Диссертация (1025882), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если же процесс деформирования растянут во времени, в полимерной сетке вследствие процессовобмена происходят химические перестроения. Более того, между полимерными цепями могут образовываться временные «физические» поперечные связи,37которые играют ту же роль, что и подвижные химические поперечные связи.Процессы химических перестроений заключаются в разрушении и образовании новых химических связей между молекулами каучука. Наблюдая процессы релаксации в резине при разных кратностях удлинения образцов, Грини Тобольский сделали вывод, что скорость перегруппировки связей не зависит от величины деформации. А вследствие того, что резина деформируетсяупруго не разрушаясь и остается изотропной средой, они постулировали равенство скоростей разрушения и образование новых химических связей в единицеобъема резины.
При разрушении связей активной сетки происходит снижениенапряжений. Возникающие вновь связи включают в полимерную сетку не напряженные (отрелаксированные) цепи, которые вовлекаются в работу лишь припоследующем деформировании системы. Разрушению и восстановлению с равной вероятностью подвергается любая связь системы, поэтому произвольныйэлементарный объем, выделенный из тела, остается изотропным.Предположение о влиянии химических перестроек полимерной сетки напроцесс релаксации так же использовалось для исследования свойств полимерных растворов [100, 112].В работе [76] было предложено следующее дифференциальное уравнение,описывающее уменьшение числа цепочек, дающих вклад в общее сопротивлениедеформированию резины:= −′ ( ) ,(1.52)где ( ) – число цепочек, образующих активную сетку элементарного объема в некоторый момент времени ; ′ – скорость релаксации, зависящая от химического строения полимерной сетки.
За момент времени из активной сеткибудет исключено и вновь появится одинаковое число цепочек = ′ ( ) .Следовательно, в любой момент времени полное число цепочек, составляющихактивную сетку, равно числу цепочек после вулканизации 0 .Следуя закону (1.52), из группы цепочек, образовавшихся в момент време′ни , к моменту времени останется только 0 − (− ) цепочек, которые могут участвовать в сопротивлении резины деформированию. Если деформацияэтих цепочек описывается неогуковым потенциалом, тогда доля напряжения,которую они воспринимают, имеет вид =[︀ ]︀ −(− )¯ ,dev (1.53)38(︀ )︀¯ = ¯ · ¯ – девиатор тензогде = 0 – модуль сдвига резины; ¯ра меры деформации Фингера; – девиатор градиента места, описывающийдеформацию тела от момента до текущего момента времени .
Напряженноесостояние в момент времени определяется как[︀ ]︀ ′¯ + () = 0 1 + − dev ∫︁ [︀ ]︀ −(− )¯ ,dev (1.54)0в котором первое слагаемое обусловлено молекулярным взаимодействием (силами Ван-дер-Ваальса) и не зависит от процесса перестройки сетки, а второеслагаемое есть результат вклада в напряженное состояние тех цепочек, которыеизначально составляли недеформированную активную сетку.Следуя работе [76] представим подынтегральный тензор меры деформа(︀ )︀−1¯¯ = ¯ · · ¯ и преобразуем тензор напряженийции в виде 0 = 0 1 +[︀]︀dev ¯ · · ¯ ,(1.55)где симметричный положительно определенный тензор , названный в работе [113] тензором «скрытой» или внутренней переменной (internal-variabletensor), определяется из уравнения⎡ = − ⎣1 +∫︁ ⎤¯ −1 ⎦ , 0или, что тоже самое,¯ −1 − ).˙ = ((1.56)В процессе релаксации тензор внутренней переменной убывает до величины¯ −1 .
Функция свободной энергии, соответствующая полученной модели→материала, имеет вид [113]:Ψ = Ψ0 (, ) +)︀)︀ (︀ (︀ ¯tr · − 3 − ln det .2(1.57)Для случая несжимаемой среды и малых деформаций по аналогии с де¯ −1 ) в работе [113] был введенвиатором тензора деформаций = 1/2(1 − девиатор тензора вязких деформаций = 1/2(1 − ). Это позволило придать39определяющим соотношениям (1.55) – (1.56) новую форму = 0 1 + 2 ( − ) ,1˙ = ( − ) ,˜(1.58a)(1.58b)где ˜ = 1/ – время релаксации; тензор − можно интерпретировать какдевиатор тензора упругих деформаций. Поведение материала, описываемого системой уравнений (1.58), эквивалентно поведению двойной среды Максвелла.
Вслучае стандартной вязкоупругой модели материала, которая учитывает наличие остаточных упругих напряжений в теле после релаксации, в работе [113]предложено использовать отличное от (1.58b) дифференциальное уравнение˙ =1((1 − ) − ) ,˜(1.59)где ∈ [0, 1) – отношение равновесного к мгновенному модулю сдвига материала. Схематично модель материала, описываемая уравнениями (1.58a), (1.59),представляет собой элемент Максвелла, состоящий из упругой пружины, включенной последовательно с демпфером, деформация которого в процессе релаксации стремится к значению (1 − ).В случае конечных деформаций тела в работе [113] использовано мультипликативное разложение градиента места ¯ на упругую ¯ и вязкую ¯ = части ¯ = ¯ · ¯ .
Вязкая часть связывалась с тензором при помощи соотно(︀ )︀¯ = ¯ · ¯ совпадаютшения = ( )−1 . Поскольку инварианты тензора ¯ · , функция свободной энергии (1.57) была предс инвариантами тензора ставлена в виде¯ ) + Ψ (, ) .Ψ = Ψ0 (, ) + Ψ (, (1.60)При описании упругого поведения резины с помощью потенциала Ψ , отличногоот неогукова, но выражаемого через первый ¯ и второй ¯ инварианты тен¯ , форма вязкоупругого потенциала (1.60) сохраняет свой вид. В случаезора задания Ψ в виде функции Ψ (¯ , ¯ ) напряжения в теле убывают до нуля¯ −1 . Последнее обстоятельство позволяпри стремлении тензора к значению ет использовать для модели вязкоупругой среды Максвелла уравнение (1.56).Для стандартной вязкоупругой среды в работе [113] это уравнение модифици-40ровалось по аналогии со случаем малых деформаций)︀1 (︀¯ −1 − .1 + (1 − )˙ =˜(1.61)В этой же работе дано описание альтернативного представления вязкоупругого поведения материала.
Если стандартная модель вязкоупругой среды схематично может быть представлена в виде параллельно соединенного элементаМаксвелла и упругой пружины, тогда к функции свободной энергии (1.60) добавляется слагаемое Ψ∞ , отвечающее деформации этой пружины,¯¯Ψ = Ψ0 (, ) + Ψ∞ (, ) + Ψ (, ) + Ψ (, ) ,(1.62)где подразумевается, что потенциалы Ψ∞ и Ψ имеют одинаковую форму, норазные значения упругих параметров материла.
Параллельно включенная упругая ветвь может физически отражать, например, часть полимерной сетки, которая сохраняет свою структуру в процессе деформации. В случае такой схемы вкачестве дифференциального соотношения, описывающего скорость изменениятензора , следует использовать выражение (1.56).В случае обобщенной модели Максвелла функция свободной энергии принимает видΨ = Ψ0 (, ) +¯Ψ∞ (, )+∑︁=1¯Ψ() (, · ) +∑︁Ψ() (, ) ,(1.63)=1где – j-й тензор внутренней переменной, определяемый из соотношения (1.56)путем замены в нем времени релаксации ˜ на ˜ ; – число элементов Максвеллав модели.Сформулированные уравнения справедливы только для случая изотропного поведения материала, поскольку упругие потенциалы должны быть записаны в инвариантной форме.
В работах [87, 142, 143] были предложены соотношения, позволяющие избежать этого ограничения. В этих работах для стандартного вязкоупругого тела в случае малых деформаций тензор напряжений был представлен в виде разности начального тензора напряжений 0 , который определяется мгновенным модулем упругости материала, и неравновесного41тензора напряжений (тензора внутренней переменной):(1.64) = 0 − .При изотермическом деформировании стандартной вязкоупругой среды тензоры 0 , определяются путем дифференцирования функции свободной энергииΨ = Ψ0 (tr) + Ψ0 () − tr( · ) + Ψ ()(1.65)по тензору малых деформаций :[︂ 0 ]︂Ψ ()Ψ0 (tr)1 + dev=,tr]︂[︂tr( · ), = dev0(1.66)(1.67)где Ψ0 () – изменение свободной энергии тела в процессе мгновенного деформирования, при котором вязкость тела стремится к бесконечности.
В работе [142]было предложено следующее дифференциальное уравнение относительно тензора внутренней переменной :[︂ 0 ]︂11−Ψ ()˙ + =dev,˜˜|=0 = 0 ,(1.68)где параметр ∈ [0, 1) полагается равным отношению равновесного к мгновенному модулю упругости резины. Как показано в работе [143] уравнения (1.68)и (1.59) эквивалентны друг другу с той лишь разницей, что уравнение (1.68)естественнее обобщается на случай конечных деформаций тела.Функция Ψ (), входящая в соотношение (1.65) выбиралась таким образом, чтобы в состоянии равновесия (˙ = 0) выполнялись равенстваΨ/ = 0,[︀]︀ = (1 − )dev Ψ0 ()/ .Из чего следует, что эта функция является преобразованием Лежандра функции (1 − )Ψ0 и равнаΨ () = −(1 − )Ψ0 () + tr( · ) .(1.69)42Для перехода от случая малых деформаций к случаю конечных деформаций в работе [142] предложено функцию свободной энергии представить ввиде¯ + Ψ () ,¯ − 1 tr( · )(1.70)Ψ = Ψ0 () + Ψ0 ()2где – тензор внутренней переменной.
В этом случае тензор напряжений Кошивычисляется как[︂ {︂}︂ ]︂0 ¯Ψ()(1.71) = 0 1 + −1 dev ¯ 2 ¯ − ¯ .Дифференциальное уравнение относительно тензора внутренней переменной было записано подобно уравнению (1.68):]︂[︂0 ¯1−()1Ψ,DEV 2˙ + =¯˜˜(1.72)|=0 = 0 ,где параметры ∈ [0, 1), ˜ > 0. Поскольку в состоянии равновесия должновыполняться равенство1¯Ψ/ = − + Ψ ()/ = 0 ,2причем как следует из уравнения (1.72):[︂¯ ]︂Ψ0 () = (1 − )DEV 2,¯функция)︀1 (︀ ¯¯ .· − (1 − )Ψ0 ()(1.73)Ψ () = tr 2В работе [142] указано, что в частном случае, если для упругой составляющей используется неогуков потенциал, сформулированные вязкоупругие соотношения при конечных деформациях тела будут совпадать с соотношениями,предложенными в работе [113].В случае обобщенной модели Максвелла функция свободной энергии постулировалась в виде¯ −Ψ = Ψ0 () + Ψ0 ()∑︁1=12(︃¯ + Ψtr( · )∑︁=1)︃.(1.74)43Тензор напряжений Коши определялся как[︃ {︃}︃ ]︃0 ¯∑︁Ψ() ¯ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
