дифференциальных уравнений в векторной записи, где В=(Ь') — постоянная матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные действительные части, а р(1, г)— остаточный член, определенный при 1~1„(а~(с (с >О) и допускающий оценку )Р(! «)~-=р'1а'!', (14) где р — положительное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
