Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(4)) вблизи начала координат. / / Доказательство распаляв ~ ся на две главные части: а) доказательство сущестаоваппя уса (/ь подходящего к точке О влоль положительной части оси абсцисс при убывании координаты х; б) доказа-, тельсгао его единственности.
Существование и единственность уса (Г, локагьигаются аналогично. Для рассмотрения усов У, и У. достаточно изменить знак времени г: при у этом устойчивые усы перейдут в неустойчивые и наоборот. Перейлем к доказательству существования уса Ц,. Для этого положим: ы(х, у)=у — аха (в)0) и рассмотрим а плоскости (х, у) параболу, опреиеляемую уравне- нием и (х, у) = О. (8) Парабола (8) разбивает, плоскость на две части: положительную, со- Рис. 59.
держащую положительную полуось ординат, и отрицательную. Положителшгая область является внутренней для и,:раболы. Покажем прежде всего, что, если и — лостаточно большее положительное число, а х дост;точно мало (~х~=а), то все траектории системы (7) (за исключением положения равновесия 0), пересекающие участок ! х ~ ~ а параболы (8), переходят с отрицательной стороны на положительную, т.
е. снаружи внугрь (рис. б9). Для этого вычислим производную ь,;, (х, у) функции в(х, у). В силу системы (7) в точках параболы (8) мы имеем: в ~ т~ (х, пх') =у' — 2ихх = и (~~ — 2Л) ха+ амх'+... (здесь невгаписанныс члены содержат х но крайней мере в З-й степени). Число и 2Л положительно, а функция зн ограничена в окрестности начала координат; поэтому можно выбрать настолько а зо1 Г!Сложения РАВнОВесия АВТОномнои системы 255 большое число а, что Опущенные члены выражения для Го...
(х, ах') имеют, по крайней мере, третий порядок малости по х, и потому существует такое положительное а, что при 1х~~а мы имеем: е(7>(х, аха) О, причем равенство имеет место лишь при х=0, т. е. в точке О. Из доказанного следует, что все траектории системы (1), за исключением положения равновесия О, пересекают рассмотренный участок параболы (8) в направлении роста функции а(х, у), т.
е. снаружи внутрь. Точно так же доказывается, что участок 1х ( = о параболы у+ах =0 (9) пересекается всеми траекториями системы (7), за исключением положения равновесия О, снаружи внутрь (внутренняя часть параболы (9) содержит отрицательную полуось ординат, рис, 60). Рис, 81. Пусть а и Ь вЂ” точки, в которых прямая х=а пересекает соответственно параболы (8) и (9). Рассмотрим треугольник 10, а, Ь), составленный из двух кусков парабол (8) и (9) и прямолинейного отрезка 1а, Ь1.
Если а достаточно мало, то все траектории системы (1), проходящие в треугольнике [О, а, Ь1, идут справа налево (рис. 61), в частности пересекают отрезок 1а„Ь] справа налево, входя в треугольник 10, а, Ь). Это следует из того, что выражение х=Лх+г(х, у) (см. (7)) при 0(х~а, /у~< ах' отрицательно, так как Лс О, а хстопчивость 1г . ь г(х„у) есть «квадратичная форма» по х и р с ограни енными коэффициенгами. Пусть тр(1, р) — траектория системы (7), начинаюц1аяся при Е=О в некоторой точке р интервала (а, Ь).
Эта траектория входит в треугольник [О, а, Ь] через сторону [а, Ь]. Она может при возрастании 1 либо выйти из треугольника через дуги парабол Оа, ОЬ, либо вовсе не выйти из треугольника. В последнем случае траектория при Š— оо асимптотически приближается к точке О. Геометрически видно, что если траектория тр(1, р) выходит из треугольника через дугу Оа, то и траектория гр(С, р'), где р' есть точка интервала (а, р), также выходит из треугольника через дугу Оа (рис. 61). Лалее, если траектория <р(1, р) выходит из треугольника через дугу Оа, то, в силу теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных значений (теорема 14 и предложение Л) й 23), траектория ~р(8, р'), где р' — точка, достаточно близкая к р', также выходит через дугу Оа.
Таким образом, совокупность всех таких точек р интервала (а, Ь), для которых траектория гр(1, р) выходит из треугольника через дугу Оа, составляет некоторый интервал (а, а'), (Этот интервал непуст, т. е. а' ф: а, ибо траектории, начинающиеся в точках р, достаточно близких к а, очевидно, пересекают дугу Оа.) Точно так же совокупность всех таких точек р, для которых траектория ~р(1, р) выходит из треугольника через сторону ОЬ, составляет интервал (Ь, Ь'). Интервалы (а, а') л (Ь, Ь') не могут пересекаться, так что точка а' лежит выше точки Ь или, в крайнем случае, совпадает с ней. (В действительности имеет место совпадение, по это требует еще сравнительно сложного доказательства.) Таким образом, отрезок [а', Ь'] содержит хотя бы одну точку, и потому существует траектория гр(Ф, р,), начинающаяся на отрезке ]а', Ь'] и асимптотически приближающаяся к точке О.
Касательная к траектории <р(Ф, р,) в точке (х, у) имеет угловоп коэффициент ! (,) Ру+ь(А у) тл + г(х, у)' Так как точка (х, у) траектории гр(С, рь) принадлежит треугольнику [О, а, Ь], то ]у](ах', 0(х(е, (101 а из этого следует, что число Й(х, у) остается конечным и при х — () стремится к нулю. С другой стороны, угловой коэффициент /(х, у) секущей, проведенной из точки О в точку (х, у) траектории ~р(1, р„), равен —, а так как имеют место неравенства (10), то при х — 0 у имеем 1(х, у) О, Таким образом, кривая у(1, р ), упирающаяся в точку О, имеет в точке О непрерывную производную и касается оси абсцисс. Траектория гр(1, рь) представляет собой ус Ц.
Ус Ць подходящий к точке О вдоль отрицательной части оси абсцисс, также »ю1 пОлОжения РАВнОВесия Автономной системы 257 касается в точке О оси абсцисс; оба эти уса составляют вместе кривую У с уравнением у=и(х), (1 1) где и'(х) есть непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция переменного х, причем и'(0)=0. Итак, существование устойчивых усов У1 и У„составляющих вместе с точкой 0 кривую У, определязмую уравнением (11), доказано.
Докажем теперь едийственность этих усов. Для этого преобразуем в окрестности начала координат плоскостн (х, у) систему координат так, чтобы .кривая (11) стала осью абсцисс. Мы добьемся этой цели, введя вместо неизвестноМ функцни у новую неизвестную функцию г по формуле у = и (х) + з.
(12) Произведя в системе (7) замену (12), получаем новую систему урав- нений х =7 (х, и (х)+ л) = г" (х, в), (13) ~= (х, и(х)+а) — й(х)У(х, и(х)+г)=0(х, г), где неизвестными функциями являются х и з. Так как функция и(х) имеет непрерывную производную, то функция г" (х, г) имеет непрерывные производные по обеим переменным х и г, а функция 0(х, з) непрерывна по х и имеет непрерывную производную по г.
Однако существование непрерывной производной функции 0(х, г) по х не установлено. Таким образом, не установлено, что для системы (13) выполнены обычные наши предположения о непрерывной дифференцируемости правых частей по всем переменным, являющимся неизвестными функциями. Очевидно, Однако, что каждому решению системы (13) соответствует в силу (12) решенне системы (7) и обратно. Таким образом, по поведению траекторий системы (13) можно судить о поведении траекторий системы (7). Устойчивые усы Ц и У» системы (7) перешли в отрезки оси абсцисс плоскости (х, л), и потому система (13) имеет решения, в которых функция х некоторым образом монотонно меняется, асимптотически приближаясь к нулю, а функция г тождественно равна нулю.
Из этого следует, что 0(х, О) = — О. Ниже будет показано (см. В)), что функция 0(х, з) может быть записана в виде: 0(х, з)=гН(х, г), (и) где гт(х, з) — непрерывная функция перемонных х и в. Из соот- »/»8 Понтрягия Л. С. хстопчи вость (гв. ь ношения (14) в силу непрерывности функции Н(х, х) мы получаем: д0(х, в) .
0(0, г) — 0(0„0) . 00(0, х) в- =Ищ Н(0> х)=Н(0, 0), Но в силу (7) и (13) мы имеем,' ~ =р, так что д0(х, «) ~ н(о, 0)=~. Таким образом, второе из уравнений системы (13) имеет вид: д=хН(х, х), (16) (16) х — ау'=О, х+ аув =0 н прямой у=в (рнс. 62), можно построить треугольник (О, с, 11, обладающий свойствами, аналогичными свойствам треугольника (О, а, Ь1.
Существует лишь одна такая точка дв на интервале (с, д), что выходящая из иее траектория при убывающем 1 асимптотически приближается к точке О я образует неустойчивый ус (г,. Всли точка в лежит на интервале (с, дв), то выходящая из нее при убывающем г траектория пересекает дугу Ос, а если точка и лежит на интервале (пв, а(), то выходящая нз нее прн убывающем г траектория пересекает дугу Оь(. Рассмотрим теперь кривую 7(х, у)=0 (17) (см. (7)). Легко видеть, что она касается оси ординат в точке О. где Н(х, х) близко к р в.окрестностн начала координат и, следовательно, положительно, Из этого следует, что в окрестности начала координат вдоль каждой траектории, отличной от усов У, и Уь, координата х сохраняет знак и по модулю увеличивается прн увеличении г.
Таким образом, нн одна траектория, протекающая вне оси абсцисс плоскости (х, х), не может асимптотически приближаться к точке О, и единственность устойчивых усов Ц и Ув доказана. Теперь доказано, что на интервале (н, Ь) существует лишь одна такая точка р„что выходящая из нее траектория системы (7) при 1 — оо асимптотически приближается к точке О, образуя ус У,. Бслн точка р лежит на интервале (и, рв), то выходящая из нее траектория пересекает дугу Оа, а если точка р лежит на интервале (Ь, р), то выходящая из нее траектория пересекает дугу ОЬ.
Исходя из парабол Ф 301 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ 269 Так как функция у(х, у) имеет вторые непрерывные производные, и потому крнвая (17) имеет в точке О определенный. раднус кривизны, то число в можно выбрать настолько большим, а число а— настолько малым, что на отрезке ~у ~ (в кривая (17) проходит между Рис. 62. параболамн (16) и (16) (рнс. 63). Справа от кривой (17) функция у(х, у) отрицательна, н потому векторы фазовой скорости в точках, лежащих справа от кривой (17), направлены налево. Проведем из точки с вертикальный отрезок 1се), нижний конец е которого лежит У на усе Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
