Диссертация (1025882), страница 9
Текст из файла (страница 9)
черной сажи, с различнымискоростями истинной деформации [48]На Рисунке 1.16 представлены результаты теоретического описания эксперимента, состоящего из последовательных этапов деформирования образца спостоянной скоростью и релаксации.Истинное напряжение, МПатеорияэкспериментИстинная деформацияИстинное напряжение, МПатеорияэкспериментВремя, сЛогарифмическая деформация(а) ˙ = −0,002 1/с; Δ = 120 сЛогарифмическая деформация(б) ˙ = −0,1 1/с; Δ = 30 сРисунок 1.16.
Экспериментальные и теоретические результаты, полученныепри сжатии хлоропреновой резины, содержащей 15 м.ч. чернойсажи, с различными скоростями истинных деформаций ˙ и промежуточной релаксацией длительностью Δ, происходящей приистинных деформациях -0.3 и -0.6 [47, 58]52Истинное напряжение, МПаНа Рисунке 1.17 показаны результаты моделирования процесса одноосногосжатия резины и чистого сдвига. Показанные теоретические петли построеныпри одном наборе значений параметров модели.эксперимент: одноосное сжатиетеория: одноосное сжатиеэксперимент: чистый сдвигтеория: чистый сдвигЛогарифмическая деформацияРисунок 1.17.
Гистерезисные петли, полученные при одноосном сжатии и чистом сдвиге хлоропреновой резины, содержащей 65 м.ч. чернойсажи, со скоростью истинной деформации -0,01 1/с [47]Окончательно, на Рисунке 1.18 приведены результаты теоретического описания процесса деформирования резины, протекающего с разными скоростями [58]. Как и ранее, для описания процесса одноосного сжатия и простогосдвига использовался один набор параметров модели материала.Приведенные результаты показывают, что модель Бергстрема-Бойс позволяет довольно точно описать вязкоупругое поведение резины при различныхформах деформирования тела.Из обзора литературы, посвященного вязкоупругим соотношениям, следует, что для определения рассеяния энергии внутри резинового массива шины целесообразно использовать модель материала Бергстрема-Бойс, посколькуона пригодна для описания произвольных термодинамически неравновесныхпроцессов деформирования материала и хорошо описывает экспериментальныерезультаты в широком диапазоне частот нагружения.СдвигКратность удлинения53Время, с(а)Время, сВид цикла нагружения приодноосном сжатии(б)Вид цикла нагружения припростом сдвигетеорияНапряжение сдвига, МПаИстинное напряжение, МПатеорияэкспериментэкспериментКратность удлинения(в) Одноосное сжатиеСдвиг(г) Простой сдвигРисунок 1.18.
Экспериментальные и теоретические результаты, полученныепри сжатии (а, в) и простом сдвиге (б, г) высокодемпфирующейрезины (HDR) [58]1.3 Обзор решений контактной задачи каченияI. Среди первых работ, посвященных решению контактной задачи качениячисленными методами теории упругости, следует выделить работу [12]. В этойработе объектом исследования являлась массивная шина. Анализ напряженнодеформированного и теплового состояния шины при качении проводился в несколько этапов.На первом этапе определялось поле перемещений и деформаций из решения задачи статического обжатия шины с плоскостью, которая заменяласьзадачей о вдавливании цилиндрического абсолютно жесткого штампа в резиновый слой конечной ширины, закрепленный по нижнему основанию.
Резиновый54слой полагался несжимаемым и рассматривался в расчете как линейно-упругийматериал, подчиняющийся закону Гука. В [12] контактная задача заменяласьзадачей о действии заданной распределенной нагрузки, изменяющейся в окружном направлении (по длине контакта) по закону косинуса. Решение проводилосьна основе вариационного принципа Лагранжа методом Канторовича при помощи степенных координатных функций.На втором этапе выполнялся расчет рассеиваемой энергии в резине пристационарном качении шины при помощи соотношений Больцмана-Вольтерра.Для этого поля перемещений и деформаций при качении вязкоупругого телаотождествлялись с полученными результатами решения статической задачи обжатия шины.
Это упрощение обуславливалось решением динамической упругойзадачи качения, в результате которого удалось установить следующие важныеследствия (см. также работу [43]):1. для рабочего интервала скоростей шины можно пренебречь инерционнымислагаемыми в уравнениях движения. Это отражает график 1.19 полученной в работе [12] зависимости максимального вертикального прогиба шины при качении, отнесенного к максимальному прогибу в аналогичнойстатической задаче, от скорости качения , отнесенной к скорости распро√︀странения плоской волны деформации сдвига в упругой среде = /,где – плотность материала (для шинных резин ≃ 200км/ч).dd/dst21V/Vc00,20,40,60,81,0Рисунок 1.19.
Влияние скорости качения на величину максимального вертикального обжатия шины [12]2. периодическое действие контактных сил при качении не изменяет напряженно-55деформированное состояние массивной шины, полученное в результате решения статической задачи обжатия. Этот результат является следствиембыстрого затухания поля деформаций при удалении от области контакта.На третьем шаге определялось установившееся поле температур внутрирезинового массива.
Из анализа поля температур в полосе при наличии периодически движущихся источников тепла был сделан вывод, что в режиместационарного качения для всех точек резинового массива, расположенных наокружности одного радиуса, теплообразование постоянно и равно среднему заоборот теплообразованию для этих точек.
Этот результат позволил рассмотретьзадачу определения температур как двумерную задачу стационарной теплопроводности и определил способ вычисления интенсивности внутренних источников теплообразования в резиновом массиве:∫︀w= · · ˙ 0,(1.94)где w – интенсивность внутренних источников тепла; – период оборота ко˙ = /.леса, (∙)При решении температурной задачи в работе [12] предполагалось, что наповерхности стыка резина-металл температура в любой точке металлическогообода одинаковая.
Она определялась из условия равенства количества тепла,передаваемого металлическому ободу резиновым слоем, количеству тепла, рассеиваемого ободом в окружающую среду. На внешней поверхности резинового массива были сформулированы граничные условия третьего рода (условияНьютона).Для учета зависимости параметров вязкоупругой модели материала оттемпературы использовался метод последовательных приближений.II. Более точное решение вязкоупругой задачи контакта было представлено в работе [42]. В указанной статье рассматривалась задача качения обрезиненного жесткого цилиндра внешнего радиуса 0 по абсолютно жесткомуцилиндру радиуса в плоской постановке.
Силы трения в области контактане учитывались. Деформация резинового массива предполагалась малой.На Рисунке 1.20 представлена расчетная схема, на которой показаны следующие геометрические величины: 20 – угол контакта, ограничивающий зону56контакта двух тел, – угол между биссектрисой угла контакта и вертикалью(угол смещения зоны контакта вследствие наличия вязкости материала), 0 –сближение осей контактирующих тел, – угол, отсчитываемый от биссектрисыугла контакта.x2wR0РезиновыйслойRirqOq0q0(R0+Rd-u0)x1bRdCРисунок 1.20. Контакт обрезиненного ролика с абсолютно жестким цилиндромДля описания поведения резинового массива в работе [42] использованосоотношение Больцмана - Вольтерры с экспоненциальным ядром релаксации(0)(1)∫︁ () = [() − 3Δ ] 1 + 2 () − 2e−(−˜)/ ˜ ˜() ,(1.95)0где – время релаксации; – объемный модуль упругости; (0) , (1) – мгновенный и релаксационный модули сдвига; Δ – температура разогрева резиныв процессе качения; – коэффициент линейного температурного расширения.В расчете отношение /(0) принималось больше 50, модули (0) и (1) полагались равными друг другу.Следуя работе [42] опишем вычисление интеграла истории деформирования, входящего в соотношение (1.95).
Для этого рассмотрим произвольнуюточку «», показанную на Рисунке 1.21, а. В обсуждаемой работе предполагалось, что в начальный момент времени указанная точка далеко отстоит отобласти контакта и в ней отсутствуют напряжения и деформации = 0,57 = 0. К моменту времени она займет положение «+ », пройдя отрезокпути, который при стационарном качении остается неизменным во времени.Вычисление интеграла вдоль пройденного пути выполнялось численно при помощи формулы трапеции. Для этого интервал времени разбивался на отрезки[0 , 1 ], [1 , 2 ], ..., [−1 , ], после чего вычислялась сумма( ) = [( ) − 3Δ ] 1 + 2(0) ( )−−1]︁∑︁˜+1 − ˜ [︁ −(−˜+1 )/ ˜−(−˜ )/(1)˜e(+1 ) + e( ) .− 22=0(1.96)При решении вязкоупругой задачи методом конечных элементов такойподсчет напряжений требовал специального разбиения расчетной области наконечные элементы, впервые предложенного в работе [114].
Из резинового массива выделялась область 20 , показанная на Рисунке 1.21, б. За ее пределаминапряжения и деформации полагались равными нулю. В работе [40] расчетнымпутем показано, что последнее условие выполняется уже при равном 4 ÷ 5.Выделенная область разбивалась на конечные элементы так, чтобы в недеформированном состоянии они образовывали одинаковые ряды в окружном направлении.
После деформирования системы эти ряды будут располагаться вдольпутей «тока» материала.x2x22mq0Riwt0=0AR0Траектория движения материальной точкиРяд КЭt1wtn1t1tn=tA+23nx1x1OORd(а) Деформированная конфигурация (б)НедеформированнаяконфигурацияРисунок 1.21. Учет истории деформирования при решении задачи каченияДля построения матрицы жесткости конечного элемента использоваласьстандартная процедура, основанная на виртуальном принципе Лагранжа. Для58этого уравнение (1.96) было записано в матричной форме{} =∑︁[] {} ,(1.97)=1где {} , {} – векторы, составленные из компонент тензоров напряжений идеформаций; [] – матрица вязкоупругих коэффициентов влияния, нижниеиндексы у величин, входящих в соотношение (1.97), означают номера точекинтегрирования, которые совпадают с локальными номерами конечных элементов, стоящих в одном ряду (Рисунок 1.21, б).
Матрица жесткости ансамбляконечных элементов имела вид[] =⋃︁ ∫︁ℬ[]∑︁[] [] ,(1.98)=1где [] – матрица форм деформаций; ℬ – область пространства, занимаемая⋃︀-м конечным элементом; символ означает операцию ассемблирования КЭ.Решение контактной задачи проводилось итерационно. В области контакта задавалось давление. Закон изменения давления выбирался произвольно,лишь бы выполнялось условие непрерывности напряжений (равенство их нулю)на границе области контакта. На каждой итерации система линейных уравнений МКЭ решалась методом Гаусса-Зейделя. После определения поля перемещений проверялось соответствие форм контактирующих поверхностей.
Еслиформы не совпадали, происходил пересмотр зоны контакта и сил взаимодействия. Этот пересмотр осуществлялся по следующей схеме. На основе полученной в ходе расчета деформированной поверхности обрезиненного цилиндравычислялось среднее положение центра обжимающего цилиндра радиусом (Рисунок 1.20):√︁2 − (1 + 1 )2 − (2 + 2 ) ,∫︁1 = , =(1.99)(1.100)Ωгде Ω , – область контакта и ее длина; 1 , 2 – координаты точек поверхности обрезиненного ролика; 1 , 2 – перемещения этих точек. Далее осуществля-59лась проверка условий принадлежности точек поверхности обрезиненного цилиндра области контакта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
