Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. - Оптическая томография (1989) (1032160), страница 32
Текст из файла (страница 32)
три вершины шестиугольника, описанного во круг радиуса рс„ и его центр. На рис. 4.11 — это точки 1, 2, 8 и О. В каждой вершине суммарное изображение равно значению только одной обратной проекции в данной точке, а остальные проекции обращаются в нуль Используя указанные условия, можно записать (4,18) Из этой системы уравнений можно получить значение константы С: (4.19) Определив С, нетрудно вычислить истинное значение суммар ного изображения 5(х,у) и номеров полос, т.
е. найти нулевую полосу. Из анализа видно, что при трехракурсной схеме для этого достаточно зондирования объекта пучком, диаметр которого равен 2рс. Очевидно, что аналогичным методом можно находить истинные номера полос при произвольном числе ракурсов. В общем случае связь суммарного изображения с истинной томограммой анализировалась в $ 1.2, где указывалось, что 5(х,д) является сверткой )(х,у) с функцией 1!) х~+у' (для малого числа проекций вид данной функции описывается выражением (213)) Представляет интерес получить приближенные значения показате. ля преломления п,(х, у) в сечении объекта, не решая уравнение 134 есвертки, а за счет некоторого набора нормировок (аддитивной мульгипликативной) суммарного изображения 5(х,у) (1Ц.
Первый тип нормировки 5(х,у) возникает из того условия, что теграл от любой проекции должен быть равен интегралу от сстановленной функции, т. е. Д и,(х, у) г(хну= ~ ~~(р)Нрж М„(4.20) к Р е К вЂ” круг радиуса рм Условие (4.20) следует из определения томограммы и ее проекции 11Ц.
Данный тип нормировки называется мультипликативиым Однако указанной нормировки недостаточно. Действительно, анализ спектра суммарного изображения, проведенный в 5 2.2.2, показал, что он отличается от спектра томограммы. Во-первых, значение спектра в нулевой пространственной частоте 5(х,у) в У раз больше, чем у томограммы, и равно 5(0,0) = =АМ,. Данное искажение легко устраняется в пространственной области аддитивной нормировкой, что позволяет записать 5, (х, у) = 5 (х, у) — (М вЂ” 1) М,. (4.21) Во-вторых, плотность отсчетов в спектре суммарного изображения спадает по закону 1/г, Компенсация данного искажения представляет собой сложную задачу. Для ее решения было предложено рассматривать аддитивную нормировку как некоторое приближение фильтрации проекций ступенчатой функцией вида [Ц. 1 — (р1с ч, 2а — Ь, а<)р~<"2, О, ) р ) ) 2.
Яв (р) = (4.22) где да — область заданиЯ обРатной пРоекции (напомним, что все величины безразмерные). В (120! было получено такое же выражение из эмпирических соображений. 135 Фильтрация такой функцией, как было показано в (Ц, позволяет сузить импульсный отклик томографа. Применение функции (4,22) для аддитивной нормировки суммарного изображения позволило несколько скорректировать выражение (4 21), и окончательно формула для аддитивной нормировки с учетом (4.21) может быть записана в виде 5„(х, у) =5(х„у) — (М вЂ” 1) М,— аМ„(4.23) ~где а<1 определяется величинами Ь и е. Как правило, а=1~4. Вид аддитивной нормировки может быть определен также из условия равенства исходных проекций и проекций, полученных от восстановленной томограммы.
Анализ данного условия позволяет получить следующее выражение для нормировки: 5„(х, у) = (1/д,) 5(х, у) — (1(Щ) (И вЂ” !) М„(4.24) (4.27) Использование для нормировки выражения (4.24) достаточно неудобно, так как требует задания 5(х,у) во всей области обрат- ного проецирования. На рис. 4.11 эта область ограничена боль- шим шестиугольником. В дальнейшем мы будем использовать аддитивную нормировку, описываемую выражением (4.23).
Обозначив через М = =~~5,, (х,у)дхг(у, получим, что функция 5, М,/М,, будет удов- летворять условию (4.20). После выполнения обоих видов норми- ровки можно записать выражение для п,(х,у), восстановленного по суммарному изображению: лв (х у) = (Мв/Мн) ((Х/2ря) т(х, у) — (Л~ — 1) Ма — 'аМа). (4.25) Из (4.25) следует, что для выполнения нормировки необходи- мо вычислить величину М, по формуле (4,20).
В тех случаях, ког- да радиус зондирующего пучка больше 2рм найти по интерферо- грамме проекцию /г(р) и соответственно величину М, не пред- ставляет труда. Если радиус зондирующего пучка р,<2рм интеграл от проекции можно определить из 5(х,у). Действитель- но, проинтегрируем 5(х,у) вдоль линии обратного проецирования второй проекции (см. рис. 4.11), проходящей через точку 0: гч ) 5(у) ду*=2р,уз(2) + ~ /т,(уз1п р,) Ну+ Р— Р, ю + ~ / з (у з!и ~рз) ду = 2рД (2) + 2Л,.
(4.26) Рз Из (4.26) следует, что ] м 2 ) 5(у)пу — р~у,(2). — Р Значение проекции /з(2) нетрудно определить, решая систему уравнений (4.18). Таким образом, используя выражении (4.17), (4.19), (4.20), (4.26), (4.27), можно по томографической интерфе- рограмме получить распределение показателя преломления п,(х,у), которое с определенной точностью совпадает с истинной томограммой. Обработку продольных томографических интерферограмм осу- ществляют аналогичным образом, Действительно, запишем урав- нение интерферограммы в нормированных координатах: 1 2к чдО.*)='2(1+ ( — р,~г ( ю ~, ) я.
(Фл8) а ! Аргумент косинуса представляет собой в данном случае распреде- ление значений суммарного изображения 5(х,О, г) в плоскости хг при значении у=0. При каждом х=г~ функция 5(х,О,гп) совпа- дает с суммарным изображением поперечной томограммы вдоль 1зв оси у=0. В центрах темных и светлых полос выполняется соотношение 8(х,О,г!)=(д/2ро)т(х,г!), т=О, +1, +2.
(4.29) Лддитивная нормировка продольного суммарного изображения ля каждого г=-г; определяется выражением Я,(х, О, г!) =5(х, О, г,) — (И вЂ” 1) М,(г,) — аМ,(г,). (4.30) Лля мультипликатинной нормировки необходимо учитывать, что значение суммарного изображения в плоскости ху известно, тогда вычисление значения Мм не представляется возможным. Поэтому мультипликативную нормировку осуществляют исходя из равенства средних значений и (х, О, г,) и у' (р, г,): п,(г,) = — ~~ п,(х, у, г,)х(хх(у= — ) Л(р, г,) х(р= — М,(г,).(4.31) — 1 Учитывая (4.31), общую формулу для нормировки продольного суммарного, изображения можно записать в виде п,(х, О, г,)= ' ' — т(х> г!) — (ззà — 1)М,(г,) — аМ,(г,) .(4.32) Мв(г!) Г Л кЭз (г!) 2ра Для того чтобы определить, величину М, по интерферограмме, еобходимо вычислить интеграл от суммарного изображения по ей области его задания; — ~ Э(х, О, г,) Ых = — ~ ~~)'Л(хсозн,, г!)12х= М,.
(4.33) ЯО СО! 1 Полученные выражения для нормировки суммарных изображений использовались при моделировании работы интерферометров различных типов на ЭВМ, 4.4,2, Моделирование гомографической интерферомегрии на ЭВМ Анализ томографической интерферометрии как метода исследования внутренней структуры объектов и процессов проводился не только зкспернментально (см. $422 и 433), но и с использованием методов математического моделирования. Применение ЭВМ для изучения свойств и особенностей работы оптических приборов и устройств используется в последние годы достаточно широко.
Не случайно в настоящее время выделилось целое направление и оитическик исследованиях, получившее название цифровой оптики. Основными преимуществами использования методов математического моделирования для анализа оптических измерительных систем являются: возможность исследования каждой характеристики прибора независимо, широкий диапазон изменения его параметров, варьированне входных объектов, сравнение езультатов измерения с точностными зависимостями и т. д. Е' ля анализа томографической нптерферометрии была разработана модель топографического интерферометра, которая базировалась на комплексе программ обработки томогрзфичесной информации тОРАБ (бз), В модели предполагалось.
что число отсчетов в каждой проекции равно 1бб; суммарное изображение !то. мограмма) вычислялось на матрице 51 з'51 отсчетов. Было предусмотрено варьиРование некоторых параметров прибора: число проекций А! изменялось от л 37; направление зондирования выбиралось произвольно. 131 В комплексе ТОРА5 программа моделирования томографической интерферометрин получила название 110 и работала следующим образом: выбиралась некоторая модель объекта, по которой аналитически вычислялись значения раз. личных проекций По ним согласно алгоритму обратного проецирования формировалось суммарное изображение Полученное распределение рассматривалось лак результат работы прибора. В далызейшем после аддитивиой и мультипликатцвной вормировок проводилось сравнение результатов вычисления с мо. делью объекта Моделирование позволило отметить некоторые особенности аналгкового вычнслеаия суммарного изображения Это, прежде всего, отсутствие регистрации нроелпий, которое позволяет избежать погрешностей их съема и ввода в ЭВМ, т.
е в этоы случае восстановление искомого расцределеиия осуществляется в отсутствие шумов При моделировании указанная особенность томографнческой интерферометрии учитывалась Однако прн реализации некоторых математи ческих операций в оптических системах с преобразованием волнового фронта возмо,кио их неточное выполнение из-за аберраций оптических элементов и погрешности юстнровки. В томографическом ивтерферометре искажения, обус. ловленные аберрациями, устранялись голографической регистрацией волнового фронта. Возможная ошибка (-30') из.за неточности согласования углов зон,дирования и поворота волнового фронта была равна погрешности нз-за дискретизации проекций при цифровом вычислении суммарного изображения на сетке 51Х51 отсчетов Применение математического моделирования позволило определить потенциальные возмозкности метода томографической интерферометрии (120) Для решении данной задачи проводилось сравнение модельных результатов измерения распределения показателя преломления, полученных методом томографичеслой интерферочетрии, с аналогичными исследованиями на модели малоракурсиого компьютерного томографа.
Параметры объекта и технические характеристики моделируемых приборов выбирались одинаковыми Восстановление точограим по проекциям модельных объектов осуществлялось по алгоритмам ИС551 и К(С552, реализованным в комплексе ТОРА5 В (63) показано, что указанные алгоритмы дают минимальную погрешность при малом числе проекций Необходимо ответить, что в оптическом томографе с цифровым восстановле инеи томограмм погрешность восстановления существенно зависит от шума в п оекционных данных Как правило, уровень шума выбирается равным 2 ..10 йз. одробно зависимость Ь, н Аз от числа ракурсов для различных значений шума исследовалась в (63] Для итерационных алгоритыов аналогичные оценки приведены в $ 2 4 Разработанная математическая модель томографического ннтерферометра использовалась для анализа его работы при различных тест-объектах.
Приведем результаты моделирования для двух типов объектов В качестве первого тест. 13й Рис 4 12 Изображение тест.обьекта из суммы двух гауссиан с параметрами а,= = аз 4,5, с~ = сз ! Рис. 4.13, Суммарное изображение тест-объекта при числе ракурсов Ф 3 (а); 4 (б); 6 (в) 139 Рнс. 4.14, Изображение тест-объекта.востстановленное по алгоритму К1С5$1 (число ракурсов У 3) объекта была выбрана сумма двух смещенных гауссиан, каждая из которых описывается выражением у(х, у) = сехр ~ — ат1хз+ у')!. В нашей модели с,=сз 1, л, аз=4,5. На рис. 412 приведено изображение модели На рнс 4.13 дани результаты моделирования при разлнчноч числе направлений зондирования Можно отметить, что геометрия изображения восстанавливается достаточно хорошо Так, например, коордюзаты максимумов совпадают Прн трех и четырех рак1 рсах артефакты существенны, прн шести практическн незаметны, Лля сравнения на рис, 4.14 приведена точограмча, полученная помощью алгоритма К!С551 по трем проекциям Моделирование позволило проиллюстрировать зависимость восстановленного изображения прн малом числе проекций от ориентации объекта относительно направлений зондирования.
В качестве второй модели была выбрана разность двух гауссиан, центры которых были совмещены с параметрами с,=1, сз= — 08, а,=2,2, аз=9 На рнс 415 представлено восстановленное изображение ио трем проекциям методом томографической интерферометрии. Из иллюстрации вядно, что в суммарном изображении провал размыт и идентифицируется гораздо хуже, чем при восстановлении томограмм. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
