Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е. если у (па) =,6 1, то точка (и„ и„) их пересечения обязательно изоли овапная. В этом Ф случае траектория К называется гоубылг предельным циклом. При у'(п,)(1 (см. рис. 45) в обеих полуокрестностях очевидно выполнено первое из неравенств (15), и, следовательно, предельный цикл К устойчив. При у'(и„) > 1 (рис. 46) выполнено второе из неравенств (1 5), и, следовательно, предельный цикл К вполне неустойчив.
Если графики (17) и (18) касаются друг друга в точке (и„ па), но кривая (17) переходит с одной стороны биссектрисы (18) на Рис. 45. другую, то предельный цикл К является либо устойчивым, либо вполне неустойчивым. Если же кривая (17), касаясь биссектрисы (18), находится по одну ее сторону (рис. 47), то соответствующий предельн!я!! цикл является полуустойчивым.
Критерий существования предельного цикла Г) Пусть ~р (1) — некоторое решение уравнения (2) (н преизвольно), Определенное для всех значений 1~1„и остающееся для этих значений 1 в замкнутом ограниченном множестве тч, расположенном в Ь. пРедельные Биклы 235 '!очка !» пространства Я г«азывается «аиредельно««точкой решения «((~), если су«цествует такая неограниченно возрастающая последовательность значений (больших г») ~«, ~ь ° ", 1», ..., '!!А 1» — — оо, что !ип «в (1») = р. Совокуп««ость Я всех»«-предельных точек решения «р(г) называется его «»-предел»и«ям множеством.
Оказывается, что множество Я непусто, замкнуто, ограничено и состоит из целых траекториИ; последнее означает, что если точка ф принадлежит й, то решение «р (1, ф) с начальными значениями (О, ф) определено для всех значений 1, и вся траектория «р(1, $) входит в множества й. Очевидно, что»«-предельное множество траектории «р(1, ф) целиком содержится в ьа. Докажем предложение Г). Из замкнутости и ограниченности множества Г следует, что множество ь» (очевидно, содержащееся в г) непусто и ограничена. Покажем, что оно замкнуто. Пусть Р Рь"" «» — некоторая последовательность точек множества»1, сходящаяся к некоторой точке р множества г; докажем, что р прииадлеж;г Я.
Пусть а„а„..., »», ... и л„а„..., а», ... — две такие носледоватес«ьпости положительных чисел, что !ип а»=со, » со 1ип»» — — О; » со мы получаем 1ип «р(! ) =р, » со а это значит, что точка р входит в «а. Покажем теперь, что множество»» состоит из целых траекторий. Пусть й — проиавольная точка множества Я и «р ((, й) — решение с начальными значениями (О, ф).
Пусть, далее, Т вЂ” такое значение переменного ! (оно может быть и отрицательно), для которого решение «р (г, $) определено, так что точка «р(Т, ф) существует. Так как точка ф принадлежит о, то найдется такая неограниченно возрастающая последоватсльнос«ь «ф ... > т», ...1 !«ш 㻠— оо> «с-» со Так как то .ка р» принадлежит о, то найдется такое значение !» ~ а», что расстоя«шс между точкамя р» и «р(») ме«ьп«е а».
Для вь«.с,чпиых значений !« ° ° ° (» ° °; !1п«1» —— оо » со 236 Зстойчмпость что В п1 -р (1ь) = $. (! 01 Так ка!< решение <р(1) опрелелено для всех достаточно болшпих зи;- чений 1, то при заданном Т определены (начиная с некоторого «) точки р (1„+ Т) = р (Т, р (1,)) (см, $26, В)).
Из Формулы (19) в силу теореиы !4 мы имеем: !!шар(1ь+ Т)=1ип ср(Т, ср(! )) =ср(Т, Ц), а из этого следует, что точка ср(Т, ф) прнналлежит множеству ьс, а следовательно, и множеству р. Таким образом, траектория ср(1, ф) не может покинуть множества г' ни при ! возрастаюгцем, ни при Е убывающем, а потому в силу предложения В) $22 она определена для всех значений 1.
Итак, предложение Г) доказано. Рассмотриы некоторые частные случаи в-предельного множества. Если решение ср(1) (см. Г)) есть положение равновесия, т. е. гр(1)=хчч то в-прелельнсе множество решения <р(Х) состоит, очевидно, из одн, й точки х„, Если <р(1) есть периодическое решение, описывающее замкнутую траекторию К то а-предельное множество решения <р(!), очевидцо, совпадает с К. Наконец, если К есть перволическое решение, а тр(1)— спирально навертывшошаяся на пего прп 8 -э + со траектория, то К есть в-предельное множество решения тр(1). Докажем теперь теорему, дающую возможность установить в некоторых случаях существование периодического решения.
В случае аналитических правых частей системы (1) это периодическое решение будет либо предельным циклом, либо будет солержаться внутри семейства периолнческих траекториЙ (см. пример 3). Т е о р е и а 21. Пусть ср(1) — решение уравнения (2) (и = 2), определенное для всех значений ~~ 1, и остаюилееся при этих значениях 1 в залькнутолс ограни сеннол~ множестве т', содержаи<елгся в Ь, и пусть Й есть м-предельное множество решения ~р(1), Если множество 11 не содержит положений равновесия, то оно состоит из одной залиснутой траектории К. При этолс возможны два случая: 1) ср(1) есть периодическое решение, а К вЂ” описываемая им траектория, 2) траектория, описываемая решением ср(1), прп 1-~.+со наматывается на траекторию К, как спираль. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если ~р(1) — периодическое решение, то множество Я состоит из единственной периодической траектории К описываемой решением «р(1), и утверждение теоремы очевидно (слу- пяелелъные циклы $28) 237 чай 1). Лапустим, чта решение гр (~) не является периодическим и пусть Ь вЂ” произвольная тачка множества Я. Через тачку Ь проведем прямолинейный отрезок Е, не коллинеарный вектору 7" (Ь) фазовап скорости, выходящему из тачки Ь (у.(Ь) ~ О, так как, по предположению, точка Ь множества 2 не является положением равновесия), и выберем этот отрезок настолько коротким, чтобы все траектории, гг) проходящие через точки этого отрезка, пересекали ега (не касаясь) в том же направлении, что и траектория, проходящая через Ь (рис.48).
Так как точка Ь является енпредельной для траектории <р (Е), а последняя нв является замкнутой, то эта траектория должна, очевидно, бесчисленное множества раз пересечь отрезок Риг. 4Х Е и притом в различных точках (см. А)). Пусть а,=<р(1г) и а,=гр(Ег) — две следующие друг за другом пс времени (1, <"1,) точки пересечения траектории <р(1) с отрезком Е. Кусок траектории гр(1), 1,~(~Еь обозначим через М.
Вместе с отрезком а,а, он образует замкнутую кривую Я, которая разбивает плоскость на две области О, и О, Пусть Ь вЂ” малое положительное число. Геометрически очевидно (рис. 49), что тачки гр(1, — Ь) и гр(Е, +- Ь) лежат по разные стороны кривой Я сг(г -гг) будем считать, что первая припад- лежит области Ой а вторая — обаг а г'гг л) ласти О,. Через отрезок а,аг все траектории входят из области О, в область О,.
Таким образам, ни одна о гч траектория не может выйти из об- ласти О, через этот отрезок. Войти г или выйти в область Ог через кривую Л4 никакая траектория также не может, так как Л4 есть кусок траектории, а траектории не могут пересекаться между собой. Так как кусок М траектории гр(г) пересекается с отрезкам Е только в своих концах, то концы отрезка Е лежат па разные стороны кривой Я. Обозначим через а тот конец отрезка Е, который лежит в области О, Траектория гр(Е), начиная с г > Е, -~- 6, вся протекает в области О, и не мажет пересекать отрезок п,а;, поэтому точка Ь не принадлежит отрезку а,а., (см.
А)), и, следовательно, она должна лежать на отрезке аая. Если теперь аа = гр(1г) — следующая (ва времени) после аг точка пересечения траектории гр(г) с отрезком Е, то из аналогичных соображений 238 !г. а УСТОЙЧИВОСТЬ видно, ч«о она лежит па Отрезке Ьа„(рис. 49). Обозначая через а,= р(к,), ..., а,= р(!»), ... слеиуюшпе друг за другом (во времени) точки пересечения траектории «р(!) с отрезком Л, мы убедимся, что они образуют па отрезке ~ монотонную последовательность точек, идущих в направлении от а, к Ь. !(окажем, что предел Ь последовательности а» а„, .„а», ... совпадает с Ь.
Для этого мы, прежде всего, докажем, что последовательность неограниченно возрастает. Допустим, что 1нп !» = =т(+со. Тогда «р(т)=Ь' и ~(Ь')=«!«'(т)=!!ш 'г 'г ",аэто невозможно, так как вектор «р(т) — «р(!») направлен вдоль отрезка Е,, а вектор у'(Ь') не коллинеарен этому отрезку. Таким образом, должно быть выполнено соотношение !!ш 1 =+со, и потому вся траекто» ~о Риа «Р (г) пРи 1~!«пеРесекаетсЯ с 1. лишь в точках ав а„, ..., а», ... Следовательно, эта траектория имеет на Отрезке Е лишь Одну м-предельную точку Ь'(см. А)), так что Ь'=Ь.
Отметим, что в проведенном доказательстве было пока использовано лишь то, что с а м а т о ч к а Ь не является положением равновесия. Покажем теперь, что траектория «р(!) ие может входить в «ь-п!'едельное множество для какой-либо другов траектории 'ф(!). Допустим противоположное. Тогда каждая точка траектории «р (Г) является а-предельной для «р(!) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
