Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Дифференцируя соотношение (46) по и', ..., и" ' при и=О, С=С,+ +х, О=О в предположении, что ~=~(и) н е=)((п) — функции переменных и', ..., и" ', получим равенство С~ =М. (50) В случае, когда л=2, матрица С' есть скаляр Х, и соотношение (50) дает равенство (42).
Если все собственные аначения матрицы С* по модулю меньше единицы, то вблизи траектории К нет периодических решений никакой кратности. Это следует иа оценки (36). ДОБАВЛЕНИЕ 1 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА Это добавление содержит два параграфа, посвященных двум совершенно различным вопросам анализа. В й 32 приведены основные факты, относящиеся к понятию непрерывности в пространстве многих переменных; важное место в этом параграфе.
занимает понятие открытого множества..Я придаю существенное значение тому, что правые части дифференциальных уравнений считаются заданными на от к р ы ты х множествах. Точно так же я считано существенным, что решение, зависящее от параметров, оказывается естественным образом определенным на открытом множестве (см.
теорему ! 3). В связи с этим четкое понимание того, что представляет собой открытое множество, совершенно необходимо для понимания теорем сушесгвования решений обыкновенных диффереп. циальных уравнений. В $ ЗЗ приведено доказательство теорем существования неявных функций и некоторые их применения. Вопросы, затронутые в этих двух параграфах, не всегда с достаточной точностью и полнотой освещаются в курсе анализа, и потому я позволил себе включить их в эту книгу. й 32. Топологические свойства евклидовых пространств В анализе важную роль играет геометрическое изображение или, как говорят, геометрическая ингерпретация аналитических соотношений, т. е. формул. Геометрическая интерпретация дает возможность устгнювнть связь между формулами и геометрическими образами и тем самым на помощь анализу привлекает геометрическую интуицию.
Образец такой связи между формулами и геометрическими образамн дает аналитическая геометрия. В прямом смысле слова геометрические образы могут рассматриваться на плоскости и в трехмерном пространстве, но анализ, имеющий дело с многими переменными, пользуется геометрическим языком и в многомерных пространствах.
Здесь мы $ 321 ТОПОЛОГИЧЕСКИВ СВОЙСТВА ВВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Щб будем рассматривать многомерные евклидовы пространства, представляя их себе одновременно как векторные. Важнейшими геометрическими свойствами геометрических образов являются топологические свойства; на простейших ив них мы здесь и остановимся. Евклидовы пространства Напомним прежде всего понятие и-мерного евклидова векторного пространства. Л) Ьудем называть и-мерным вектором последовательность из и действительных чисел; числа эти называются координатами вектора. Их мы, как правило, будем обозначать одной и той же буквой с номерами в виде индексов наверху, например через х', х~, ..., х"; сам вектор будем обозначать той же буквой, только жирной, в данном случае — буквой х.
Формулой это запишем в виде: х=(х', х~, ..., х"). Совокупность всех и-мерных векторов будем называть и-мерным векторным пространством и обозначать одной большой буквой, например через гс. Сумма и разность двух векторов х=(х', х",,„., х"), у=(у', у", ..., у") определяются формулами: х+у=(х'+у'... х" +у"); Произведение вектора х на действительное числов определяется фор- мулой ах=(ах', ..., ах"). Особу1о роль в векторном пространстве играет нулевой вектор О, все координаты которого равны нулю.
Таким образом, в векторном прострайстве определены алгебраические операции сложения и вычитании векторов и умножения вектора иа число. В евклидовом векторном пространстве определена, кроме того, операция скалярного произведения двух векторов. Именно, если х и у — два произвольных вектора, то в соответствие им ставится число (х, у), называемое их скалярным произведением и определяемое формулой (х, у) = х'у'+ ...
+ х"у'. Если вектор у совпадает с вектором х, то мы получаем скалярный квадрат (х, х)=х' этого вектора, который всегда неотрицателен и обращается в пуль только при х=О. Длина, или модуль, вектора х определяется формулой ~х1=+3~с(х, х). В дальнейшем мы часто будем векторы называть также точками 286 довлвление т. некотовые ВОпРОсы Анллйзд евклидова пространства Я. За расстояние между двумя точквмн х я у принимается модуль разности векторов х и у, т. е. число ~ х — у !.
Установим теперь некоторые основные неравенства для скалярного произведеиня н расстояния в евклндовом пространстве. Ь) Для любых двух векторов х н у евклидова векторного пространства имеют место неравенства: (х, у)' -"== х'у', ! х + у ~ =с. ~ х ! + ~ у ~. (5) () Далее, для любых трех точек а, Ь, с евклидова пространства имеет место неравенство ~а — с) ~~а — Ь~+~Ь вЂ” с1. (:5) Для доказательства первого неравенства рассмотрим вектор ах +у, где а — произвольное действительное число, н составим скалярнын квадрат этого вектора. Мы имеем: (ах+у)" = аяхя+ 2а(х, у)+уз, Так как скалярный квадрат вектора не может быть отрицательным, то величина, стоящая в правой части последнего равенства, нн иря каком значении а не может ирнинмагь отрицательного значения, в потому квадратное уравнение а" х' + 2а (х, у) + уа = 0 ! х -5-у!'= — (х+у)'=х'+ 2(х, у)+у', а это, и силу неравенства (1), даст: ! х+ у (~ = ! х ~' -+ 2 ( х ! 5 у 1-',— ! у Р = (~ х -~- ~ у ~)Я.
Из этого неносредствешю следует неравенство (2) (так как оба числа 1х ), )у~ неотрнцательиы). Наконец, для доказательства неравенства (3) достаточно в неравенстве (2) положить х=п — Ь, у=Ь вЂ” с. Итак, предложение Ь) доказано. опгосительно неизвестной величины а не может иметь двух различных действвтельпых корней. Отсюда следует, что днскрямннант этого квадратного уравнения, т. е.
получаемое прн его решении подкореннов выражение (х, у)' — ху', неположнтелен, а это и значит, что выполнено неравенство (5). Для доказательства неравенства (2) возведем в квадрат его левую часть; мы будем иметь: ъ»п топологичвскив.свопствл впклидовых прострлнств 287 Огкрытые, замкнутые и ограниченкые подмножества евклидова пространствз Напомним определекия операций объединения и пересечения множеств — в данном случае множеств, расположенных в евклидовом пространстве Я.
Пусть Мь М„..., Мд (4) — произвольная конечная система множеств пространства В Определим множество Ю, считая, что точка х из Я тогда и только тогда принадлежит 8, когда оиа принадлежит хотя бы одному нз множеств (4). Множество 8 называется объединением мкожеств (4). Определим, далее, множество Р, считая, что точка х из Я тогда и только тогда принадлежит множеству Р, когда она принадлежит каждому из множеств (4). Множество Р называется пересечением множеств (4). Пусть М вЂ” произвольное множество из Я. Определим множество 0, считая, что точка х нз»с тогда и только тогда принадлежит множеству О, когда ока не принадлежит множеству М. Множество 0 кавывается дололненггем множества М.
Очевидно, что доиолнеине множества 0 совпадает с М. Пусть 0>, 0ь ..., О» — система множеств, дополнительных к множествам (4), так что 0г является дополнением множества М,. Легко усмотреть, что дополнение х объединению лгножеств (4) >гвллетсн лересечением мновгсеств (б) н, наоборот, дополнение х лересечениги мнив>сеств (4) лвляетси объединением множеств (б). Перейдем теперь к установлению некоторых простейших топологкческкх свойств множеств, рас~оложекных в евклидовом пространстве. Эти свойства, в осковном, связаны с определением понятий открытого и замкнутого мгюжеств в евклндовом простракстве К. В) Пусть а — произвольная точка евклидова пространства гс и г — произвольное положительное число.
Множество всех точек нз К расстояние которых до точки а меньше г, называется шаром радиуса г с центром в а. Всякий шар с центром в а называется окрестностью точки а (ниже — см. пример 3 — понятие окрестности будет расширено). Множество О точек пространства Я казывается отгсрытылб если для всякой точки а из 0 существует ее окрестность, целиком содержащаяся в множестве О. Пусть М вЂ” произвольное множество из Я.
Точка а из Я казывается предельной для множества М, если каждая окрестность точки а содержит точку множества М, отличную от а. В этом случае каждая окрестность точки а обязательно содержит бесконечное множество точек из М. Множество Р точек нз Я казываегся замкнутым, если каждая его предельная 288 довлвлеиив к нвкотоиыв вопросы лнллизд точка принадлежит ему. Оказывается, что дополнение к любому открытому множеству замкнуто, а дополнение к любому замкнутому множеству открыто. Докажем предложение В). Покажем прежде всего, что если каждая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отлич»у>о от а, то оиа содержит бесконечное множество точек множества М.
Пусть У,— произвольная окрестность точки а и г,— ее радиус. Пусть далее х,— отличная от а точка множества М, содержащаяся в Ц. Так как х, ~е а, то (х> — а ~=г,)0. Шар У, радиуса гя с центром в точке а ие содержит точки х„но он содержит некоторую точку х, множества М, отличную от а. Продолжая этот процесс дальше, мы получим бесконечную последовательность х„..., хм ... попарно различных точек множества М, содержащихся в Ц. Докажем последнее утверждение предложения В). Пусть Π— некоторое множество из гс и г" — его дополнение.
Допустим что 0— открытое множество, и докажем, что г".— замкнутое. Пусть а — предельная точка множества г"; покажем, что оиа принадлежит множеСтву г"-, т. е. ие принадлежит множеству О. Допустим противоположное, т. е. что точка а принадлежит О.
Тогда, в силу предположенной открытости множества О, существует окрестность точки а, целиком содержащаяся в О и, следовательно, не содер>кащая точек из г", а это значит, что точка а не является предельной для Г. Допустим теперь, что множество Г замкнуто, и докажем, что множество О открыто. Пусть а — произвольная точка из О. Так как оиа ие принадлежит множеству Г, то в силу замкнутости оиа ие является его предельной точкой и потому существует окрестность точки а, ие содержащая отличных от а точек из Е; но а также не принадлежит г., и потому вся эта окрестность содержится в О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
