Диссертация (1025882), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ТогдаΔ = − 2(︃3∑︁)︃¯2 − 3.(1.23)=1Одновременно с рассмотренными работами была опубликована серия статей [161—163], в которых изложен формализованный подход к вычислению энтропии полимерной сетки, претендующий на максимальную отвлеченность отприроды строения резины. На основании этой теории было получено несколькоотличное от (1.23) выражение для приращения энтропии [164]:(︃ 3)︃∑︁ ¯ 2 − 3 − 1 ln() ,Δ = −22=1(1.24)где логарифмическое слагаемое в скобках появилось в результате учета влиянияна энтропию объема полимера.Вычисление приращения энтропии в произвольных осях деформированного тела было выполнено в работе [76]. Выделив из тела элементарный объем , т.е. объем деформирующийся однородно, но в то же время обладающийсвойством изотропии, авторы работы [76] применили к нему выражение (1.20),записав∑︁¯ ·· ⊗ , = 0 − 2 (1.25)где – вектор, соединяющий концы сегмента полимерной сетки до деформации,занимающие среднее положение в пространстве.
По выражению (1.25) прира-21щение энтропии в процессе деформирования определяется какΔ = −∑︁¯ − 1) ·· ⊗ .2 ((1.26)¯ − 1 можно вынестиПоскольку объем деформируется однородно, тензор ∑︀ 2из под знака суммы. Внедиагональные элементы тензора ⊗ обращаются в ноль, так как вследствие изотропии для каждого сегмента с вектором можно из объема найти сегмент с вектором −. Диагональные элементы,следуя работе [94], равны /2. С учетом сделанных замечаний преобразованное уравнение (1.26) приобретает видΔ = − ¯ − 1) .tr(2(1.27)Используя полученное выражение для энтропии, Грин и Тобольский пришли кобщему выражению для неогукова потенциалаΨ = (¯ − 3) .2(1.28)В работах [128, 154, 157] показано, что упругий закон поведения резины, соответствующий потенциалу (1.28), хорошо описывает экспериментальные данныепо одноосному растяжению-сжатию и равномерному двухосному растяжениюобразцов, изготовленных из натурального каучука и вулканизованных серой, впределах кратностей удлинений 0,6 < < 1,4.
Это соответствие показано наРисунке 1.4, который воспроизведен по работе [128]. Теоретические зависимостипостроены для единого значения модуля сдвига = .III. Одновременно с развитием классической кинетической теории упругости эластомеров начали развиваться феноменологические подходы к описаниюповедения материала. Стремясь получить наиболее общее выражение для упругого потенциала Ψ , авторы феноменологических теорий ограничивали своирассуждения главным образом требованиями изотропности материала и егонесжимаемости в процессе деформирования.Одной из первых феноменологических теорий является теория Муни [3,119]. При определении вида упругого потенциала в работе [119] было сделанопредположение, что зависимость напряжений от деформаций при сдвиге подчиняется закону Гука. В этом случае22(б)2Условное напряжение, МПа(а)140246(в)22102468024Кратность удлиненияРисунок 1.4.
Результаты экспериментов Трелоара (обозначены точками ∘), полученные для одноосного растяжения (а), чистого сдвига (б) иравномерного двухосного растяжения (в) в сравнении с неогуковой теорией (сплошная линия) [128]Ψ = 1 (¯ − 3) + 2 (¯ − 3) ,(1.29)где 1 , 2 – постоянные материала.Позднее была опубликована серия работ [136—139], в которой при обобщении потенциала Гука на область больших деформаций было получено следующее выражение для упругого потенциала, названного потенциалом Ривлина:Ψ =∑︁ (¯ − 3) (¯ − 3) ,(00 = 0) ,(1.30),=0где – постоянные материала. При = 1, = 0 потенциал (1.30) совпадает снеогуковым потенциалом (1.28). При удержании двух слагаемых в потенциалеРивлина при = 1, = 0 и = 0, = 1 он в точности совпадает с потенциалом, предложенным Муни.
Впоследствии потенциал Муни получил названиепотенциала Муни-Ривлина.Экспериментальные результаты, приведенные в работе [78] для случаяодноосного растяжения образцов из вулканизатов натурального каучука, хоро-23шо подтверждают теорию Муни-Ривлина. В работе [78] было установлено, чтопостоянная 1 в отличие от 2 сильно возрастает с ростом степени вулканизации каучука. Постоянная 2 быстро убывает с увеличением степени набуханиярезины. Последнее наблюдение позволяет отождествлять первое слагаемое взаконе (1.29) с формулой классической кинетической теории упругости эластомеров [3, 15].Поведение резины при одноосном сжатии сильно отличается от поведенияпри растяжении [140, 154].
Применение закона Муни-Ривлина с найденнымипостоянными из эксперимента на одноосное растяжение в области сжатия оказывается невозможным. Сильное расхождение теории Муни-Ривлина с экспериментом наблюдается также при двуосном растяжении резиновых пластин [140,153] и при испытании саженаполненных резин [170]. В качестве примера, различие теоретических и экспериментальных результатов отчетливо показано наРисунках 1.5, 1.6, заимствованных из работы [170]. На Рисунке 1.5 приведены экспериментальные данные для одноосного растяжения-сжатия образца, всравнении с теоретической зависимостью Муни-Ривлина. На графике под понимается условное напряжение. На Рисунке 1.6 показаны результаты дляслучая простого сдвига в координатах напряжения сдвига , величина сдвига¯ − 1/.¯ Для построения теоретических зависимостей при сжатии и про =стом сдвиге постоянные в законе Муни-Ривлина определялись из экспериментана растяжение.Исследуя экспериментально зависимости величин Ψ /¯ , Ψ /¯ отинвариантов ¯ , ¯ в работе [140] был сделан вывод, что потенциал Ψ можетбыть представлен в видеΨ = 1 (¯ − 3) + (¯ − 3) ,(1.31)где функция зависит от конкретного типа резины.
Однако, вычисления, проделанные для обработки экспериментальных результатов, оказались очень чувствительными к погрешности эксперимента в области умеренных деформаций(0 < ¯ − 3, ¯ − 3 < 2), в связи с чем полученное выражение (1.31) нельзяпризнать удовлетворительным [15, 128].В работе [157] функция Ψ была представлена в виде суммы трех одинаковых функций , каждая из которых зависит лишь от кратности растяжения в24Сжатиеs , МПаl-l-2Растяжение1/lРисунок 1.5.
Экспериментальные результаты, полученные при растяжении (∘)и сжатии (∙) резины, изготовленной из натурального каучука, содержащего 70 м.ч. черной сажи. Пунктирной линией показана теоретическая зависимость Муни-Ривлина [170]одном направлении,¯ 1 ) + (¯ 2 ) + (¯3) .Ψ = ((1.32)Такое представление согласуется с теоретическим выводом, полученным в работе [93], согласно которому поведение реальной полимерной сетки эквивалентноповедению сетки из трех систем субцепей, каждая из которых ориентирована по одному из главных направлений деформации. Вид функций в работе [157] определялся непосредственно из эксперимента на двухосное растяжениерезиновых пластин при условии равенства кратности растяжения в одном изнаправлений единице.Оригинальный подход к нахождению упругого потенциала был предложенв работе [101].
Исходя из аналогии между функциями распределения идеального газа и идеальной резиной, обладающей фантомной сеткой, Килианом былосформулировано уравнение Ван-дер-Ваальса для описания поведения реальнойрезиныΨ = ⎧⎨2− ( − 3) [ln (1 − ) + ] − ⎩3[︃]︃ 23 ⎫˜ − 3 ⎬2⎭,(1.33)t, МПа25gРисунок 1.6. Экспериментальные результаты, полученные в случае простогосдвига (∙) резины, изготовленной из натурального каучука, содержащего 40 м.ч. черной сажи.
Пунктирной линией показана теоретическая зависимость Муни-Ривлина [170]где – модуль сдвига материала; – параметр материала, пропорциональныймаксимальному удлинению полимерной субцепи макромолекулы; – параметрматериала,характеризующий взаимодействие между полимерными субцепями;√︁ = (˜ − 3)/( − 3), ˜ – обобщенный инвариант, выражаемый при помощипостоянной материала 0 ≤ ≤ 1 через первый и второй инварианты девиаторатензора деформаций Коши-Грина˜ = ¯ + (1 − ) ¯ .(1.34)Отметим, что соотношение (1.33) приводит к неплохим результатам только призначении параметра = 1, т.е. когда из соотношения исключается второй инвариант ¯ .
К сожалению, описанная модель материала не дает физического объяснения причины отклонения поведения реальных полимерных сеток отфантомных.Для описания поведения резин в области больших деформаций Огден [128]предложил использовать потенциал видаΨ =∑︁=1¯ + ¯ − 3) ,¯ + (123(1.35)26где и постоянные материала, на величины которых накладываются требования существования физически непротиворечивого решения и перехода прималых деформациях потенциала Огдена в потенциал Гука > 0 ,∑︁ = 2 .(1.36)=1В работе [128] показано, что вплоть до значений кратностей w 7,0, зависимости напряжений от деформаций, получаемые при использовании трех первыхслагаемых потенциала Огдена с одним набором постоянных, очень хорошо воспроизводят экспериментальные результаты, приведенные в работе [154], дляодноосного растяжения, чистого сдвига и равномерного двухосного растяжения.Практическое использование потенциалов Огдена и Валаниса-Ландела затруднено необходимостью вычисления в каждой точке тела направлений и значений главных деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
