Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для выполнения необходимой фильтрации спектра фильтром )а)= к' 9'+ м' можно поместить его в плоскость голограммы либо при ее регистрации, либо при восстановлении. Удобно также поместить в данную плоскость амплитудную бинарную маску, изображенную на рис 22 При освещении полученного двумерного фурье-спектра восстанавливающим пучком, сформированным блоком 2, в направлении оптической оси предметного пучка формируется поле, соответствующее спектру томограммы Сферическая линза 8 выполняет преобразование Фурье и создает в задней фокальной плоскости 9 распределение поля, амплитуда которого пропорциональна значениям искомой функции К(х,у,г,) В соответствии с описанной выше схемой оптического процессора был собран лабораторный макет В качестве тест-объекта были выбраны четыре цилиндрических непрозрачных стержня диаметром 2 мм, расположенные в вершинах квадрата размером 1ОХ10 мм и параллельные оси г Нетрудно видеть, что в этом случае проекции независимо от угла просвечивания являются четными функциями и, следовательно, имеют действительный фурье- спектр Это позволяет существенно упростить эксперимент, так как возможна запись фурье.
спектров проекций без опорного пучка Двумерный спектр получен путем последовательной записи на фотопластинку ЛОИ-2 набора одномерных спектров проекций при одновременном повороте тест-объекта и фотопластины на б' в пределах угла, равного 180' Осуществляется регистрация квадрата фурье-спектров, поэтому при обратном преобразовании Фурье в выходной плоскости процессора формируется автосвертка сечения тест-объекта Таким образом, в предложенном когерентно-оптическом процессоре возможно решение ИУ Радона, что позволяет оперативно получать сечения пространственного распределения неодьородностей объекта Прн использовании в качестве регистраторов излучения пространственных модуляторов света время потучения искомых данных в основном определяется скоростью поворота исследуемо~о объекта и может составлять несколько секунд 146 Глава 5.
ГОЛОГРАФИЧЕСКОЕ И ТОМОГРАФИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ Широкое внедрение томографии и использование самых различных типов излучения для получения изображения внутренней структуры объектов позволяют считать ее универсальным методом отображения и рассматривать с этой точки зрения в общем ряду с другими способами получения изображения. В настоящей главе мы, конечно, не будем сопоставлять томографию со всеми способами отображения информации, а попытаемся выделить некоторые общие черты в голографическом и томографическом методах получения изображения и укажем на их принципиальные отличия [121, 122) Такои анализ нам кажется полезным и интересным не только с методи,еской точки зрения Совмешение этих двух методов в конкретной информационно-измерительной системе позволяет решать такие важные для практпческого применения задачи, как трехмерное отображение внутренвей структуры и синтез объемных изображений по набору томограмм Возчочьиые методы решения указанных задач будут рассмотрены в данной главе При этом будут аначизироваться не только алгоритмы синтеза голограмм математически заданных трехмерных обьектов, но и реализация их в оптических системах с преобразованием волнового фронта, т е оптический синтез голограмм Мы покажем также, как взаимное проникновение идей ~ томографии и голографии позволяет решать проблему «скрытыч» ' линий в трехмерных дисплеях и синтезировать оптические копни внутренней структуры объектов 6.1, ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ОБЪЕКТА ПО РАССЕЯННОМУ ПОЛЮ В ГОЛОГРАФИИ И ТОМОГРАФИИ Многое указывает на тесную связь точографических и голографических методов отображения информации, н первую очередь то, что в обоих случаях иссчедуемый объект взаимодействует с излучением, которое потом регистрируется Причем в обоих случаях, как правило, необходимо измерить амплитуду и фазу поля Нужно отметить, что голографическая регистрация применяется в точографических исследованиях давно, достаточно вспомнить голографическую интерферометрию, дисдрометрию и т д Следующий шаг — восстановление из зарегистрированной информации 1почя) изображения объекта Заметим, что в обоих случаях решается обратная задача То есть как голография, так и томография представляют собой двухступенчатый процесс, на втором этапе которо'го реализуется некоторыа обратный оператор Особенности этого оператора и состав чяют отличие методов В голографии рассматривается схема получения информации о трехмерном объекте, расположенном в однородной среде, и из1О* 147 лучение взаимодействует только с внешними его границами.
В этом случае принято считать (см., например, 126)), что решается уравнение Гельмгольца, описывающее процесс распространения поля в пространстве при наличии распределения токов на некоторой поверхности Л. Решение этого уравнения можно найти, используя теорему Грина, тогда выражение для каждой декартовой составляющей поля в точке р на плоскости голограммы будет иметь вид (5.4) выражение для г можно переписать в виде г=г,+Е(х, у), где га-- ((х' — (хо — х))'+(у' —. (у — у))э+ х'1иэ. Для тех случаев, когда косинус угла между нормалью к поверхности объекта в данной точке и направлением распространения волны мало меняется в пределах голограммы, т.
е. при усла- !48 где г' — радиус-вектор точки иа поверхности Е; г — радиус-вектор точки наблюдения; п — внешняя нормаль к поверхности объекта; 1(г') и д1(г')/дп — распределение значений поля и его нормальной производной на поверхности тела; 6(г) = (1~г) ехр( — Юг)— функция Грина; йэ —— 2п/Х вЂ” волновое число. Преобразуем (5.1), учитывая, что геометрические параметры голографической схемы и разрешающий интервал в восстановленном изображении, в пределах которого 1(г') мало меняется, много больше длины волны (см.
также 1123)), Тогда выражение для поля на голограмме может быть описано следующим выражением: Л(х', у')= — ' ) 1(х) Р (соз(п,г)+ Ц Х 4я с[к, ю х [и-( — ) 4-[ — ') ~ а ь. Здесь х, у, х — оси координат в области задания объекта с началом в точке 0(хм уэ, гэ); а=1.(х, у) — уравнение поверхности объекта; х', у' — координаты точки на голограмме, отстоящей на расстояние гэ от объекта; г= 1(х' — (хэ — х))'1- (у' — (у,--у))х+ (ха+1.
(х, у))х)'". Выражение для г может быть представлено в виде ряда: г=х + — ( э — ) + У вЂ” (ув — У)) +1.(х у)... (5.3) 2х, 2хо Группируя члены, не зависящие от Е(х, д), и полагая, что (х' — (х, — х))' о вин наблюдения объекта под некоторым определенным углом (ракурсом), можно записать соз (и, г) = соз (п, г,), (5.5) где . [(» — (» — «)) + (У (Уо У)) +(»о+0 ! «~, у,', гз — координаты центра голограммы. Учитывая (5.4) и (5.5), выражение для поля на голограмме можно записать в виде свертки: /ьо Е(«', у') = — — Ц 1(«, у) ехр [/й,Е (», д) ! [соз(п, г,) + 1! Х х(В+[ — ] и [ — )] '' еыу, (5Я) Нетрудно заметить, что при известном поле на голограмме выражение (5,6) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода типа свертки с ядром (1/г)ехр( — йчгч).
Решение этого уравнения, т. е. опеределение поля в области объекта по измеренному полю на голограмме, представляет собой обратную задачу. Уравнения типа свертки решаются, как правило, с использованием преобразования Фурье. Рассмотрим подынтегральное выражение, Оно представляет собой произведение двух функций. Первая функция г/ = 1 («, у) ех р ~й йоЕ («, у) ! [с аз (п, г ) + 1! [1+ (д//д»)'+ (дА/ду)'[чз содержит практически всю информацию об объекте, несмотря на свою двумерность. Здесь /(»', у') — амплитуда, которая слабо меняется при переходе от поверхности объекта к плоскости »у в области объекта; ехр(/йз/.(»,у)! определяет форму поверхности; соз(п, г,) — ракурс, под которым наблюдается объект.
Вторая подынтегральная функция /~ = (1/га) ехр ( — й,г,) характеризует геометрические параметры голографической схемы. Из анализа (5.6) можно сделать вывод, что при выбранных условиях на размеры объекта и геометрические параметры голографической схемы (неравенство (5.4) ) изображение объекта представляет собой двумерную функцию (в нашем случае). Это значит, что измеренных данных Е(х',у') должно хватить для решения интегрального уравнения (5.6). Изменяя ракурс, т. е. вектор г, в соз(п, г~), можно получить изображение объекта под другим углом ~р, так как в этом случае преобразуется относительно объекта вся схема измерения поля Е,. Для решения уравнеия (5.6) относительно д по известной функции Е(»', у') воспользуемся теоремой о фурье-образе свертки: Е+'[Е(», у)1 /г+'[д(»', у')[Е+'[д,(«', у')!.
(5.7) 149 ехр ( — ая )/з' + гз) !к)р Р+ [д,[=О,=2. ! У,(рУ,) р'1,р+ зг 2к! ехр( — !г,~ йз — у',), у',ю — у', (5.9) где 0 «)р(2~й; !р =)Гу„-+1~ . Тогда выражение (5.8) прямет вид 9 (х, у) = Ез Р-1[!/011. Из условий (5А) и (5.5) следует, что пространственный спектр объекта достаточно узок, В этом случае с точностью до амплитудной функции (йз — !з) '~', 6, можно преобразовать так, что Р— ' [116,] = (! /г,) ехр (йг,).
(5.10) Таким образом, в показателе экспоненты в пропагаторе сменится знак. Тогда восстановленное изображение запишем в виде ехр (Иго) д (х, у) = ) ) Е(х', у') пх"пРу'. Алгоритм восстановления, представленный в таком виде, чрезвычайно удобно реализовать в оптическом процессоре, так как выражение (5.11) описывает дифракционное-поле от голограммы в области изображения.
Таким образом, восстановление поверхности трехмерного объекта возможно как на ЭВМ, так и в оптике. В обоих случаях реа лизуется решение интегрального уравнения первого рода. В случйе оптического восстановления алгоритм реализуется чрезвычайно просто и красиво, что, очевидно, и обусловило его широкое распространение на практике, Восстановление на ЭВМ в оптическом диапазоне не нашло применения, хотя на такую возможность для простейших случаев голографии (Фурье, Френеля) Д.
Гудмен указал еще в 1969 г. Восстановление на ЭВМ СВЧ- и УЗВ-голограмм применяется достаточно широко. 150 После несложных преобразований получим 9(л. у) =Р '[Р" [ЕИ" Ы[ (5,8) Перечислим операции, которые необходимо выполнить для реализации алгоритма, описываемого формулой (5.8): 1) вычислить фурье-образ на голограмме Р+'(Е); 2) вычислить фурье-образ от функции распространения Р"'[д ); 3) разделить Р+'[Е] на Р" [д11; 4) выполнить обратное преобразование Фурье. В этом алгоритме при его реализации на ЭВМ необходимо выполнять регуляризацию, которая обусловлена некорректностью задачи. Учитывая, что функция д~ радиально-симметричная я= 9 з!и рг, у=р сов рр, преобразуем РР'[д1) к следующему виду [124): В предыдущих главах подробно анализировались методы томографического отображения информации. Наиболее близко, на наш взгляд, с голографией связаны методы дифракционной томографии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
