Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Б) 11усть А — линейное преобразование и А — матриц~, соответствующая преобразованию А в некоторой системе координат. Отличный от нуля вектор Ь называется собственным авмл1ором преобразования А, а число Л вЂ” собственным значением этого преобр»- воваиия, соответству1ощим вектору 1а, если выполнено соотношение Ай = — -М. (2) Детерминант матрицы (а — «й2); 1 1 0 («) = ! о! — «й 2 ! =- ! А — ., Е! называется характерист11ческпм многочленом матрицы А. Оказывается, что коэффициенты мнсч очлена О(«) не зависят от выбора системы координат, а полностью определяются преобразованием А.
Поэтому многочлен 0(«) называется также характеристическим многочленом преобразования А. Далее, число Л тогда и только тогда является собственным значением преобразования А, когда оно есть корень многочлена О(«). Докажем независимость многочлена О(«) от выбора системы координат. В новой системе координат преобразованию А соответствует матрица Ь'Ао ', где о —. иекоторая невырожденная матрица (см. (1)).
Мы имеем: ~ЮАЯ ' — «Е|= ~ Ь АЬ' ' — «ЯЕЬ ')=~ 8(А — «Е) Я '~= = ) Я~-1 А — «Е~ ° ! о ' ~ =~ Я~ ° ~А — «Е~. (Я~ 1=! А — «Е1. Запишем теперь в координатной форме соотношение (А — ЛЕ) 11 = О, раююсильиое соотношению (2): Х (а'; — йl) й2= О, 1= 1, ..., и.
2 1 Эта система однородных уравнений тогда и только тогда допускает нснулевое рен1ение !11,,„, 11", когда детерминант 0(Л) этой системы $341 минимйльный лнкудивв|ошии ииогочлен З11 равен нулю. Таким образом, каждый корень Л многочлена 0(а) является собственным значением преобразования А и обратно. В) Если собственные значения Ль ..., Ль преобразования А попарно различны, то соответствующие им собственные векторы Ь„„„Ь линейно независимы Доказательство индуктивное — по числу Ь.
При Ь = 1 это утверждение очевидно. Допустим, что спо верно для Ь вЂ” 1 вектора, в докажем его для Ь векторов. Допустим, что а,Ь, + ... + а„Ь„=О. Применяя к этому соотношению преобразование А, полу шм: аешь,+ ... +а,Л„Ь,=О; с другой стороны, Л„(а,Ь, + ... +а,Ьв) = О. Составляя разность найденных соотношений, получаем: аь(Ли — Лв)Ь!+ ... +ав 1(Л„1 — Ль)Ьв 1 —— 6.' Отсюда, по предположению индукции, следует, что а, = ...
= па, — О, и исходное соотношение сводится к а„Ьа=О, откуда а„=О. Таким образом, если все корни характеристического многочленв ,О(я) различны между собой, то мы можем принять за базис пространства Я собственные векторы Ьь ..., Ь„преобразования А. В этом базисе преобразованию А соответствует диагональная матрица. В общем случае приведение матрицы преобразования к диагональной форме невозможно, и возникает необходимость построения сравнительно сложной теории, к изложению которой мы и переходим, Минимальный аннулируюший многочлен Г) 1(вадратные матрицы порядка и по известным правилам могут складываться и перемножаться между собой, а также умножаться на числа; этим операциям над матрицами соответствуют те же операции над преобразованиями.
Таким образом, если ~(г)=а,а~+а,г~ '+, „+а — многочлен с действительными илн комплекснымк коэффициентами относительно переменной а, то, подставляя вместо г в этот много- член матрицу А, мы получаем матрицу .г(А)=авА +а,А '+... +а,„Е, являющуюся многочленом от матрицы А. Аналогично определяется многочлен г (А) от преобразования А. Если ~(г) ф О, а матрица ~(А) является пулевой(в этом случае преобразованием(А) также, очевидно, является нулевым), то многочлеп Д(г) называется анмулвруащплг матрицу А и преобразование А. Оказывается, что характе- 312 ДОБАВЛЕНИЕ Н. ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА ристический многочлен 0(г) матрицы А аннулирует матрицу А: 0(А) =О. 11ля доказательства рассмотрим п-мерное векторное пространство Я с базисом еь е„ ..., е„ и рассмотрим соответствующую этому базису координатную систему, так что е) =(О, ..., 1, ..., О), или, что то же, ~', (а'.Š— ййА) е, = О.
Положим: г 6(а) аа ! / Здесь 1.'. (г) есть мпогочлеп относительно т единица, а г степени нуль или (Е' (а)) — матрица, составленная из м~огочлепов. Алгебраическое дополнение элемента 1.;(г) ы этой матрице обозначим через М,'(г), так что имеет место соотношение М! (а) 1./' (а) = 6! 0 (а). (4) Умножая соотношение (3) слева па мпогочлеп М!(А) и суммируя ! полученное соотношение по ~, получаем, согласно (4)'. '5, 'Л,' (А) (а,'Š— В,'А) е, = "~!', М! (А) У.~ (А) е, =,5 О,'0 (А) е,, = 6, ! л/ А = 0(А) е; = — О.
Таким образом, преобразование 0(А) переводит все базисные векторы пространства Я в нуль и потому является нулевым, а значит и соответствующая преобразованию 0(А) матрица 0(А) также является нулевой: 0(А) =О. Л) В множестве всех мпогочленов, аннулирующих матрицу А (или преобразование А), имеется единственный, с точностью до чис- где координата 1 стоит на /-м месте. Обозначим через А преобразование, которому в выбранном базисе соответствует матрица А.
Тогда мы имеем: Ае~ —,'~ а'е, МИНИМАЛЬНЫЙ ' АННУЛИРУЮШИЙ М! ~ОГОЧЛВН З1З $341 лового множителя, многочлен 4Л(г) л4инималь44ой степени; этот много- член Ь(г) является делителем всех остальных многочленов, аннулирующих матрицу А; он называется мпми.4гальны.44 многочленом, анцулирующим матрицу А. В дальнейшем будет предполагаться, что коэффициент при старшей степени многочлена Ь (г) равен единице. В случае, если матрица А действительна, многочлен Ь (а) действителен.
Для доказательства предложения Д) напомним, что если у (г) и д(а) — два произвольных многочлена, а И(г) — их. общий наибольший делитель, то имеет место тождество: 1(а) = р (а)1(а)+ Ч (а) а(а) где р(г) и д (а) — подходящим образом выбранные многочлены. Существование тождества (5) доказывается прн помощи алгоритма деления многочленов. Из соотношения (5) следует, что если много- члены у(а) и д(г) аннулируют 'матрицу А, то их общий наибольший делитель ь((я) также аннулирует матрицу А. Из Г) следует, что многочлены, аннулирующие матрицу А, существуют. Пусть теперь 4Л(л)— многочлен минимальной степени, аннулирующей матрицу.А, и,у(д)— произвольный многочлен, также аннулирующий матрицу А. Если бы многочлен г'(г) не делился на многочлен 4Л(г), то общий, наибольший делитель этих многочленов имел бы,степень, меньшую чем много- член 4Л(г), и также аннулировал бы матрицу А, а. Это по предположению.
невозможно. Пусть теперь матрица . А действительна; тогда О= Ь(А)=Ь(А)= Ь(А). Таким образом, многочлен Ь (г) аннулирует матрицу А и потому делится на й(г), а это возможно лишь при Л(г)=4Л(г). Таким образом, предложение Д) доказано. Е) Пусть Ь (а) — минимальшлй апнулируюший мпогочлен матрицы А. Число Л тогда и только тогда является собственным значением матрицы А, когда оно есть корень многочлена 4Л(а). Для доказательства обозначим через А преобразование и-мерного координатного векторного пространства, соответствуюгдее матрице А.
Заметим, что если г (а) — произвольный многочлен, то из АЬ=ЛЬ следует ~(А)Ь=/(Л)Ь. (О) В самом деле, мы имеем: ЕЬ=Ь, АЬ=ЛЬ, А'Ь=АЛЬ=ЛтЬ,..., АчЬ=Л"'Ь. умйожая эти соотношения на коэффициенты многочлеиа 1'(а) и складывая их, получаем соотношение (6,'. Допустим, что Л есть собственное значение матрицы А; тогда существует такой вектор Ь 4 О, что АЬ = ЛЬ, и из (б) СлЕдует Ь (А) Ь =Л (Л) Ь; но так как 4а(А) = О, то Л(Л) = О. Обратно, довлвленив и, линейная ллгввил пусть ).
— корень многочлена Л (г).„тогда Л (г) = (л — >) Г(г). Так как Л (а) есть минимальный аннулирующий многочлен матрицы А, то многочлен Г(г) не является для нее аннулирующим и потому матрица Г (А), а следовательно, и преобразование Г (А), отличны от нуля. Таким образом, существует вектор х, для которого Г(А)х=Ь'~ьО, и мы имеем О=Л(А)х=(А — ЛЕ) Г (А)к= =(А — >Е) К и, следовательно, Ай'=)К так что )с есть собственное значение матрицы А. Итак, предложение Е) докааано.
Координатно вектор>сое пространство Я, смотря по надобности, может рассматриваться как действительное, когда в нем берутся только векторы с действительными координатамн„илн как комплексное, когда в нем берутся векторы с комплексными координатами. Если х=(х',..., к") есть вектор комплекс>юго пространства тс, то х=(к',..., х=) есть вектор, комплексно сопряженный в х, Если 8 есть подпространство комплексного пространства >х, .о подпространство Я, составленное из всех векторов, комплексно сопряженных с векторами из 8, считается комплексно сопряженным с подпространством Я.
Комплексное (или действительное) пространство )с считается разложенным в прямую сумму своих подпространств Я, и 8м если каждый вектор к из Я может быть, и притом единственным спосо- Г>ом, записан в виде суммы: к=к,+хь гле вектор к; принадлежит подпростраистиу Я,, 1= 1, 2. >К) 11усгь Л(л) =Л,(а) Ла(г) — разложение минимально>о ацнулирующего матрицу А многочлена на два взаимно простых множителя. Обозначим через 8, (У= 1, 2) линейное подпространство пространства Я, состояп~ее из всех векторов к из Я, удовлетворяющих условию Л;(А) к=О, где А — преобразование с матрицей А. Оказывается, что пространство Й распадается в прямую сумму своих подпространств 8, и Я,. (Если матрица А комплексиа, то в формулированном здесь утверждении пространство >с следует считать комплексным.) Допустим теперь, что матрица А действительна; тогда следует отметить два важных случая.
1) Множители Л>(г) и Ла (а) действительны; тогда пространство Я и его подпространства 8, и Яа можно считать действительными. 2) Множители Л>(г) и Л,(г) комплексно сопряжены мемсду собой; тогда пространство Й следует считать камиле>ссным, а его подпространства Я> и 8я оказываются комплексно сопряженными., Докажем предложение Ж).
Так как множители Л> (г) и Л„(г) взаимно просты, то имеет место тождество 1 =Р> (а) Л> (а)+Ря (а) Лэ(з)> ь1ИНИМАЛЬНИЙ АННУЛИРУЮЩИИ МНОГОЧЛЕН где р,(г) и р«(г) — падле;кадки образом подобранные многочлены (см. (б)). Заметим, что если множители Л,(г) и Л«(г) действительны, то многочлены р,(г) и р,(г) могут быть выбраны действительными, так как они получаются при помощи алгоритма деления из много- членов Л,(г) и Л„(г). Пусть теперь х — произвольный вектор из ф в силу (7) имеем-. х = р, (А) Л, (А) х + р, (А) Л, (А ) х.
Полагая х~ — — р«(А) Л«(А) А", х, = р, (А) Л, (А) х, мы получаем разложение х= х, + х,„причем Л,(А) х, = Л,(А) р«(А) Л„(А) х=р,(А) Л(А) х=О, Л«(А) х« = Л, (А) р, (А ) Л, (А ) х = р, (А) Л (А) х = О, так что вектор х; принадлежит подпространству 8и Если теперь х= х~ + х« — какое-либо разложение вектора х в сумму, в которой х'; принадлежит 8д (7=1, 2), то в силу (7) мы имеем: х ~ — — Р1 (А) Л » (А) х~+ Р«(А) Л«(Ф х~ —— Р«(А) Л«(А) Ф + х«) = хь точно так же ха=х«, и единственность разложЕния доказанж Если матрица А действительна и множители Ь,(г) и Л«(г) действительны, то, исходя из действительного вектора х, мы получаем действительные векторы хт и х,. Если же матрица А действительна, а множители Ь,(г) и Ь«(г) комплексно сопряжены, то векторные подпространства 8, и 8, в силу самого своего определения комплексно сопряжены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
