Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 36
Текст из файла (страница 36)
154 Если при восстановлении использовать тот же опорный пучок, что и при записи, и рассматривать поле в области формирования мнимого изображения, то после ряда преобразований получим выражение для поля мнимого изображения: а о Е„~ ) ехр[ — (Ь(г,опз — г)[йд'йу', -а — о где Š— поле мнимого изображения; 2аХ2Ь вЂ” апертура голограммы по х' н у' соответственно; Р = [(х хо — Г) + (у — уо — т))3+ 23[1гх; 1Х= [(Х' — ХО+ ЬХ)З+ (у' — тт + бу)а [ Хто[т1а( й, и — система координат в области формирования мнимого изображения с на- чалом в точке с координатами х„ уо, го.
Допустим, что в пропессе синтеза мы не можем пренебречь квадратичными, но пренебрегаем членачи более высоких порядков, тогда, разлагая г о1л в ряд и обозначая через г' ю.з те значения, при которых вычислялось поле от объекта, получаем лоопа по+(1(2то) [(х' — хо)з+ 2 (х' — хо) бх+ бхт[+ + ((/2ло) [(у'+уо)т+ 2(у'-уо) Ву+Ьут[. Для оценки влияния приближений необходимо сравнить выражения для поля в отсутствие н при наличии искажений. В первом случае в области фор- мирования мнимого изображения значения г,зьт и г совпадают, зо втором слу- чае в показателе экспоненты под интегралом появляются слагаемые, которме ие ьоипенсир)ются при восстановлении.
После ряда преобразований выражение для поля мнимого изображения в точке Ь= — Лх, т)= — бу при использовании иа стадни синтеза голограмм френелевского приближения можно представкть в виде Е, ( — Ьх, — бу) аЬ [1 — И/8лз [(х + бх)а + 2а'(хо+ Ьх)т+ +0,2а'+ (уо+ цу)'+ 2Ь'(уо+ Ьу)а+ 0 2Ь'[) (5 (6) а интенсивность равна ~„,( — уах, — Ьу) = ! Е„( — Ьх,— ((у) [т. В отсутствие искажений, т.
е. когда синтезированная голограмма вычисляется без каких-либо искажений, интенсивность восстановленного изображения при Ь= — Лх, т)= — Лу соответствует У, — аоЬз. В оптике принято считать, что качество иэображения удовлетворительно, если ((1 — 1~~0,2, т. е, необходимо, чтобы 02. Из (5.16) легко получить условия, которые необходимо иакладмвать на язв расстояние мезкду плоскостью голограммы и плоскостью объекта, чтобы удов.
летворялась четкость по Стрелю: хо-- [((х, + Ьх)'+ат)'+((У + цУ)'+ Ь')' — О 8(а'+ Ьа)!11з. (5.(7) Неравенство (517) дает границу снизу для зоны Френеля. Для определения верхней границы воны Френеля (нижней границы зоны Фрауигофера) необходкмо провести выкладки, аналогичные вышеприведенным, но при этом в выражении (516) нужно пренебречь также и квадратичнмми членами, В этом случае верхняя граница зоны Френеля хо.- й [(х, + Ьх)а+(у+ бу)а+ ()(3) (аз+ Ьа)[. !55 Таким образом, используя в качестве критерия удовлетворительного качества изображения неравенство (11 — 1) <0,2, получаем следующие условия для выбора представления поля от объекта в зависимости от параметров голографической схемы: ближняя зона: хв<- ((я/2Л) 1((хе+ ах) а+ ах)г+ ((уз+5 у)г+ Ь')' — 0,8 (а'+Ьа) ]) г1в1 (5.
(8) вова Френеля: ((к4т)1((хе+Юг+аз)г+ ИУо+ЬУ)г+ Ьг)г — 0,8(а«+ Ьа)Циз ( < хо < Ь 1(хо+ Ьх)г+ (уо+ ау)'+ (а'+Ьг)13; (5Л9) зона Фраунгофера го > Ь [(хе+ Ьх)г+(Уо+ ЬУ)г+ (аг+ Ьг)/3). (5.20) 5.2Х Алгоритм синтеза голограмм, основанный на представлении интеграла г(ирхгофа через дискретное преобразование Фурье Основныч недостатком алгоритма вычисления голограмм является быстрый рост машинного времеик с увеличением числа точек в объекте и на голограмме. Известно, что возможно представление интеграла Кирхгофа через ДПФ. Это позволяет использовать для вычисления интеграла Кирхгофа алгоритм БПФ, что приводит к сокращению числа комплексных операций умножечия с У' в случае прямого вычисления интеграла Кирхгофа до Л'1ойгн.
При кспользовании ДПФ для вычисления синтезированных голограмм в целях уменьшения используемого машинного времени целесообразно рассматри. вать три алгоритма вычисления поля от объекта в плоскости голограммы в зависимости от области дкфракцик, в которую мы помещаем голограччу Приближение Фраунгофера. Расчет дифракцчоиной картины существенно упрощается в случае приближения Фраунгофера, т е когда расстояние от объекта до плоскости голограммы удовлетворяет неравенству (520). В этом случае поле от каждого транспаранта либо сечения объекта, расположенного в плоскости, параллельной плоскости голограммы, можно представить в виде интегральной суммы Учитывая множитель Г(х, у) =ехр( — (ха+у')(Хз»)»(аг), позволяющий представлять объект в виде набора «гауссовых пятен», получаем следующую формулу для нычисления поля иа голограмме от одной плоскости объекта: Е (р) о ехр — г' — (ха+ уг) ехр (Иго) Г Ь го 2яе (х + у*)(його)*1 - ° Г х~*г[ —, 1хХ(ц«« '.г«гчх ь=! )=г Х ехр й — (Ь(ах'х + 15у'у) Ьх'йу', го где т и и — число точек на объекте по осям х' и у' соответственно.
Это выраженне представляет собой дискретное преобразование Фурье, которое эффективно обрабатывается на ЭВМ с помощью алгоритма БПФ Затеи, произведя суммирование полей от различных транспарантов либо сечений объек. та, получаем поле от объекта в плоскости голограммы Приближение Френеля В случае приближения Френеля расстояние от плоскости голограммы до объекта должно удовлетворять неравенству (519).
Представляя объект, как и рааее, в виде набора сечений или транспарантов, расположенных по глубине, будем вычислять дифраьционное поле от объекта в виде суммы дифракционных полей от всех плоскостей. Интеграл Кирхгофз от одной из плоскостей преобразуется в приближении Френеля с учетом множителя, позволяющего представлять объект в виде «гауссовых пятен», к виду 156 ехр ( — (Агз) Г, В 1 Е(р) = ехр ~ — 1 — (х'+ у') Х йа 2га (хя+ у')(),г,)' 1 '" х р [ —,, ] дд'[!!рак, (ру'рх ! /=! Х ехр — ) — [(лпх)з+(уеду)т) /1ехр) / — (/т/лх х+3Д у'у) /)х бу . 2го гр Данное выражение представляет собой двумерное ДПФ от матрицы /ь,г, умноленной на множитель гр=ехр( — /(й/2з,) ((/р1к')р+(/ау')!)).
Таким образом, как и в предыдущем случае, для вычисления поля от одной плоскости объекта иа голограмме достаточно однократного применения БПФ. Для нас наибольший интерес представляет случай ближней зоны дифракции, которочу соответствует неравенство (5!8) При данном ограничении на кр для вычисления используется выражение (512).
Выражение (5.12) представляет собо/! свертку двух функций: комплексной функции рассеивания в плоскости ку /(к, у) и д(к — к', у — у') = (1/г) ехр ( — йг) соз ( и, г ). Для вычисления интеграла (5.12) воспользуемся теоремой о фурье-образе свертки: Рчг[Е) = Р+! [1) Р+т[,/) (5.2!) десь / ы означает прямое преобразование Фурье. для вычисления фурье-образов функций /(к у ) и Ч(кар ) = =(1/г) ехр ( — йг) соз (и, г) необходимо представить их в виде матриц комплексных чисел, а затем вычислать ДПФ, используя алгоритм БПФ Затем по. формуле (521) вычисляется фурье. образ поля от объекта на голограмме. Однако в целях соиращения машинного времени для некоторых частных случаев возможно вычисление фурье-образа функции д(к',у') с помощью аналитического оотьошения.
Полагая, что косинус угла между нормалью к сечению объекта и направлением распространения волны мало меняется в пределах голограммы, выражение (521) преобразуем к виду Р+1 [Е) = Р+1[у)РР! [Ч ) (5.22) где Г! = г соз (и, г,)-; ехр [ — 1/г)'х")- у" +г"] )/'х'я + у'з+ хт Используя формулу (59), можно вычислить фурье. образ у!(к',у') аналитически, что сокращает затраты машинного времени на расчет поля от объекта на 25. 30 Р/р. Таким образом, для вычисления г+! (Е) достаточно вычисления фурье-образа от функции /,(к',у'). Далее, используя алгоритм обратного преобразования чрурье, легко можно определить поле от объекта на голограмме: Е(х у) =Р-'[Р+'(/)Р+'(/)1.
5.3. ВИЗУАЛИЗАНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ СИНТЕЗИРОВАННЫХ ГОЛОГРАММ 5.3.1. Синтез голограмм на ЭВМ Покажем возможность вычислении голограмм трехмерных объектов с использованием рассмотренных алгоритмов. Ограни- 157 нимся случаем отображения формы объекта. Тогда можно счвтать, что объект задан в виде карты язолиний, т. е. для его задания не требуется большого колячества информации.
Лля расчета голограммы воспользуемся алгоритмом ближней зоны дифракции, описываемым формулами (5.12) и (5.22). Перепишем указанный алгоритм в виде следующей последовательностя операций: 1) вычисление функция Г, (см. 9 5.2.3); 2) вычисление фурье. образа функцяи г1 Р+1[к 1.
3) вычисление фурье-образа ародизярующей функции: Р+'(Г (х', у')] = ехр [ — (Д+~л) ()з)'(а']; (5.23) 4) вычисление фурье-образа функции распространения (5.9): Р+ ' [д, (с', у') ] = ( — 2я(ф'й' — ~',) ех р ( — (ал 'г' йл — 7', ); (5.24) 5) вычисление фурье-образа поля на голограмме: Р+' [Е[ Р+' [1 [Р+' [Г]Р+' [д,]; 6) вычисление поля на голограмме: Е=Р— ' [Р+' [Е]]; (5.26) 7) вычисление Е„; 8) вычисление голограммы: 1= [ Е+Е,„['; 9) построение голограммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
