Диссертация (1025882), страница 8
Текст из файла (страница 8)
= 0 1 + −1 dev ¯ 2 ¯ −(1.75)=1Система дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию тензоров внутренних переменных , имела вид[︂]︂0 ¯1Ψ()˙ + = DEV 2 ¯,˜˜ |=0 = 0 ,(1.76)где на параметры материала накладываются условия > 0,0<∑︁ 6 1,˜ > 0 .=1.Условное напряжение растяжения, МПаОпределяющие соотношения для случая связного термовязкоупругого поведения материала приведены в работе [88].В качестве примера на Рисунке 1.10 приведено сравнение экспериментальных и теоретических результатов, полученных по модели (1.71) - (1.72) с учетомповреждаемости среды [142], где в качестве упругого потенциала был выбранпотенциал (1.43).эксперименттеорияДеформация, %Рисунок 1.10.
Зависимость условных напряжений от деформаций при одноосном растяжении образца [124]К сожалению, в работе [124], из которой заимствован этот рисунок, отсутствует44описание проводимого эксперимента. Поэтому невозможно оценить скоростьдеформирования, для которой получены гистерезисные петли.В работе [97] соотношения для вязкоупругого поведения тела при конечных деформациях были получены на основе интегральных уравнений БольцманаВольтерра с неограниченным числом времен релаксации. Представим их в дифференциальной форме−1 () = 0 () +∞ ()+∑︁ ,(1.77)=1[︂]︂∞ ¯Ψ()∞ () = −2/3 DEV 2 ¯,˙ + 1 = ˙ ∞ () ,˜lim = 0 ,→−∞(1.78)(1.79)(1.80)где – тензор внутренней переменной, являющийся тензором напряжений вупругой пружине вязкого звена; ˜ , – параметры материала. Символом ∞обозначены величины, содержащие равновесные параметры материала.На Рисунках 1.11, 1.12 показаны экспериментальные петли при растяжении и сжатии образцов резины в сравнении с теоретическими результатами,полученными по модели (1.77) - (1.80) с учетом повреждаемости среды.
Представленные результаты заимствованы из работы [96]. Для выполнения теоретического анализа, упругость резины задавалась по модели трубки (1.43). Эксперименты и расчеты проводились для случая пульсационного нагружения образца с амплитудой деформации, последовательно нарастающей от 10 до 50%с шагом в 10% и затем снова убывающей до 10%. На Рисунке 1.11, б отдельнопоказаны расчетные петли в случае применения исключительно вязкоупругоймодели материала. Следует отметить, что построение теоретических петель присжатии выполнялось при параметрах материала, найденных из экспериментовна растяжение.Определяющие уравнения (1.77) - (1.80) успешно применялись для расчетадиссипации энергии в задачах качения [35, 46].Растягивающее усилие, НРастягивающее усилие, Н45Деформация, %(б)Расчет по вязкоупругоймодели (1.77) - (1.80)Растягивающее усилие, Н(а) ЭкспериментДеформация, %Деформация, %(в)Расчет по вязкоупругоймодели (1.77) - (1.80) c учетомповреждаемостиСжимающее усилие, НСжимающее усилие, НРисунок 1.11.
Экспериментальные и теоретические результаты, полученныепри растяжении образца резины [96]Деформация, %Деформация, %(а) Эксперимент(б)Расчет по вязкоупругоймодели (1.77) - (1.80) c учетомповреждаемостиРисунок 1.12. Экспериментальные и теоретические результаты, полученныепри сжатии образца резины [96]46Альтернативная теория построения моделей дифференциального типа спроизвольным видом соединения элементов для сред, работающих в условияхконечных деформаций приведена в работах [21, 22, 26].III. Широко используемые на практике линейные эволюционные уравнения возможно применять при условии, что процесс деформирования происходитвблизи термодинамического состояния равновесия. Авторы работы [135] предложили нелинейные вязкоупругие соотношения, применимые при произвольном процессе деформирования материала.
За основу рассуждений они взялидвухзвенную стандартную вязкоупругую модель материала с функцией свободной энергии, записанной в виде суммы равновесного Ψ и неравновесногоΨ слагаемых,Ψ = Ψ () + Ψ ( ) ,(1.81)где – тензор деформаций Коши-Грина, ассоциированный с упругой пружиной элемента Максвелла. Вид функции свободной энергии должен удовлетворять неравенству Клаузиуса-Дюгема [56, 57]. Следуя работе [135], запишем этоусловие, учитывая, что = ( )− · · ( )−1 :(︂ ΨΨ− 2 ( )−1 ·· ( )−−2)︂1 ˙· · −2(1.82)Ψ −··· · ˙ > 0 .
Из полученного неравенства следует выражение для напряжений и диссипацииэнергии в вязкоупругой модели материла [57]:ΨΨ − = 2+ 2 ( )−1 ··() ,⏟⏞⏟ ⏞(1.83) ]︁Ψ [︁ =· · ( ) · + · > 0 , (1.84)где = ˙ · ( )−1 – градиент вязких скоростей перемещений. Путем эквивалентных преобразований в работе [135] был получен следующий вид длядиссипации энергии в материале: = −1· ( )(︁ · · · · ( ))︁> 0,(1.85)47где = 2 · Ψ / · ( ) – тензор напряжений Коши, действующихв элементе Максвелла.
Выражение (1.85) применимо в общем анизотропномслучае поведения материала. Если предположить, что материал изотропный,тогда тензоры напряжений и деформаций симметричны, следовательно произведение ·( )−1 также является симметричным тензором. Значит в выражении для диссипации энергии от тензора · · ( ) можно оставить толькоего симметричную часть, которая выражается через оператор производной Ли{︀ [︀ −1]︀}︀ℒ [∙] = · · (∙) · − · как − 21 ℒ [169]. В этом случае диссипация энергии примет вид]︂1−1.= − · · ℒ [ ] · ( )2[︂(1.86)Поскольку диссипация энергии должна быть положительной, Риз и Говинджипредложили выбрать тензор 21 ℒ [ ] · ( )−1 таким образом, чтобы функция была квадратичной положительно определенной формой.
Эти рассуждения приводят к эволюционному уравнению вида1− ℒ [ ] · ( )−1 = −1 ( ) · · ,2(1.87)где −1 – изотропный положительно определенный тензор четвертого ранга.В качестве возможного варианта эволюционного уравнения ими предложеноследующее соотношение:112− ℒ [ ] · ( )−1 =dev [ ] +( · ·1) 1 ,29(1.88)где = ^ ( ) > 0,^ (1) = , = ^ ( ) > 0,^ (1) = .В обсуждаемой работе [135] было показано, что в частном случае линейнойвязкоупругости, т.е. при небольших отклонениях от термодинамического состояния равновесия, когда ≈ 1, из уравнения (1.87) можно получить уравнение (1.56).Подобными рассуждениями пользовался Лион [110, 111] при выводе нелинейных определяющих соотношений для резины, представляя ее как упруго-48вязко-пластичную среду.IV. Бергстрем и Бойс [47—50] предложили модель вязкоупругого поведения материала, основанную на концепции рептационного движения макромолекул в полимере.
Процесс релаксации материала они связали с броуновскимдвижением упруго-неактивных цепей макромолекул, которые вносят весьма малый вклад в силу сопротивления деформированию, меняя свою конфигурациюв процессе деформации полимерной сетки лишь под действием сил со сторонысоседних цепочек. В качестве таких структурных элементов они рассматривают «свободные» цепочки, оба конца которых связаны только с одной цепочкойактивной сетки. Предполагается, что при быстром нагружении за счет сил Вандер-Ваальса они деформируются аффинно с активной сеткой. Их энтропия возрастает и они вносят вклад в напряженное состояние тела. Если приложеннаядеформация остается постоянной, то отдельные участки этих цепочек посредством броуновского движения постепенно принимают энергетически наиболеевыгодную конфигурацию. Описанное поведение иллюстрирует Рисунок 1.13.Скорость, с которой указанные участки стремятся занять новое положение равновесия, определяется механикой движения макромолекул в полимерном расплаве [7].НедеформированнаясеткаДеформированнаясеткаДеформированная иотрелаксированная сеткаРисунок 1.13.
Релаксация цепочки полимерной сеткиСхематично активную сетку можно представить в виде упругой пружины, а цепочки макромолекул, подверженные броуновскому движению, – элементом Максвелла. При нагружении оба звена включаются в работу одновременно. Следовательно, полная модель материала эквивалентна стандартной вязкоупругой модели.49Для записи эволюционного уравнения преобразуем функцию диссипацииэнергии (1.84) к виду{︂ = · · ( )−]︁1 [︁ ( ) · + · · ( )−1·2}︂> 0.(1.89)Выражение в фигурных скобках представляет собой симметричную часть тен˜ = · ·( )−1 . Обозначим ее через ˜ .
Для определения диссипациизора энергии в эластомере Бергстрем и Бойс предложили соотношение˜ = √˙ dev [ ] ,2 (1.90)√︁1 2где ˙ > 0 – эффективная скорость ползучести; =2 tr (dev [ ]) – интенсивность касательных напряжений вязкого звена. Кососимметричная часть˜ не влияет на величину диссипации и может быть выбрана произтензора вольно, например, ее можно полагать равной нулю [52].Используя оценку среднего смещения примитивной цепи макромолекулыза счет рептации и изменения ее контурной длины [7], авторы записали выражение для средней скорости кратности изменения длины цепи ˙ ℎ :˙ ℎ = 1 (ℎ − 1 + 0 )2 ,(1.91)где 1 > 0, 2 < 0, 0 – постоянные материала.
Параметр 0 имеет смыслкратности удлинения, позволяющей описать процесс ползучести при отсутствиидеформации. Бергстрем и Бойс предположили, что эффективная скорость ползучести ˙ должна зависеть от усредненной кратности удлинения цепи ℎ поаналогии с уравнением (1.91), причем√︂ℎ =1 ,3(1.92)где 1 – первый инвариант тензора .Процесс ползучести инициируется и проистекает под действием поля сил,создаваемого соседними цепочками макромолекул. Степень влияния этих силна скорость ползучести можно охарактеризовать уровнем напряжения в поли-50мерной сетке.
Учитывая это, можно записать выражение ( ),˙ =(ℎ − 1 + 0 )(1.93)где , , – новые постоянные материала.Отметим, что в частном случае при = 1 и = 0 модель материала Бергстрема-Бойс совпадает с изохорической частью эволюционного уравнения (1.88), предложенного в работе [135].Модель вязкоупругого поведения материала Бергстрема-Бойс прошла тщательную экспериментальную проверку в работах [23, 47, 48, 58, 134]. В работах [47, 48] приведены результаты сравнения экспериментов, выполненных преимущественно на образцах из хлоропреновой резины, и расчетов, проведенныхпо модели Бергстрема-Бойс с упругим потенциалом Арpуды-Бойс [37].
Нижеприводятся некоторые из представленных в этих работах результатов. На Рисунках 1.14, 1.15 показаны гистерезисные петли, полученные при одноосномсжатии резиновых образцов, предварительно тренированных с целью исключения эффекта Маллинза. Форма цикла нагружения задавалась треугольной сравными скоростями нагружения и разгрузки.Истинное напряжение, МПаэксперименттеорияЛогарифмическая деформацияРисунок 1.14.
Гистерезисные петли, полученные при сжатии хлоропреновой резины, содержащей 15 м.ч. черной сажи, со скоростью истиннойдеформации -0,01 1/с [47]51Истинное напряжение, МПаэксперимент (скорость деформирования 0,05 1/с)эксперимент (скорость деформирования 0,002 1/с)теория (скорость деформирования 0,05 1/с)теория (скорость деформирования 0,002 1/с)Логарифмическая деформацияРисунок 1.15. Гистерезисные петли, полученные при одноосном сжатии хлоропреновой резины, содержащей 15 м.ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
